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1、第一章第一章 多项式多项式概述概述_1n n代数角度 代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式n n函数角度 根及其性质，余数定理n n二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等概述概述_2n n与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理等n n与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论等一元多项式一元多项式l l定义定义定义定义 K K:数域数域,a ai iKK,0,0i i n n;n n0,0,x x:未定元未定元,形如形如 称为称为KK上关于上关于x x 的的
2、一元多项式一元多项式一元多项式一元多项式.a ai ix xi i :称为称为第第i i 次项次项,a ai i :第第i i 次项系数次项系数.n n 次多项式次多项式:当当a an n 00时时,次数记为次数记为deg deg f f(x x)=)=n n,a an nx xn n :首项首项,a an n :首项系数首项系数.a a0 0 :常数项常数项.零次多项式零次多项式(常数多项式常数多项式):):f f(x x)=)=a a0 0 0.0.零多项式零多项式:f f(x x)=0,)=0,此时规定此时规定:deg:deg f f(x x)=)=多项式的相等多项式的相等n n定义定义
3、定义定义 两个多项式称为两个多项式称为相等相等相等相等当且仅当它们的次数相同且当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等各次项的系数相等即若即若 则则f f(x x)=)=g g(x x)当且仅当当且仅当m m=n n,a ai i=b=bi i,1 1 in in多项式的运算多项式的运算_加法加法1设设f f(x x),),g g(x x)KK x x,适当增加几个系数为适当增加几个系数为0 0的项的项,可设可设 定义定义加法加法加法加法:则则则则 f f(x x)+)+g g(x x)KK x x.多项式的运算多项式的运算_加法加法2Kx对加法构成加群,即满足如下性质性质 (1)(f(x)+
4、g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(f(x)=0多项式的运算多项式的运算_数乘数乘1 设定义c与f(x)的数乘数乘为:则 cf(x)Kx.多项式的运算多项式的运算_数乘数乘2Kx对加法与数乘构成K上的线性空间,即满足(1)(4)且满足如下性质性质 (5)(6)(7)(8)多项式的运算多项式的运算_乘法乘法设设定义定义f f(x x)与与g g(x x)的的乘积乘积乘积乘积:f f(x x)g g(x x)=)=h h(x x)其中其中KxKx对加法对加法,数乘和乘法构成数乘和乘法构成K-K-
5、代数代数,即满足即满足(1)(8)(1)(8)且满足且满足性质性质性质性质:(9)(9)(f f(x x)g g(x x)h h(x x)=)=f f(x x)()(g g(x x)h h(x x)(10)(10)f f(x x)g g(x x)=)=g g(x x)f f(x x)(11)(11)(f f(x x)+)+g g(x x)h h(x x)=)=f f(x x)h h(x x)+)+g g(x x)h h(x x)(12)(12)c c(f f(x x)g g(x x)=()=(c fc f(x x)g g(x x)=)=f f(x x)()(c gc g(x x)(13)1 (
6、13)1f f(x x)=)=f f(x x).).n n注注1:1:因为因为(9),(10),(13),(9),(10),(13),KK x x 称为称为K K上存在单位元上存在单位元1 1的的结合交换代数结合交换代数.n n注注2:2:因为因为(1)(4),(9)(11),(13),(1)(4),(9)(11),(13),KK x x 对加法和乘法对加法和乘法构成有单位元的结合交换环构成有单位元的结合交换环.多项式的次数多项式的次数l ldegdeg f f(x x)g g(x x)=deg)=deg f f(x x)+deg)+deg g g(x x)l ldegdeg f f(x x)
