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1、 第二章第二章 气体分子运动论气体分子运动论 (Kinetic theory of gases)2.1 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度 2.2 能量均分定理能量均分定理 2.3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证 2.5 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 2.6 实际气体等温线实际气体等温线 2.7 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程 2.8 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 2.9 输运过程输运过程 2.1 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度本节是典型的微观研究方法。本节是典型的微观研究方法。一般气体分子热运动
2、的概念：一般气体分子热运动的概念：分子的密度分子的密度 3 1019 个分子个分子/cm3=3千亿个亿；千亿个亿；分子之间有一定的间隙分子之间有一定的间隙,有一定的作用力；有一定的作用力；分子热运动的平均速度约分子热运动的平均速度约 v=500m/s；分子的平均碰撞次数约分子的平均碰撞次数约 z=1010 次次/秒秒。一一.微观模型微观模型二理想气体压强公式的推导二理想气体压强公式的推导三理想气体的温度和分子平均平动动能三理想气体的温度和分子平均平动动能一一.微观模型微观模型 1.对单个分子的力学性质的假设对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积；分子当作质点，不占体积；（因为分子的线
3、度（因为分子的线度0)vx2=ni vxi2inP=dIdt dA=nm vx2=13 nm v 22123 n(m v2 )=2=3n t 公式描述的是统计规律公式描述的是统计规律,而不是力学规律而不是力学规律.思考：思考：推导过程中是否应考虑小柱体内，会有推导过程中是否应考虑小柱体内，会有速度为速度为 的分子被碰撞出来而未打到的分子被碰撞出来而未打到dA面上？面上？ivr 公式成立的条件：公式成立的条件：公式有待于实验的验证公式有待于实验的验证 (因为宏观量因为宏观量P与微观量的统计平均值相联系与微观量的统计平均值相联系)(作了几条统计假设作了几条统计假设)三理想气体的温度和分子平均平动动
4、能三理想气体的温度和分子平均平动动能P=n kT t=32kT平均平动动能只与温度有关平均平动动能只与温度有关理想气体温标或热力学温标理想气体温标或热力学温标温度是统计概念，温度是统计概念，只能用于大量分子，只能用于大量分子，温度标志物体内部温度标志物体内部分子无规运动的剧分子无规运动的剧烈程度。烈程度。方均根速率方均根速率 V2=m3kT 3RT=例例.在在 0oC 时，时，H2分子分子 smv/18361002.2273 31.8332=-O2分子分子 smv/4611032273 31.8332=-2.2 能量均分定理能量均分定理自由度自由度：N个个 原子组成的分子原子组成的分子 总自由
5、度总自由度=3N，其中分子整体其中分子整体 平动自由度平动自由度=3，整体转动自由度整体转动自由度=3 N 个原子个原子振动自由度振动自由度=3N-6能量均分定理：能量均分定理：由经典统计力学描述的气由经典统计力学描述的气体在绝对温度体在绝对温度 T 时处于平衡，其能量的每时处于平衡，其能量的每个独立平方项的平均值等于个独立平方项的平均值等于 kT/2。确定一个物体空间位置确定一个物体空间位置 所需要的独立坐标数。所需要的独立坐标数。由理想气体模由理想气体模型单原子分子型单原子分子 121212E=mvx2+mvy2+mvz2 12平均动能平均动能=3 kT 每个平动自由度分配平均能每个平动自
6、由度分配平均能12 kT 刚性双原子分刚性双原子分子除平动能子除平动能,还还有转动能有转动能:1212E转动转动=IX x2 +IY y2 z非刚性双原子分非刚性双原子分子除平动能、转子除平动能、转动动,还有振动能还有振动能:每个振动自由度分配平均能每个振动自由度分配平均能 2 倍于倍于12 kT 振动自由度振动自由度=1每个平动自由度分配平均能每个平动自由度分配平均能12 kT 设平动自由度设平动自由度 t，转动自由度，转动自由度 r，振动自由度，振动自由度 s K=(t+r+s)12 kT 刚性双原子分子刚性双原子分子 K=52 kT 单原子分子单原子分子 K=32 kT 理想气体内能只是
