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1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3 刚体定体定轴转动的角的角动量量转动惯量量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理7.3.4 刚体的重心刚体的重心7.3.5 典型例子典型例子上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3 刚体定体定轴转动的角的角动量量转动惯量量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量1.转轴为对称轴转轴
2、为对称轴 zm1m2Or1r2 如图如图,对对O点点 因因m1=m2=m 故总角动量故总角动量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学2.转轴为非对称轴转轴为非对称轴 zm1m2O 2 1 如图如图,对对O点同样有点同样有 总角动量与转轴成总角动量与转轴成 角角.刚体绕对称轴转动时，刚体对轴上任一点的刚体绕对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同角动量与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹角而是与之成一定夹角.上上 页页下下
3、页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量质点系对点的角动量质点系对点的角动量 设刚体绕设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影轴的投影 刚体对刚体对 z 轴转动惯量轴转动惯量 刚体对刚体对 z 轴角动量轴角动量 转动惯量是转动惯性的量度转动惯量是转动惯性的量度.1.转动惯量转动惯量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 动动画画演演示示上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七
4、章 刚体力学刚体力学 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学刚体的质量
5、刚体的质量 （或体积元的密度）；（或体积元的密度）；刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：注意注意刚体质量的分布情况；（质量分布得离轴刚体质量的分布情况；（质量分布得离轴 越远则转动惯量越大）越远则转动惯量越大）转轴的位置。转轴的位置。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例例1求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.解解xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状
6、刚体的转动惯量 圆筒圆筒 圆环圆环I=mR2 RmO O 圆柱圆柱 R2R1细圆棒细圆棒上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学R圆球圆球 球壳球壳 R3.回转半径回转半径 任何转动惯量均有任何转动惯量均有 I=mk2 k称为回转半径称为回转半径 质量相同的刚体，质量相同的刚体，I ，k 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学(1)平行轴定理平行轴定理 ABCdxmi i i i 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对A由图由图 故：故：平行轴定理平行轴定理 4.反映转动惯量性质的定理反映转动惯量性质的定理 上上 页
7、页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学(2)垂直轴定理（正交轴定理）垂直轴定理（正交轴定理）mi ixyz yixiO(3)可叠加原理可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加体对同一转轴的转动惯量之叠加.只适应于无穷小厚度的薄板只适应于无穷小厚度的薄板例题：例题：P226 例例2、例、例3上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，
8、取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例题例题 一一质量为质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒由平行轴定理由平行轴定理上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理一、刚体对定轴的角动量一、刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式角动量定理微分形式 角动量定理积分形式角动量定理积分形式 其中：其中：称为冲量矩（或角冲量）。称为冲量矩（或角冲
9、量）。二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学刚体定轴转动刚体定轴转动 I=常量常量刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理说明：说明：其中其中 是描述物体平动惯性的物理量，则是描述物体平动惯性的物理量，则 就是就是描描述刚体绕轴的转动惯性的物理量，是刚体绕轴转动惯性述刚体绕轴的转动惯性的物理量，是刚体绕轴转动惯性大小的量度。大小的量度。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学验证刚体定轴转动定理的演示实验验证刚体定轴转动定理的演示实验 动动画画演演示示上上 页页下下 页页
10、结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例例如图所示，质量均为如图所示，质量均为m m的两物体的两物体A A、B.AB.A放放在倾角为在倾角为 的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与的轻绳与B B相连相连.定滑轮是半径为定滑轮是半径为R R的圆盘，其质量也的圆盘，其质量也为为m.m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力求绳中张力 和和 及物体的加速度及物体的加速度 (轮轴光滑轮轴光滑).).解：解：作受力分析图作受力分析图对于对于A，B，由牛顿定律得，由牛顿定律得且且上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七
11、章第七章 刚体力学刚体力学由于绳不可伸长，所以由于绳不可伸长，所以解得：解得：对定滑轮，由转动定律得对定滑轮，由转动定律得又又上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守守 恒条件恒条件若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.三、三、刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体
12、力学解：解：在啮合过程中，系统在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力器之间的切向摩擦力.前者前者对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩内力矩.系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒守恒.即即 例例在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动相同的转速一起转动.如图所示，如图所示，A A和和B B两飞轮的轴杆在两飞轮的轴杆在同一中心线上同一中心线上.A A轮的转动惯量为轮的转动惯量为 ，B B轮的轮的转动惯量
13、为转动惯量为 ，开始时，开始时A A轮每分钟的转速轮每分钟的转速为为600600转，转，B B轮静止轮静止.C.C为摩擦啮合器为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转求两轮啮合后的转速。速。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能失的机械能转化为内能.把各量代入上式，得把各量代入上式，得 为两轮啮合后的共同角速度，于是为两轮啮合后的共同角速度，于是上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.4 刚体的重心刚体的重心重心重心刚体处于不同
14、方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那重力作用线都要通过的那 一点一点.如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视可视为转轴为转轴.因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为轴合力矩为零零.ABDWCCABDWxzCyO上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同.质心是质量质心是质量中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理.重心是重力合力作重心是重力合力作用线通过的那一点用线通过的那一点.若取若取上上
15、页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学7.3.5 典型例子典型例子例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴质心在距转轴 处，处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度为重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力.图图(
16、a)上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？图图(b)上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学xyO图图(a)解解（1）以弧形闸门及钢架）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示.建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy，向向x及及y轴投影得轴投影得 根据转动
17、定理根据转动定理起动时起动时根据质心运动定理根据质心运动定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.图图(b)(2)用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得：比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题3如
18、图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t,求待测物体的转动求待测物体的转动惯量惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变的长度不变.hII0rm上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究对象，作为研究对象，受力分析如图受力分析如图.xyO上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学作业：作业：P254 、