7、=deg=deg cf cf (x x),0 ),0 c cK Kl ldeg(deg(f f(x x)+)+g g(x x)maxdeg)maxdeg f f(x x),deg),deg g g(x x)l lf f(x x),),g g(x x)KK x x.f f(x x)0,g()0,g(x x)0,)0,则则 f f(x x)g g(x x)0.)0.l l若若 f f(x x)0,)0,f f(x x)g g(x x)=)=f f(x x)h h(x x),),则则 g g(x x)=)=h h(x x)整除整除_定义定义n n定义定义定义定义:设设 f f(x x),),g g(
8、x x)KK x x.若存在若存在h h(x x)KK x x.使得使得 f f(x x)=)=g g(x x)h h(x x),),则称则称 g g(x x)整除整除整除整除f f(x x),),或或 f f(x x)被被g g(x x)整除整除,或或g g(x x)是是f f(x x)的的因式因式因式因式.记为记为g g(x x)|)|f f(x x).).否则记否则记g g(x x)f f(x x).).l l任意的任意的 f f(x x)KK x x,有有 f f(x x)|0)|0l l对对 f f(x x)0,)0,则则 0 0 f f(x x)l l0 0 c c K,K,对任意
9、对任意 f f(x x),),有有 c c|f f(x x).).整除整除_性质性质n n性质性质性质性质:f f(x x),),g g(x x),),h h(x x)K Kx x,0 ,0 c cK,K,则则 (1)(1)f f(x x)|)|g g(x x),),则则 c c f f(x x)|)|g g(x x)(2)(2)f f(x x)|)|g g(x x),),g g(x x)|)|h h(x x),),则则 f f(x x)|)|h h(x x)(3)(3)f f(x x)|)|g g(x x),),f f(x x)|)|h h(x x),),则则 u u(x x),),v v(
10、x x)K Kx x,有有f f(x x)|)|u u(x x)g g(x x)+)+v v(x x)h h(x x)(4)(4)f f(x x)|)|g g(x x),),g g(x x)|)|f f(x x),),则存在则存在c c 0 0K,K,使使 f f(x x)=)=cgcg(x x).).带余除法带余除法 设设f f(x x),),g g(x x)Kx,g g(x x)0,)0,则存在唯一则存在唯一q q(x x)、r r(x x)KK x,且且degdeg r r(x x)deg deg g g(x),),使得使得 f f(x x)=)=g g(x x)q q(x x)+)+r
11、 r(x x)注注:定理结论可叙述为：定理结论可叙述为：f f(x x)=)=g g(x x)q q(x x)+)+r r(x x),),这里或者这里或者 r r(x x)=0)=0，或者，或者 0 deg 0 deg r r(x x)deg)deg g g(x x).).q q(x x)称为称为g(g(x x)除除 f f(x x)的的商式商式商式商式 ,r r(x x)称为称为 g(g(x x)除除 f f(x x)的的余式余式余式余式.推论推论推论推论:f f(x x),),g g(x x)Kx,g g(x x)0,)0,则则 g g(x x)|f f(x x)当且仅当且仅当当 g g(
12、x x)除除 f f(x x)的余式为的余式为0.0.最大公因式最大公因式_定义定义n n定义定义:设 f(x),g(x)Kx,若d(x)Kx使得 (1)(1)d(x)|f(x)且 d(x)|g(x)(2)若h(x)|f(x)且 h(x)|g(x),则有 h(x)|d(x)则称 d(x)是 f(x)与 g(x)的最大公因式最大公因式.最大公因式最大公因式_唯一性唯一性 设 d(x),d1(x)是 f(x)和 g(x)的最大公因式,据定义有 d(x)|d1(x)且 d1(x)|d(x),故存在cK,使得d(x)=cd1(x).即f(x),g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。规定 f(x),g