7、温度的函理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。数，与热力学温度成正比。弹性双原子分子弹性双原子分子 =72 kT 弹性双原子分子弹性双原子分子 K=3kT分子平均总动能分子平均总动能:分子平均总能量分子平均总能量:单原子分子单原子分子 =32 kT 刚性双原子分子刚性双原子分子 =52 kT E=N =(t+r+2 s)N2 kT=(t+r+2 s)2 RT =(t+r+2s)12 kT 理想气体内能理想气体内能4.5/2(RT)1.3kT2.1/2(t+r+s)kT 3.i/2(RT)(i为分子的总自由度为分子的总自由度)5.3/2(RT)请说明下列公式的物理意义请说明下列公式的物
8、理意义复习复习1平衡态平衡态1理想气体的压强公式理想气体的压强公式一重点概念一重点概念2温度温度3理想气体的微观模型理想气体的微观模型二主要物理规律二主要物理规律2温度公式温度公式3能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 t=32kTP=13nmv 223n t=三应用三应用例：例：1mol1mol氧气氧气(视为刚性双原子分子的理想气体视为刚性双原子分子的理想气体)贮一贮一氧气瓶中，温度为氧气瓶中，温度为27,这瓶氧气的内能为这瓶氧气的内能为_J;分子的平均平动动能为分子的平均平动动能为_J;分子的平均总动能为分子的平均总动能为_ J.(R=8.31mol-1.K-1,k=1.3810-23
9、J.K-1)2.3 麦克斯韦速率布律麦克斯韦速率布律单个分子速率不可预知单个分子速率不可预知,大量分子的速率分布是遵循统大量分子的速率分布是遵循统计规律计规律,是确定的是确定的,这个规律就叫这个规律就叫麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。速率分布函数：速率分布函数：设总分子数设总分子数N，速率区间，速率区间 v v+dv，该速率区间内分子数该速率区间内分子数 dNv则则dNvN=f(v)dv速率分布函数速率分布函数速率速率 v 附近单位速率区间内附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。分子数占总分子数的百分比。显然显然 f(v)dv=1 0归一化条件归一化条件一一.麦克斯韦速率分布律麦
10、克斯韦速率分布律 气体分子在无序运动中气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，某特定分子某一特定时刻，某特定分子究竟具有多大的速率是完全究竟具有多大的速率是完全偶然，不能予知的。但对大偶然，不能予知的。但对大量分子的整体，在一定条件量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明它们下，实验和理论都证明它们的速率分布遵从一定的统计的速率分布遵从一定的统计规律。本部分将首先介绍统规律。本部分将首先介绍统计分布规律的概念，介绍测计分布规律的概念，介绍测定气体分子速率分布的实验，定气体分子速率分布的实验，和在平
11、衡态下理想气体分子和在平衡态下理想气体分子速率分布的统计规律速率分布的统计规律-麦麦克斯韦速率分布克斯韦速率分布(Maxwell speed distribution)规律规律 二二.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数f(v)=4 m2 kT3/2v2e-m v /2kT21.最概然速率最概然速率 vpf(v)=0vp=2kTm=2RT 三三.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线四四.麦克斯韦速率分布的应用麦克斯韦速率分布的应用f(v)f(vp)vvpv v+dv面积面积=dNVN0f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速
12、率大的分子数越多vp=2kTm=2RT 速率速率 vp的意义？的意义？2.平均速率平均速率 viNiN=vdNv/N=v f(v)dv 0v=v=8kT m=8RT 3.方均根速率方均根速率 v2iNiN=v2dNv/N=v2 f(v)dv 0v2=v2=3kT/mv2=3kTm=3RT 即，区间即，区间 v v+dv，分子数，分子数dNv速度在区间速度在区间 vx vx+dvx，vy vy+dvy ，vz vz+dvz=g(v)d v dNvNg(v)=m2 kT3/2 e-m v /2kT2五五.麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数六六.应用应用例例1:有有N个粒子个粒子,其速率分布函
