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1、结构动力学 第 2 章 分析动力学基础及 运动方程的建立第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度 功和能 实位移、可能位移和虚位移 广义力 惯性力 弹簧的恢复力 阻尼力 线弹性体系和粘弹性体系 非弹性体系2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度广义坐标：能决定质点系几何位置的彼彼此此独独立立的量称为该质点系的广义坐标。广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体积来表示。静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独独立立参参数数的数目称为结构的自由度。动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独独立立参参数数的数目称为结
2、构的动力自由度。广义坐标必须是相互独立的参数，其选择原则是使解题方便。动力自由度的数目与结构体系的约束情况有关。2.1 基本概念 功和能q功 q有势力和势能 q动能满足以下性质的力称为有势力：（1）力的大小和方向只决定于体系中各质点的位置；（2）力作的功只取决于运动的起始点和终点的相对位置，而与具体的运动路径无关。2.1 基本概念 实位移、可能位移和虚位移可能位移：满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。实位移：如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。2.1 基本概
3、念 广义力广义力是标量而非矢量，广义力与广义坐标的乘积具有功的量纲。2.1 基本概念 惯性力（Inertial Force）惯性：保持物体运动状态的能力。惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。I 表示惯性（Inertial）；m 质量（mass）；坐标方向：向右为正 质点的加速度。2.1 基本概念 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。s 表示弹簧（Spring）k 弹簧的刚度（Spring Stiffness）u 质
4、点位移 2.1 基本概念单层框架结构的水平刚度 h框架结构的高度L梁的长度E弹性模量Ib和Ic梁和柱的截面惯性矩2.1 基本概念 阻尼力（Damping Force）阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。阻尼的来源（物理机制）：(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；(2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。粘性(滞)阻尼力可表示为：D 表示阻尼（Damping）c 阻尼系数（Damping coefficient）质点的运动速度 2.1 基本概念阻尼系数 c 的确定：不能像结构刚度k那样
5、可通过结构几何尺寸、构件尺寸和材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。其它常用的阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)；流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。滞变阻尼时滞阻尼复阻尼2.1 基本概念 线弹性体系和粘弹性体系(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)线弹性体系线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。最简单的理想化力学模型。粘弹性
6、体系粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。结构动力分析中的最基本力学模型。2.1 基本概念 非弹性体系(Inelastic System)结构构件的力-变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。构件（或弹簧）的恢复力可表示为 fs是位移和速度的 非线性函数。图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系 第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.2 基本力学原理与 运动方程的建立 DAlembert原理 虚位移原理 Hamilton原理 Lagrange方程2.2 基本力学原理与运动方程的建立运动方程：描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式。（
7、有时也称为动力方程）v运动方程是进行结构动力分析的基础基础v运动方程的建立是结构动力学的重点重点和难点难点本章首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。基本动力体系：应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。质量；弹簧；阻尼器。质量；弹簧；阻尼器。单自由度体系：SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 基本动力体系两个典型的单自由度体系 (a)
8、单层框架结构(b)弹簧质点体系 物理元件：物理元件：质量质量 集中质量m 阻尼器阻尼器 阻尼系数c 弹簧弹簧 弹簧刚度k两个力学模型完全等效因为两个体系的运动方程相同 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 DAlembert原理（直接动力平衡法）DAlembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。单质点体系的受力分析 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 DAlembert原理DAlembert原理的优点原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了DAlembert 原理之后，
9、形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，DAlembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。DAlembert原理的贡献原理的贡献：建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。2.2 运动方程的建立 可能位移；实位移；虚位移 虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做的总虚功为:单质点体系的受力分析2.2 基本力学原理与运动方程的建立2.2.2
10、 虚位移原理虚虚位位移移原原理理的的优优点点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比DAlembert原理中需要采用的矢量运算更简便。对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些 2.2 基本力学原理与运动方程的建立 Hamilton原理可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。变分法是求体系能量（功）的极值。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。2.2 基本力学原理与运