13、(x)的最大公因式的首项系数为1，则 f(x),g(x)的最大公因式唯一确定,记为d(x)=(f(x),g(x).最大公因式最大公因式_存在性存在性n n定理定理定理定理设设f f(x x),),g g(x x)K Kx x,则存在则存在d d(x x)K Kx x,使得使得 (f f(x x),),g g(x x)=)=d d(x x),),且存在且存在u u(x x),),v v(x x)K Kx x,使得使得 d d(x x)=)=u u(x x)f f(x x)+)+v v(x x)g g(x x).).证明用证明用EuclideanEuclidean辗转相除法辗转相除法.n n注注1
14、:1:证明方法即是计算方法证明方法即是计算方法.n n注注2:2:设设f f(x x),),g g(x x),),d d(x x)K Kx x,且且 d d(x x)的首项系数的首项系数为为1.1.如果存在如果存在 u u(x x),),v v(x x)K Kx x,使得使得 (1)(1)d d(x x)=)=u u(x x)f f(x x)+)+v v(x x)g g(x x)(2)(2)d d(x x)|)|f f(x x),),d d(x x)|)|g g(x x)则则 d d(x x)=()=(f f(x x),),g g(x x).).特别提示特别提示 若没有条件若没有条件(2),(
15、2),则则(1)(1)不能保证结论成立不能保证结论成立.最大公因式最大公因式_多个多项式多个多项式n n定义定义:对对m m个多项式个多项式 f fi i(x)(x)KK x x,1 ,1 i i m,m,若存在若存在首项系数为首项系数为1 1的的 d d(x x)K Kx x,使得使得(1)(1)d d(x x)|)|f fi i(x x),1 1 i i m m(2)(2)若若 h h(x x)|)|f fi i(x x),1 1 i i m,m,则则 h h(x x)|)|d d(x x)则称则称 d d(x x)是是 f fi i(x x),1 1 i i m m 的的最大公因式最大公
16、因式最大公因式最大公因式,记做记做d d(x x)=()=(f f1 1(x),(x),f f2 2(x),(x),f fm m(x x)命题命题:设设f f(x x),),g g(x x),),h h(x x)K Kx x,则则 (f f(x x),),g g(x x),),h h(x x)=()=(f f(x x),),g g(x x),),h h(x x)=(=(f f(x x),(),(g g(x x),),h h(x x)互素互素_1n n定义定义:设 f(x),g(x)Kx,若(f(x),g(x)=1,则称 f(x)与 g(x)互素互素.n n定理定理 设 f(x),g(x)Kx,
17、则 f(x),g(x)互素当且仅当存在 u(x),v(x)使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.互素互素_2n n性质性质性质性质:l l设设 f f1 1(x x)|)|g g(x x),),f f2 2(x x)|)|g g(x x),),且且 (f f1 1(x x),),f f2 2(x x)=1,)=1,则则f f1 1(x x)f f2 2(x x)|)|g g(x x).).l l设设(f f(x x),),g g(x x)=1,)=1,且且 f f (x x)|)|g g(x x)h h(x x),),则则 f f (x x)|)|h h(x x).).l l设设(f
18、f(x x),),g g(x x)=)=d d(x x),),f f (x x)=)=f f1 1(x x)d d(x x),),g g(x x)=)=g g1 1(x x)d d(x x),),则则 (f f1 1(x x),),g g1 1(x x)=1.)=1.l l设设(f f1 1(x x),),g g(x x)=1,()=1,(f f2 2(x x),),g g(x x)=1,)=1,则则(f f1 1(x x)f f2 2(x x),),g g(x x)=1.)=1.中国剩余定理中国剩余定理_1n n命题命题命题命题 设设 p p1 1(x x),p,p2 2(x x),p,pn
