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1、第三讲第三讲 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式1.格雷码格雷码 利用异或逻辑求格雷码利用异或逻辑求格雷码如：如：(13)10=(0 1 1 0 1)2 1 0 1 1 例例1.两个单刀双掷开关两个单刀双掷开关A、B，分别安装在楼上和楼下。上楼，分别安装在楼上和楼下。上楼之前在楼下开灯，上楼后关灯；反之下楼之前在楼上开灯，下之前在楼下开灯，上楼后关灯；反之下楼之前在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑函数式。楼后关灯。试建立其逻辑函数式。解：假设解：假设A为楼上开关，为楼上开关，B为楼下开关，为楼下开关，A、B为输入变量。为输入变量。Y表示灯，为输出变量。表示灯，为输出变量。A=1、B=1时开
2、关向上；时开关向上；A=0、B=0时开关向下。时开关向下。Y=1时灯亮；时灯亮；Y=0时灯暗。时灯暗。A BY 0 0 0 1 1 0 1 110012.建立逻辑函数建立逻辑函数例例2.建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数，建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数，滑跑需满足以下条件：滑跑需满足以下条件：(1)发动机开关接通发动机开关接通(2)飞行员入座，保险带扣上飞行员入座，保险带扣上(3)乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客解：假设解：假设发动机开关接通发动机开关接通S=1 飞行员入座飞行员入座A=1，保险带扣上，保险带扣上B=1 乘客入座乘客入座Mi=1，保险带扣上，
3、保险带扣上Ni=1 允许滑跑允许滑跑F=1 F=f(S,A,B,Mi,Ni)=SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2)=SAB(N1+M1)(N2+M2)3.反演规则反演规则例例.求求F=AB+(CD+EG)的反函数的反函数F方法一：反演规则方法一：反演规则 F=A+B(C+D)(E+G)方法二：直接对方法二：直接对F求反求反 F=AB+(CD+EG)=A+B+(CD+EG)=A+BCD+EG =A+BCDEG =A+B(C+D)(E+G)逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式内容：内容：最大项和最小项的定义及其性质最大项和最小项的定义及其性质 逻辑函数的标
4、准形式及其求取方法逻辑函数的标准形式及其求取方法目的与要求：目的与要求：理解并掌握最大项和最小项之间的关系；理解并掌握最大项和最小项之间的关系；掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法；掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法；重点与难点：重点与难点：重点：最大项和最小项之间的关系；重点：最大项和最小项之间的关系；难点：最大项的应用。难点：最大项的应用。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表种表示形式。示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路
5、。尽一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。功能是相同的。逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式(1)(1)与或与或表达式：表达式：Y=AB+ACY=AB+AC(2)(2)或与表达式：或与表达式：Y=(A+B)(A+C)Y=(A+B)(A+C)(3)(3)与非与非-与非与非表达式：表达式：Y=ABACY=ABAC(4)(4)或非或非-或非表达式：或非表达式：Y=A+B+A+CY=A+B+A+C(5)(5)与或非表达式：与或非表达式：Y=AB+ACY=AB+AC逻
6、辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。一、一、最小项与最大项最小项与最大项 1.1.最小项最小项 设一逻辑函数为设一逻辑函数为利用互补律利用互补律 A+=1对函数进行扩展变换得：对函数进行扩展变换得：最小项：最小项：与项与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现，输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出
7、现，且只出现一次。也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。又又称为标准与项。称为标准与项。对于有对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有2n 种取值组合，因此有种取值组合，因此有2n 个最小项。全部由最小项构成个最小项。全部由最小项构成的与的与-或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与-或表达式或标准积之和式。或表达式或标准积之和式。为简化书写，用为简化书写，用mi来表示一个最小项。来表示一个最小项。m的下标的下标i实实际上是该最小项将其际上是该最小项将其原变量用原变量用1、反变量用反变量用0代入构成的
8、代入构成的二进制数转换为的十进制数。二进制数转换为的十进制数。前述逻辑函数前述逻辑函数F可用可用最小项的代号表示为：最小项的代号表示为：F（A，B，C）=m7+m6+m3+m1 =m（1，3，6，7）最小项具有下列性质：最小项具有下列性质：n n个个变变量量构构成成的的任任何何一一个个最最小小项项m mi i，有有且且仅仅有有一一种种变变量量取取值值组组合合使使其其值值为为1 1，该该种种变变量量取取值值组组合合即即序序号号i i对对应应的的二二进进制制数数。换换言言之之，在在输输入入变变量量的的任任何何取取值值组组合合下下必必有有一一个个最最小小项项，并并且只有一个最小项的值为且只有一个最小
9、项的值为1 1。任意两个不同最小项相与为任意两个不同最小项相与为0 0，即，即 m mi im mj j=0=0（i ijj）。）。n n个变量的全部最小项相或为个变量的全部最小项相或为1 1，即，即 。n个个变变量量的的任任何何一一个个最最小小项项有有n个个相相邻邻最最小小项项。所所谓谓相相邻邻最最小小项项是是指指两两个个最最小小项项中中仅仅有有一一个个变变量量不不同同，且且该该变变量量分分别别为为同同一一变变量量的的原原变变量量和和反反变变量量。因因此此两两个个相相邻邻最最小小项项相相加加一一定定能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现的