13、数为其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数a;(2)分别求速率大于分别求速率大于v0和小于和小于v0的粒子数的粒子数;(3)求粒子的平均速率求粒子的平均速率.例例2:2:试说明下列各式的物理意义试说明下列各式的物理意义)2(0)()2()()0()(00000vvvfvvvavfvvvavvf=例例3.已知已知f(v)为麦克斯韦速率分布为麦克斯韦速率分布函数，函数，vp为分子的最可几速率。则为分子的最可几速率。则表示表示_；速率速率vvvvp p的分子的平均速率表达式的分子的平均速率表达式为为_。2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证OD蒸
14、汽源蒸汽源检测器检测器R抽气抽气抽气抽气 Lv=r RLlv=L给定给定 v =v=r lv小孔充分小，改变小孔充分小，改变，测，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布上的沉积厚度，就可测气体速率分布模拟分子束速率分布模拟分子束速率分布实验图实验图O-分子源分子源C-圆筒圆筒G-玻璃板玻璃板S1,S2,S3-狭缝狭缝铋分子从分子源开口铋分子从分子源开口逸出，通过狭缝逸出，通过狭缝S1，S2后，进入圆筒后，进入圆筒C，撞，撞击并粘附在弯曲玻璃击并粘附在弯曲玻璃板板G上。上。2.5 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律假如气体分子有势能假如气体分子有势能 Ep=Ep(x，y，z)，E=Ep+Ek一、玻耳兹曼
15、推广一、玻耳兹曼推广在麦克斯韦速度分布率中，有一因子在麦克斯韦速度分布率中，有一因子e-m v /2kT 2e-E /kT k 即即dN e-E/kT dvx dvy dvz dx dy dz 为准确描述为准确描述玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计，引入一概念，引入一概念 -微观状态微观状态气体分子速度在区间气体分子速度在区间 vx vx+dvx，vy vy+dvy ，vz vz+dvz，位置在区间位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz分子数目为分子数目为微观状态：微观状态：一气体分子处于一气体分子处于速度区间速度区间 vx vx+dvx，vy vy+dvy ,vz vz+dvz 位置区间
16、位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz,称该分子处于一种微观状态，称该分子处于一种微观状态，dvx dvy dvz dxdydz 所限定的区域称为所限定的区域称为状态区间。状态区间。玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计：玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子其它情形，如原子其它情形，如原子处于不同能级的处于不同能级的原子数目原子数目E0E3E2E1 ni e-E /kTi 温度温度T 的平衡状态下，任何系统的微观的平衡状态下，任何系统的微观 粒子按状粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量的一个粒子的能量 E 有关，而且与有关，而且
17、与e-E/kT 成正比。成正比。Ek=21m（vx2+vy2+vz2）代入上式，归一化代入上式，归一化分子数分子数 dN 处于位置区间处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dzdNdx dy dz=C e-E /kT p令令 Ep=0 处处 气体密度气体密度 n0 n=n0 e-E /kT=n0 e-mgh/kT=n0 e-gh/RTp气体密度随高度变化气体密度随高度变化二、重力场中的气体分子按位置分布二、重力场中的气体分子按位置分布dN e-（E +E ）/kT dvx dvy dvz dx dy dz kp恒温气压公式（高度计）恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化设温度不随