19、 n(x x)是数域是数域K K上两两互素的上两两互素的多项式多项式,证明对于每个证明对于每个i i,1,1in,in,存在多项式存在多项式f fi i(x x),使得使得 n n中国剩余定理中国剩余定理中国剩余定理中国剩余定理 设设p p1 1(x x),),p p2 2(x x),),p pn n(x x)是数域是数域K K上两上两两互素的多项式两互素的多项式,deg deg p pi i(x x)=)=m mi i,1 1 in in,则对任意则对任意n n个个多项式多项式f f1 1(x x),),f f2 2(x x),),f fn n(x x),),存在唯一多项式存在唯一多项式 f
20、 f(x x),),使得使得deg deg f f(x x)m m1 1+m+m2 2+m+mn n,且对任意且对任意 i i,1 1inin,有有f f(x x)f fi i(x x)(mod)(mod p pi i(x x).).中国剩余定理中国剩余定理_2n nLanguage插值公式插值公式 设a1,a2,an是数域K上n 个不同的数,则对任意 n 个数b1,b2,bn,存在唯一次数小于 n 的多项式 适合条件L(ai)=bi,1 i n.不可约多项式不可约多项式_定义定义n n定义定义 设 p(x)Kx,且deg p(x)1,若 p(x)不能表为两个次数较小的多项式之积,则称 p(x
21、)是不可约多项式不可约多项式,否则称为可约多项式可约多项式.n n注 多项式的可约不可约与数域K有关.n n例如 x22在Qx上是不可约多项式,但在Rx上是可约多项式.不可约多项式不可约多项式_性质性质n n性质性质性质性质1 1 f f(x x),),p p(x x)KK x x,且且p p(x x)是不可约多项式是不可约多项式,则或则或 p p(x x)|)|f f(x x)或或 (f f(x x),g,g(x x)=1.)=1.n n性质性质性质性质2 2 设设f f(x x),),g g(x x),),p p(x x)KK x x,且且 p p(x x)是不可约多是不可约多项式项式,若
22、若 p p(x x)|)|f f(x x)g g(x x),),则或则或 p p(x x)|)|f f(x x)或或 p p(x x)|)|g g(x x).).n n注注1 1 设设 p p(x x)KK x x,满足以下性质满足以下性质:对任意对任意 f f(x x)KK x x 或或 p p(x x)|)|f f(x x)或或 (f f(x x),g,g(x x)=1,)=1,则则 p p(x x)是是不可约多项式不可约多项式.n n注注2 2设设 p p(x x)KK x x,满足以下性质满足以下性质:对任意对任意 f f(x x),),g g(x x)KK x x,如果如果 p p(
23、x x)|)|f f(x x)g g(x x)必有必有 p p(x x)|)|f f(x x)或或 p p(x x)|)|g g(x x),),则则 p p(x x)是不可约多项式是不可约多项式.因式分解基本定理因式分解基本定理_1n n设设 f f(x x)KK x x,且且deg deg f f(x x)1,)1,则则1)1)f f(x x)=)=p p1 1(x x)p p2 2(x x)p ps s(x x),),其中其中 p pi i(x x)是不可约多是不可约多项式项式,1 1isis;2)2)若若f f(x x)=)=p p1 1(x x)p p2 2(x x)p ps s(x
24、x)=)=q q1 1(x x)q q2 2(x x)q qt t(x x)其中其中 p pi i(x x),),q qj j(x x)是不可约多项式是不可约多项式,1 1is,is,1 1jt,jt,则则 必有必有s s=t t且经过适当调换因子顺序后且经过适当调换因子顺序后,q qj j(x x)=)=c ci i p pi i(x x),),1 1is,is,其中其中c ci i是是KK中非零常数中非零常数.n n 多项式的多项式的标准分解式标准分解式标准分解式标准分解式 其中其中p pi i(x x)是两两互素首项系数为是两两互素首项系数为1 1的不可约多项式的不可约多项式,e ei