10、因子。如的因子。如 2.最大项最大项 继续讨论前式。因为继续讨论前式。因为 所以所以最大项：最大项：或项或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。对对于于有有n个个输输入入变变量量（自自变变量量）的的逻逻辑辑函函数数，变变量量有有2n种种取取值值组组合合，因因此此有有2n个个最最大大项项。全全
11、部部由由最最大大项项构构成成的的或或与与表表达达式式称称为为函函数数的的最最大大项项表表达达式式，又又称称为为标标准准或或与表达式或标准和之积式。与表达式或标准和之积式。为了简化书写，用为了简化书写，用Mi来表示一个最小项。来表示一个最小项。M的下标的下标i实实际上是该最大项将其际上是该最大项将其原变量用原变量用0、反变量用反变量用1 1代入构成的二代入构成的二进制数转换为的十进制数。进制数转换为的十进制数。逻辑函数逻辑函数F F的最大项代号表示：的最大项代号表示：F（A，B，C）=M0 M2 M4 M5 =M（0，2，4，5）最大项具有如下性质：最大项具有如下性质：n n个个变变量量构构成成
12、的的任任何何一一个个最最大大项项M Mi i，有有且且仅仅有有一一种种变变量量取取值值组组合合使使其其值值为为0 0，该该种种变变量量取取值值组组合合即即序序号号i i对对应应的的二二进进制制数数。换换言言之之，在在输输入入变变量量的的任任何何取取值值组组合合下下必必有有一一个个最大项，并且只有一个最大项的值为最大项，并且只有一个最大项的值为0 0。相相 同同 变变 量量 构构 成成 的的 两两 个个 不不 同同 最最 大大 项项 相相 或或 为为 1 1，即即M Mi i+M+Mj j=1=1（i ij j）。）。n n个变量的全部最大项相与为个变量的全部最大项相与为0 0，即，即 。n n
13、个变量的任何一个最大项有个变量的任何一个最大项有n n个相邻最大项。个相邻最大项。列出函数列出函数F的真值表及其最小项和最大项代号如下表。的真值表及其最小项和最大项代号如下表。通过比较可以发现通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之间存在相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，即：互补关系，即：所以：所以：m mi i+M+Mi i=1 =1 m mi iMMi i=0=0 因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关系为：系为：F（A，B，C）=m（1，3，6，7）=M（0，2，4，5）推推广广到到一一般般情情况况，同同一一逻逻辑辑
14、函函数数从从一一种种标标准准形形式式变变换换为为另另一一种种标标准准形形式式时时，只只需需将将m m和和M M符符号号互互换换，并并在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：F F（A A，B B，C C，D D）=m m（1 1，3 3，6 6，7 7，1111，1212，1414）=M M（0 0，2 2，4 4，5 5，8 8，9 9，1010，1313，1515）1.1.代数变换法求函数的最小项表达式代数变换法求函数的最小项表达式 首先将函数变换成一般与首先将函数变换成一般与-或表达式。从一般与或表达式。从一般与-或表或表达式得到最
15、小项表达式只须利用互补律（达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+=1）将每）将每个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展开后即得到最小项表达式。开后即得到最小项表达式。例例1：求：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。的最小项表达式。二、逻辑函数标准形式的求取方法二、逻辑函数标准形式的求取方法 -代数变换法和真值表法代数变换法和真值表法2.真值表法求函数的最小项表达式真值表法求函数的最小项表达式 将真值表中使函数值为将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小的变量取值组合对应的最小项相加，即可得到函数项相加，即可得
16、到函数F的最小项表达式。的最小项表达式。例例2：写出下列真值表对应的最小项表达式。：写出下列真值表对应的最小项表达式。F(A,B,C)=m0+m1+m4+m5+m6 =m（0，1，4，5，6）3.3.代数变换法求函数的最大项表达式代数变换法求函数的最大项表达式首先将函数变换成一般或首先将函数变换成一般或与表达式。从一般或与表达式。从一般或与表与表达式得到最大项表达式只须利用吸收律达式得到最大项表达式只须利用吸收律(A+B)()(A+)=A将每个将每个非最大项的或项非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。其扩展成最大项，即可得到最大项表达式。其中中B为非最大项或项中所缺少的变量。为非
17、最大项或项中所缺少的变量。4 4.真值表法求函数的最大项表达式真值表法求函数的最大项表达式 作出函数作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取的变量取值组合对应的最大项相与，即可得到函数值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。的最大项表达式。5.综合举例综合举例例例1 1：如果逻辑函数如果逻辑函数F F(A A，B B，C C，D D)=m m(1 1，4 4，9 9，1212)，G G(A A，B B，C C，D D)=M M(1 1，4 4，9 9，1212)，求，求F+G=F+G=？解：解：F F和和G G是具有相同变量个数的两个函数，
18、是具有相同变量个数的两个函数，F F(A A，B B，C C，D D)=m m(1 1，4 4，9 9，1212)意意味味着着取取值值为为、时时F F的值为的值为1 1，否则，否则F F的值为的值为0 0。G G(A A，B B，C C，D D)=M M(1 1，4 4，9 9，1212)意意味味着着取取值值为为、时时G G的的值值为为0 0，否则否则G G的值为的值为1 1。由此可见，由此可见，F F和和G G互为反函数。所以互为反函数。所以 F+G=1 F+G=1例例2 2：已知逻辑函数已知逻辑函数F F（A A，B B，C C）=M M（0 0，2 2，4 4，7 7），），求其对偶函数求其对偶函数 的最小项表达式和最大项表达式。的最小项表达式和最大项表达式。解：由解：由F（A，B，C）=M（0，2，4，7）可直接求出）可直接求出其反函数其反函数 但不能导出但不能导出 F F（A A，B B，C C）=m m（0 0，2 2，4 4，7 7）。）。=m（0，3，5，7）=M（1，2，4，6）因为：因为：所以：所以：