18、高度变化 P=P0 e-gh/RT根据压强变化测高度，实际温度也随高度变根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化化,测大气温度有一定的范围，是近似测量。测大气温度有一定的范围，是近似测量。2.6 实际气体等温线实际气体等温线在非常温或非常压的情况下在非常温或非常压的情况下,气体就不能看成理想气体了。气体就不能看成理想气体了。v（10-3 l/mol）CO2等温线等温线液液汽液共存汽液共存汽汽气气P（atm）95.50455072.3KABC48.1 OC31.1 OC21 OC13OCVP理想气体理想气体 实际气体的等温线可以分成四个区域实际气体的等温线可以分成四个区域:汽态区汽态区(能液化能
19、液化)，汽液共存区，液态区，气态区，汽液共存区，液态区，气态区(不能液化不能液化)。2.7 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用两个分子之间的相互作用势两个分子之间的相互作用势r0 称作分子半径称作分子半径 10-10 m平衡位置平衡位置s 有效作用距离有效作用距离 10-9m分子分子“互不穿透性互不穿透性”ru(r)2r0s分子为刚性球，气体分子本身占有体积分子为刚性球，气体分子本身占有体积，容，容器容积应有修正器容积应有修正一摩尔气体一摩尔气体P=v-bRT理论上理论上 b 约为分子本身体积的约为分子本身体积的 4
20、 倍倍估算估算 b 值值 10-6 m3通常通常 b 可忽略，但压强增大，容积与可忽略，但压强增大，容积与 b 可可比拟时，比拟时，b 的修正就必须了。的修正就必须了。实际实际 b 值要随压强变化而变化。值要随压强变化而变化。内压强与器壁附近吸引气体分子的气体密度成正比，内压强与器壁附近吸引气体分子的气体密度成正比，同时与在器壁附近被吸引气体分子的气体密度成正比。同时与在器壁附近被吸引气体分子的气体密度成正比。Pi n2av2Pi=P=v-bRTav2-(P+av2)(v-b)=RT质量为质量为 M 的气体的气体(P+aV2)(V-b)=RT 2M2 M M上两式就是范德瓦耳斯方程上两式就是范
21、德瓦耳斯方程对氮气，常温和压强低对氮气，常温和压强低于于 5 107 Pa范围范围a=0.84 105 Pa l2/mol b=0.0305 l/mol1v2 2.8 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程气体分子自由程气体分子自由程线度线度 10-8m一个分子单位时间一个分子单位时间里受到平均碰撞次里受到平均碰撞次数叫数叫平均碰撞频率平均碰撞频率Z 单位时间内分子经历的平单位时间内分子经历的平均距离均距离 v,平均碰撞平均碰撞 Z 次次 =Zv一个分子连续两次一个分子连续两次碰撞之间经历的平碰撞之间经历的平均均 自由路程叫自由路程叫平均平均自由程自由程 平均碰撞频率平均碰撞频率Z设分子设分
22、子 A 以相对平以相对平均速率均速率 u 运动，其运动，其它分子可设为静止它分子可设为静止运动方向上，以运动方向上，以 d 为为半径的圆柱体内的分半径的圆柱体内的分子都将与分子子都将与分子A 碰撞碰撞该圆柱体的面积该圆柱体的面积 就叫就叫 碰撞截面碰撞截面 =d 2A ddduu单位时间内分子单位时间内分子A走走 u,相相应的圆柱体体积为应的圆柱体体积为u,则则Z=n u 统计理论可计算统计理论可计算 u=2 vZ=2 d2 v n平均自由程平均自由程 =Zv=2 d 2n1=2 d 2PkT对空气分子对空气分子 d 3.5 10-10 m标准状态下标准状态下 Z 6.5 10 9s，6.9
23、10-8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。际平均自由程就是容器线度的大小。u=v-v平方平方u =v +v -2 v v222取平均取平均u =v +v -2 v v 2 22各个方向随机运动，故为零各个方向随机运动，故为零u =v +v 222相等相等u =2 v22设设 均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式 u=2 v例例：容积恒定的容器内盛有一定量的某种理：容积恒定的容器内盛有一定量的某种理 想气体，其分子热运动的平均自由程为想气体，其分子热运动的平均自由程为 0