25、i1.1.最小公倍式最小公倍式n n定义定义:设 f(x),g(x),c(x)Kx,且 c(x)的首项系数为1，c(x)称为 f(x),g(x)的最小公最小公倍式倍式,如果 1)f(x)|c(x),且 g(x)|c(x)2)若 f(x)|h(x),g(x)|h(x),则 c(x)|h(x)记为 c(x)=f(x),g(x)因式分解基本定理因式分解基本定理_2n n设ei0,fi0,ei+fi0,1iim,pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,则1.2.3.4.5.重因式重因式_1n n多项式的导数导数 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,则其导数为f(x)=nan
26、xn-1+(n-1)an-1xn-2+a1n n(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)n n(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)n n(cf(x)=cf(x)n n(f m(x)=mf m-1(x)f(x).重因式重因式_2n n定义定义 不可约多项式p(x)称为f(x)的ei重因式重因式 (ei1),如果 并且 .n n定理定理 f(x)无重因式当且仅当(f(x),f(x)=1.n n定理定理 设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则 f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.证明思路:设 是标准分
27、解式,则 而 .多项式函数多项式函数_1n n设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,对任意b K,定义f(b)=anbn+an-1bn-1+a1b+a0,则 定义了数域K上的函数.n n定义定义 设f(x)Kx,bK,且且f(b)=0,则称b为f(x)的一个根根或零点零点.n n余数定理余数定理 设f(x)Kx,bK,则存在g(x)Kx,使得 f(x)=(x-b)g(x)+f(b).特别地,b是f(x)的根当且仅当(x-b)|f(x).多项式函数多项式函数_2n n定理定理 设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个不同的根.n n推论推论 设f(x),g
28、(x)Kx,且degf(x),degg(x)n,且存在不同的n+1个数 b1,b2,bn+1K,使得 f(bi)=g(bi),1in+1,则 f(x)=g(x).n n定理定理 设f(x),g(x)Kx,则f(x),g(x)作为多项式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等(即对任意bK,有f(b)=g(b).多项式函数多项式函数_3n n定义定义 bK,若(x-b)k|f(x),但则称b为f(x)的一个k重根重根.若k=1,则称b为单单根根.n n注1 f(x)有重根,则必有重因式;反之未必.n n命题命题 设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在
29、K内至多有n个根.多项式性质与数域扩大的关系多项式性质与数域扩大的关系n n多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关无关n n定理定理定理定理 设设F F,K K是数域是数域,且且 .设设f f(x x),),g g(x x)K K x x,则则1)1)在在KK x x 上上,g g(x x)|f f(x x)在在F F x x 上上,g g(x x)|)|f f(x x););2)2)在在KK x x 上上,f f(x x)=g g(x x)q q(x x)+r+r(x x)在在F F x x 上上,f f(x x)=g g(x
30、 x)q q(x x)+r+r(x x)3)3)在在KK x x 上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=d d(x x)在在F F x x 上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=d d(x x)4)4)在在KK x x 上上,(,(f f(x x),g g(x x)=1)=1 在在F F x x 上上,(,(f f(x x),g g(x x)=)=1 1 n n多项式的根、重根、不可约、标准型与数域扩大有关多项式的根、重根、不可约、标准型与数域扩大有关复系数多项式复系数多项式n n代数基本定理代数基本定理 每个次数大于0的复数域上多项式都至少有一个根.n n推论推论