11、动方程的建立 Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)Hamilton原理：在任意时间区段t1,t2内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。T 体系的总动能；V 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc 作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；在指定时间段内所取的变分。对于静力问题:最小势能原理。2.2 基本力学原理与运动方程的建立 Hamilton原理 Hamilton原原理理的的优优点点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算
12、虚功的力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量 转动质量位能：拉伸弹簧 转动弹簧多自由度体系：动能 位能2.2 基本力学原理与运动方程的建立用Hamilton原理建立体系的运动方程体系的动能：位能(弹簧应变能)：因此能量的变分：非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：对上式中的第一项进行分部积分2.2 基本力学原理与运动方程的建立 Lagrange方程 Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：其中：T 体系的动能；V 体系
13、的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Qj与qj相应的广义力。2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为杆1和杆2的转角。为方便计算体系的动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更容易建立体系的势能和动能公式。2.2.4 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例2.8和广义坐标q1、q2的关系及其速度之间的关系如下：2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8体系的动能T：设q1=q2=0时是0势能位置，则势能（位能
14、）V：2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8取Lagrange方程中的i=1,2，得到，假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程：可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8复合摆的运动方程：当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线性的。当m2=0时，得到单摆的运动方程:2.2 基本力学原理与运动方程的建立 Lagrange方程 应用Lagrange方程方法建立体系运动方程的步骤：1.建立坐标系
15、，确定广义坐标；2.建立广义坐标与物理坐标之间的关系；3.写出体系动能和势能的表达式；4.代入Lagrange方程写出体系的运动方程。四种建立运动方程的方法的特点DAlembert原理：原理：是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。DAlembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当结构具有分布质量和弹性时，直接应用DAlembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。虚位移原理：虚位移原理：部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。五种建立运动方程的方法的特点Hamil
16、ton原理：原理：是一种建立运动方程的能量方法(积分形式的变分原理)，如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。Lagrange方程：方程：得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。2.2 基本力学原理与运动方程的建立4 4种种建立运动方程的方法的特点建立运动方程的方法的特点运动方程的方法
17、运动方程的方法2.2 基本力学原理与运动方程的建立单自由度体系的运动方程单自由度系统运动方程反映了结构动力学中将遇到的几乎所有的物理量(1)质量m,和惯性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)刚度k,和弹性恢复力：对于多自由度体系：第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.3 重力的影响 2.3 重力的影响 静平衡位置：受动力作用以前结构所处的实际位置 st重力W=mg作用下体系的静位移记：动位移为u 惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别为：应用DAlembert原理：外荷载为：2.3 重力的影响 考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。可见
18、在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。当需要考虑重力影响时，结构的总位移为总位移=静力解+动力解 即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。2.3 重力的影响 v并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构是线弹性的，因此只有对线弹性结构（如果是二维或三维问题，还要加上小变形（位移）的限制）才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。v应当注意的
19、是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧-质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。如果重力的影响没有预先被平衡(或发生了变化)，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P-效应。最简单的例子是倒立摆，当倒立摆产生水平振动后，摆的重力引起的附加弯矩是一个新的量，它并没有预先被平衡(且随摆角变化)，将对体系的动力反应产生影响，这种影响必然反映到结构的运动方程中。第2章 分析动力学基础及运动方程的建立 2.4 地基运动的影响 2.4 地基运动的影响 地基运动问题：结构的动力反应不是由直接作用到结构上的动力 引起的，而是由于结构基础的运动引起的。ug地基位移，是已知的u 相对位移，反映结构变形ut=u+ug绝对位移。惯性力：阻尼力：弹性恢复力：外荷载：0 应用DAlembert原理 相对运动方程：等效荷载等效荷载重力和地基运动的影响 以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结构运动方程的建立方法，虽然例题极为简单，但包含了最基本的概念和原理。以后会涉及到更复杂的结构体系，例如结构构造复杂、自由度多，包含连续分布的质量，地震多方向（多维）和多点（在结构不同的支承处的地面运动不一致）输入等等，但灵活应用本章介绍的方法都可以得到解决。