24、0，平均碰撞频率为平均碰撞频率为Z0，若气体的热力，若气体的热力 学温度降低为原来的学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子倍，则此时分子 平均自由程平均自由程和平均碰撞频率和平均碰撞频率Z分别为分别为第二章第二章 作业作业P86 思考题思考题 2.10P87 习题习题 2.2,2.5,2.6,2.11 2.9 输运过程输运过程最简单的最简单的非平衡态问题非平衡态问题：不受外界干扰时，：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程衡态过渡过程-输运过程。输运过程。系统各部分的物理性质，如流速、温度或密系统各部分的物理性质，如流速、温度或
25、密度不均匀时，系统处于度不均匀时，系统处于非平衡态非平衡态。非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。介绍三种介绍三种输运过程的基本规律：输运过程的基本规律：内摩擦内摩擦热传导热传导扩散扩散1.内摩擦内摩擦 AB现象：现象：A盘自由，盘自由，B盘由电机带动而盘由电机带动而转动，慢慢转动，慢慢A盘也跟着转动起来。盘也跟着转动起来。解释：解释：B盘转动因摩擦作用力盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动带动邻近层，直到带动A盘。
26、盘。这种相邻的流体之间因速度不同，这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为引起的相互作用力称为内摩擦力内摩擦力，或或粘滞力。粘滞力。x zu=u(z)dSdf df流速不均匀，沿流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）变化（或有梯度）不同流层之间不同流层之间有粘滞力有粘滞力设设，dS 的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为 df，反作用为，反作用为 df，这一对力满足牛顿第三定律。，这一对力满足牛顿第三定律。实验测得实验测得 称为粘滞系数称为粘滞系数20 oC 时，水为时，水为 1.005 10-3 Pa s空气为空气为 1.71 10-7 Pa s
27、流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流层后拖流速大的流层。层后拖流速大的流层。用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。根据动量定律根据动量定律df=dzduz=z0dSdK=df.dt dzduz=z0dSdtdK=-dzduz=z0dSdtdK=考虑到动量的迁考虑到动量的迁移的方向。则：移的方向。则：(2.91)微观上，这种粘滞力是动量传递的结果微观上，这种粘滞力是动量传递的结果(1)下层下层 平均自由程平均自由程 l 的区域，的区域，单位时间通过单位时间通过 dS 面积，向上面积，向上层移动的分子数为：层
28、移动的分子数为：zz0 16v n16v nxu（z+）u（z-）16v n dS dtdN=比较实验定律比较实验定律(2.91)和和(2.92)得：得：结果支持了分子运动论结果支持了分子运动论推导过程看系数不准确推导过程看系数不准确(2)计算每交换一对分子沿计算每交换一对分子沿z轴正方向输运的净动量为：轴正方向输运的净动量为：(3)计算计算dN个分子沿个分子沿z轴正轴正 方向输运的净动量为：方向输运的净动量为：dK=dk.dN(2.92)13v n m =2.热传导热传导温度不均匀就有热传导温度不均匀就有热传导设，沿设，沿 z 方向有温度梯度，实验指出，方向有温度梯度，实验指出，dt 时间内
29、，通过时间内，通过 dS传递的热量为：传递的热量为：负号表示热从温度高处向温度低处传递，负号表示热从温度高处向温度低处传递，为导热系数为导热系数微观推导与粘滞力情况相似，只是动量换成平均动能微观推导与粘滞力情况相似，只是动量换成平均动能dQ=(z0-)-16v n (z0+)dtdSdQ=-dzdTz=z0dtdSdzdTz=z0dzd=-2dTd z=z0=m cv定容比热定容比热 =13v n m cv讨论类似讨论类似zT（x）dSdQ0 x03.扩散扩散密度不均匀就有扩散密度不均匀就有扩散设，沿设，沿 z 方向有密度梯度，实方向有密度梯度，实验指出，验指出，dt 时间内，通过时间内，通过 dS传递的质量为：传递的质量为：负号表示质量从密度高处向密度负号表示质量从密度高处向密度低处传递，低处传递，D 为为扩散扩散系数系数微观推导与粘滞力情况相似，只是密度不同微观推导与粘滞力情况相似，只是密度不同dM=-D dzd nz=z0dtdSzn（z）dSdMdM=(z0-)-n16v n(z0+)dtdS-2 dzdnz=z0D=13v 讨论类似讨论类似