31、 复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.n n推论推论 复数域上的不可约多项式都是一次的.n n复数域上多项式的标准分解式:其中ai是两两不同的复数.Vieta定理定理_根与系数的关系根与系数的关系n n设f(x)=xn+p1xn-1+pn-1x+pnKx在K中有n个根 x1,x2,xn,则 一元三次方程的公式解一元三次方程的公式解_Cartan公式公式n n 考虑一元三次方程式 f(x)=x3+ax2+bx+c=0.作变换 ,化为缺二次项方程 y3+py+q=0.考虑方程 f(x)=x3+px+q=0 (*)的根.若q=0,则 是方程的根.若p=0,则 是方程的根,其中 若p0,q
32、0,令x=u+v,得x3-3uvx-(u3+v3)=0.比较(*)式,得一元三次方程的公式解一元三次方程的公式解_Cartan公式公式 由Vieta定理知,u3,v3是 的两个根.所以,令 可得式(*)的三个根为一元四次方程的公式解一元四次方程的公式解_Ferrari解法解法n n设设f f(x x)=x=x4 4+axax3 3+bxbx2 2+cxcx+d d,作变换，作变换，问题归结为解下面方程问题归结为解下面方程:x x4 4+axax2 2+bxbx+c c=0(=0(*)引入新的未知量引入新的未知量u u,得得若中括号内是一个完全平方，则可化为两个二次若中括号内是一个完全平方，则可
33、化为两个二次方程来解方程来解而中括号是完全平方当且仅当而中括号是完全平方当且仅当解出解出u u，则，则(*)变为变为分解因式后得到两个二次方程：分解因式后得到两个二次方程：,n n注注:高于四次以上的方程一般是没有公式解高于四次以上的方程一般是没有公式解用根公式解代数方程的历史用根公式解代数方程的历史_1n n一元二次方程：公元前2000年，古巴比伦人，类似配方法n n一元三次方程：S.del.Ferro(1465-1526)和N.Fontan Linebreak(即Tartaglia)(1499-1557)，根式解n n一元四次方程：L.Ferrari(1522-1565)，根式解以上解法收
34、入G.Cardano(1501-1576)在1545年出版的Ars Magna（大术）中用根公式解代数方程的历史用根公式解代数方程的历史_2挑战：找出五次方程的根式解挑战：找出五次方程的根式解 15451545年来近年来近300300年努力，年努力，中间应该提到中间应该提到Lagrange,Gauss,P.RuffiniLagrange,Gauss,P.Ruffini等名字。等名字。n n18241824年，挪威青年数学家年，挪威青年数学家AbelAbel（-1828-1828）证明了一证明了一般五次方程根式解的不可能性。但证明有漏洞，且般五次方程根式解的不可能性。但证明有漏洞，且未解决一元未
35、解决一元n n次方程何时可用根式求解，何时不可次方程何时可用根式求解，何时不可用根式求解。用根式求解。n n18301830年，法国天才的青年数学家年，法国天才的青年数学家GaloisGalois借助于他创借助于他创立的群的理论彻底解决这个问题。用域论、群论语立的群的理论彻底解决这个问题。用域论、群论语言刻划了言刻划了f f(x x)可用根式解的充要条件。可用根式解的充要条件。n nGaloisGalois的工作更重要的是开创了代数学的新纪元。的工作更重要的是开创了代数学的新纪元。一门全新的并在代数学中起极其重要的数学分支一门全新的并在代数学中起极其重要的数学分支抽象代数从此诞生了。抽象代数从
36、此诞生了。实系数多项式实系数多项式n n定理定理定理定理:设设f f(x x)=)=a an nx xn n+a an n-1-1x xn n-1-1+a a1 1x x+a a0 0 是实系数多项是实系数多项式若复数式若复数a a+b bi i是是f f(x x)的根，则的根，则a ab bi i也是也是f f(x x)的根的根.n n推论推论:实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式axax2 2+bx+c+bx+c,其中其中b b2 24aco4aco.n n实数域上多项式的标准分解式实数域上多项式的标准分解式实数域上多项式的标准分解式实数域上
