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1、习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则夹逼准则可知(考研98)例例2.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:1.求极限解：解：原式2.求极限提示提示：原式左
2、边=右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.估计下列积分值解解:因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明证证:令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例6.解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数,求方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例7.求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0,则机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束 注意 f(0)=0,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求多项式 f(x)使它满足方程解解:令则代入原方程得两边求导:可见 f(x)应为二次多项式,设代入 式比较同次幂系数,得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 例例11.选择一个常数 c,使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.证明恒等式证证:令则因此又故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14.试证使分析分析:要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示提示:设辅助函数
5、 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例15.设证证:设且试证:则故 F(x)单调不减,即 成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例16.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得面积为 2,体积最小?即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束