《高等数学第七章第2节向量的坐标表示.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第七章第2节向量的坐标表示.ppt（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示一一 空间直角坐标系空间直角坐标系二二 向量在轴上的投影向量在轴上的投影三三 向量的坐标表示向量的坐标表示1 1第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数一一 空间直角坐标系空间直角坐标系横轴横轴纵轴纵轴竖轴
2、竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广即以右手握住即以右手握住 轴，轴，轴时，轴时，轴轴当当右手的四个手指从正向右手的四个手指从正向角度转向正向角度转向正向以以轴的轴的大拇指的指向就是大拇指的指向就是正向正向.2 2第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数xyz0面面面面面面空间直角坐标系共有八个空间直角坐标
3、系共有八个卦限卦限3 3第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间的点空间的点有序数组有序数组4 4第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数特殊点的表示特殊点的表示:轴上的点轴上的点轴上的点轴上的点轴上的点轴上的点面上的点面上的点面上的点面上的点面上的点面上的点坐标原点坐标原点5 5第
4、二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数2 空间两点间的距离空间两点间的距离设设为空间两点为空间两点在直角在直角使用使用勾股定理知勾股定理知及直角及直角中，中，空间两点间距离公式空间两点间距离公式6 6第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解结论成立结论成立.例例1 1 求证以求证以顶
5、点的三角形是一个等腰三角形顶点的三角形是一个等腰三角形.三点为三点为7 7第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解所求点为所求点为例例2 2 设设在在轴上，它到轴上，它到到点到点的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点 的坐标的坐标.的距离为的距离为因为因为在在轴上，轴上，设设点坐标为点坐标为8 8第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几
6、几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数二二 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理是是上坐标依次为上坐标依次为轴轴的两个点的两个点,9 9第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间两向量的夹角空间两向量的夹角的概念：的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在的夹角可在
7、0 0与与 之间任意取值之间任意取值.向量向量与向量与向量的夹角的夹角空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 过点过点作轴作轴的垂直平面，的垂直平面，即为点即为点在轴在轴上的上的交点交点投影投影.1010第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影已知向量的起点已知向量的起点和终点和终点在轴在轴上的投影分别为上的投影分别为那么轴那么轴上的有向线段上的有向线段的值，的值，向量向量在轴在轴上的投影上的投
8、影记为记为向量的向量的投影定理（投影定理（1 1）向量向量在轴在轴上的投影等于向量的模乘以轴与上的投影等于向量的模乘以轴与向向量的夹角量的夹角的余弦，的余弦，即即上的上的投影投影.轴轴称为向量在称为向量在1111第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数证证 设向量设向量在轴在轴上投影为上投影为过点过点作平行作平行于轴于轴的数轴的数轴且与轴且与轴同向，同向，因此因此与与的夹角的夹角也是也是且且又因为又因为所以所以定理定理1 1的说明：的说明：
9、投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；1212第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数向量的向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和上的投影之和.1313第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的
10、坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数1 1 向量的坐标表示式向量的坐标表示式三三 向量的坐标向量的坐标以以分别表示沿分别表示沿轴正向的单位向量轴正向的单位向量.设向量设向量则则由于由于所以存在实数所以存在实数使得使得同理存在同理存在实数实数使得使得所以所以1414第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数称起点固定在原点，终点在点称起点固定在原点，终点在点的
11、向量的向量的的向径向径，为点为点称向量的这种表示法为称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式按基本单位向量的坐标分解式。分别称向量分别称向量为为在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量，称称为向量为向量的的坐标坐标，向量向量又可以表示为又可以表示为称向量的这种表示法为向量的称向量的这种表示法为向量的坐标表达式坐标表达式。则则1515第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数2 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表
12、示式设向量设向量则则所以所以向量的模的坐标表示式向量的模的坐标表示式1616第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数称非零向量称非零向量的正向的夹角为的正向的夹角为方向角方向角.与三条坐标轴与三条坐标轴 由投影定理（由投影定理（1）同理同理1717第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数
13、时，时，当当称非零向量称非零向量的方向角的余弦为的方向角的余弦为的的方向余弦方向余弦。1818第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为1919第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数2 向量的加减法、数乘
14、向量的运算的坐标表达式向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式设设所以所以同理同理2020第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例3 3 设设和和为两已知点，为两已知点，直线上的点直线上的点分有向线段分有向线段为两部分为两部分使它们的值的比等于某数使它们的值的比等于某数即即而在而在(1)(1)求向量分点求向量分点的坐标表示式。的坐标表示式。解解设设 分别为点分别为点的向径，的向径，则则所以所以2121第二节第二节第二节第二节 向量的坐标
15、表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设设为直线上的点，为直线上的点，解解由题意知：由题意知：(2)求分求分点点的坐标的坐标.2222第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数所以所求点为所以所求点为为有向线段为有向线段的的定比分点定比分点.为中点时，为中点时，特别特别2323第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的
16、坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或例例4 4 求平行于向量求平行于向量的单位向量的单位向量的坐标分解式的坐标分解式.2424第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例5 5 设有向量设有向量已知已知它与它与轴和轴和轴的夹角分别为轴的夹角分别为
17、和和 如果如果的坐标为的坐标为求求的坐标的坐标.解解设向量设向量的方向角为的方向角为设设的坐标为的坐标为2525第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数的坐标为的坐标为由于由于所以所以2626第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例6 6 设设求向量求向量在在轴轴轴上的分向量轴上的分向量.上的投影及在上的投影及在解解在在轴上的投影为轴上的投影为在在轴上的分向量为轴上的分向量为2727第二节第二节第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数向量向量在轴在轴上的投影等于向量的模乘以轴与上的投影等于向量的模乘以轴与向向量的夹角量的夹角的余弦，的余弦，即即向量的投影定理（1）2828