37、多项式的标准分解式:其中其中e ei i,b,bi i,c,ci i全是实数，全是实数，e ei i,f,fj j全是正整数，全是正整数，b bi i2 24 4c ci i0.0,an-10,an-k-10.但an-k0),则对f(x)的任一正根c(如果存在),有:n n注注:求负根的下界,只需求正根的上界即可.实多项式根的上下界估计实多项式根的上下界估计_2n n证明:反证法.若 则 因此c 不可能是f(x)的零点。实多项式的实根个数的估计实多项式的实根个数的估计_1n nSturmSturm序列序列序列序列:设设f f(x x)没有重根没有重根,记记 g g0 0(x x)=)=f f
38、(x x),),g g1 1(x x)=)=f f (x x).).则则 (f f (x x),),f f (x x)=1.)=1.对对f f(x x)与与f f (x x)作辗转相除作辗转相除：g g0 0(x x)=)=g g1 1(x x)q q1 1(x x)g g2 2(x x)g g1 1(x x)=)=g g2 2(x x)q q2 2(x x)g g3 3(x x)g gs-2s-2(x x)=)=g gs-1s-1(x x)q qs-1s-1(x x)g gs s(x x)其中其中g gs s(x x)为非零常数多项式，我们称为非零常数多项式，我们称:g g0 0(x x),
39、),g g1 1(x x),),g gs s(x x)是一个是一个SturmSturm序列序列序列序列.实多项式的实根个数的估计实多项式的实根个数的估计_2 对任意实数对任意实数c c，得到实数列，得到实数列:g g0 0(c c),),g g1 1(c c),),g gs s(c c),),划去其中零划去其中零,从左往右看从左往右看,相邻两个数符号相相邻两个数符号相反反,则称有一个变号数则称有一个变号数.变号数的总和称为该数列变号数的总和称为该数列的的变号数变号数变号数变号数,记为记为V V(c c)引理引理引理引理 上述上述SturmSturm序列有下列性质：序列有下列性质：1 1）相邻的
40、两个多项式）相邻的两个多项式g gi i(x x)与与g gi i+1+1(x x)无公共根；无公共根；2 2）若）若g gi i(c c)=0,)=0,则则g gi i-1-1(c c)=-)=-g gi i+1+1(c c););3 3）若若c c是是g g0 0(x x)的根的根,则存在则存在 ,使当使当 时时,g g0 0(x x)与与g g1 1(x x)异号异号;当当 时时,g g0 0(x x)与与g g1 1(x x)同号。同号。实多项式的实根个数的估计实多项式的实根个数的估计_3SturmSturm定理定理定理定理 设设f(x)是实系数多项式且无重根是实系数多项式且无重根,a
41、 a)V V(b b),),且且f(f(x x)在区间在区间(a a,b b)内实根的个数等于内实根的个数等于V V(a a)V V(b b).).特别特别,若若a a,b b分别是分别是f(x)的实根的上下界的实根的上下界,则则V V(a a)V V(b b)等于等于f(x)的实根总数的实根总数证明思路证明思路证明思路证明思路:1:1）当）当 x x 增大且不经过上述增大且不经过上述SturmSturm序列中每个多项序列中每个多项式的零点时，变号数不变；式的零点时，变号数不变；2 2）当）当 x x 增大且经过增大且经过SturmSturm序列中除序列中除g g0 0(x x)外的某些多外的
42、某些多项式的零点时，它们的总变号数不变；项式的零点时，它们的总变号数不变；3 3）当）当 x x 增大且经过增大且经过SturmSturm序列中含序列中含g g0 0(x x)的多项式的多项式的零点时，它们的总变号数恰好减的零点时，它们的总变号数恰好减1 1。有理系数多项式有理系数多项式_1n n定理定理定理定理：设设f f(x x)=)=a an nx xn n+a an-n-1 1x xn n-1-1+a a1 1x x+a a0 0是整系数多项式，是整系数多项式，则有理数则有理数p p/q q是是f f(x x)的根的必要条件是的根的必要条件是 p p|a an n,q q|a a0 0
43、，其中其中p p,q q是互素的整数是互素的整数n n定义定义定义定义：设多项式设多项式f f(x x)=)=a an nx xn n+a an-n-1 1x xn n-1-1+a a1 1x x+a a0 0是整系数是整系数多项式，若多项式，若a an n,a,an-n-1 1,a a0 0的最大公约数为的最大公约数为1 1，则称，则称 f f(x x)为为本原多项式本原多项式n nGaussGauss引理引理引理引理：两个本原多项式之积仍为本原多项式两个本原多项式之积仍为本原多项式有理系数多项式有理系数多项式_2n n定理定理定理定理:若整系数多项式若整系数多项式f f(x x)在有理数域
44、上可约在有理数域上可约,则它必则它必可分解为两个次数较低的整系数多项式之积可分解为两个次数较低的整系数多项式之积.n nEisensteinEisenstein判别法判别法判别法判别法:设多项式设多项式f f(x x)=anx xn+a an-1x xn-1+a a1x x+a a0是整是整系数多项式系数多项式,an0,n n11，p p是一个素数是一个素数,若若 p p|a ai i,i i n n-1.-1.但但 p p不整除不整除 an,且且 p p2 2不整除不整除 a0,则则f f(x x)在有在有理数域上不可约理数域上不可约.一元多项式性质小结一元多项式性质小结n n与数域无关的性
45、质:整除,带余除法,最大公因式,互素.n n与数域有关的性质:不可约多项式,标准分解式,重因式,多项式的根.n n定理定理:设p(x),f(x)Kx是不可约多项式,若 p(x)和 f(x)在复数域上有公共根,则 p(x)|f(x).多元多项式多元多项式_1n n两个n元多项式相等当且仅当它们同类项的系数全部相等n n若f(x1,x2,xn)和g(x1,x2,xn)都是K上n元非零多项式,则按字典排列后乘积的首项等于f与g的首项之积.多元多项式多元多项式_2n n若f(x1,x2,xn)0,g(x1,x2,xn)0,则f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)0n n设f(x1,x2,xn)是
46、K上n元非零多项式,则必存在K上n个元a1,a2,an使得f(a1,a2,an)0n nK上两个n元多项式f(x1,x2,xn),g(x1,x2,xn)相等的充要条件是对任意a1,a2,an K都有:f(x1,x2,xn),=g(x1,x2,xn)对称多项式对称多项式_1定义定义定义定义:设设f(x1,x2,xn)是是KK上上n n元多项式，若对任意元多项式，若对任意的的11i i j j n n均有：均有：f(x1,xi,xj,xn)f(x1,xj,xi,xn)则称则称f(x1,x2,xn)是是KK上上n元对称多项式元对称多项式n n对称多项式在未定元的任一置换下不变对称多项式在未定元的任一
47、置换下不变n n对称多项式的和是对称多项式对称多项式的和是对称多项式n n对称多项式的乘积是对称多项式对称多项式的乘积是对称多项式n n对称多项式的多项式是对称多项式对称多项式的多项式是对称多项式对称多项式对称多项式_2n n初等对称多项式初等对称多项式:对称多项式对称多项式_2n n对称多项式基本定理对称多项式基本定理:设f(x1,x2,xn)是数域K上的对称多项式,则必存在K上唯一的一个多项式g(y1,y2,yn)使得 f(x1,x2,xn)=g(12n).n n注:证明是构造性的,证明过程实际上给出求 g(y1,y2,yn)的方法.结式和判别式结式和判别式_1n n设设f f(x x)=
48、)=a a0 0 x xn n+a a1 1x xn n-1-1+a an n ,g g(x x)=)=b b0 0 x xn n+b b1 1x xn n-1-1+b bn n下列阶行列式下列阶行列式称为称为f f(x x)与与g g(x x)的的结式结式.结式和判别式结式和判别式_2n n定理定理定理定理:f(x)和g(x)是互素当且仅当R(f,g)0.n n定理定理定理定理:设f(x)=a0 xn+a1xn-1+an,g(x)=b0 xn+b1xn-1+bn,f(x)的根为x1,x2,xn,g(x)的根为y1,y2,ym,则结式和判别式结式和判别式_3n n利用结式,可以定义一个多项式 f(x)=a0 xn+a1xn-1+an的判别式判别式为:n n定理定理定理定理:设多项式f(x)=a0 xn+a1xn-1+an的根为x1,x2,xn，则n n推论推论推论推论:f(x)有重根当且仅当(f)=0