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1、1第五章第五章频率响应法频率响应法（5 52 2）2表示系统频率特性的图形有三种：l对数坐标图l极坐标图l对数幅相图5-2 对数坐标图对数坐标图 3一、对数坐标图一、对数坐标图 1.1.1.1.对数幅频特性图：对数幅频特性图：对数幅频特性图：对数幅频特性图：横坐标：横坐标：横坐标：横坐标：用频率用频率的对数的对数lglg分度。分度。纵坐标：纵坐标：纵坐标：纵坐标：L(L()=)=20lg|G(j)|（dBdB），），采用线性分采用线性分度；度；2.2.2.2.相频特性图相频特性图相频特性图相频特性图 横坐标：横坐标：横坐标：横坐标：用频率用频率的对数的对数lglg分度。分度。纵坐标：纵坐标：纵
2、坐标：纵坐标：频率特性的相角，以度为单位，采用线性频率特性的相角，以度为单位，采用线性分度；分度；4伯德图表示频率特性的优点：l把频率特性的乘除运算转变为加减运算；l在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制；l用实验方法，将测得系统频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。二二 典型因子的伯德图典型因子的伯德图开环传递函数的两种表示形式l5l l时间常数形式：K为系统的开环增益。l l零、极点形式：K0为系统的根轨迹增益。6如果开环传递函数以时间常数形式表示，则与之相对应的开环频率特性一般由下列五种典型因子组成。l
3、比例因子l一阶因子l微分和积分因子l二阶因子l滞后因子7 1 1 比例因子比例因子比例因子的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线，相角为00。K1时，20lgK0dB；K1时，20lgK0dB。82 2 积分因子积分因子当=1时当=10时当=100时每增加10倍，L()则衰减20dB，记为：20dB/十倍频程，或-20dB/dec。说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上=1这一点，且斜率为-20的直线。9相频与无关，值为-90且平行于横轴的直线。10 3 微分因子微分因子微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号
4、。11 4 4 一阶因子中一阶因子中惯性环节惯性环节 惯性环节的幅频特性为惯性环节的幅频特性在时（低频段）：近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。12在时（高频段）：幅频特性：幅频特性：表示一条经过横轴处，斜率为-20dB/dec的直线方程。综上所述：综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示：当时，是一条0分贝的直线；当时，是一条斜率为-20dB/dec的直线。13两条渐近线相交处的频率称为转折频率或交接频率。14惯性环节的相频特性当=0时，当时，；当趋于无穷时，趋于-90。采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。幅值的最大
5、误差发生在转折频率处，近似等于3dB。155一阶比例微分因子一阶比例微分因子一阶比例微分因子的频率特性（1+jT）与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。即16一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围由0（=0）经+45至90（=）176 6 二阶因子二阶因子(二阶振荡环节二阶振荡环节)对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性低频段，即低频段，即Tn1时时 当增加10倍即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当时说明为二阶系统(振荡环节)的转折频率。19l。-40dB/dec20可见：当频率接近时，将产生谐振峰值。阻尼比
6、的大小决定了谐振峰值的幅值。振荡环节的对数幅频特性在转折频率附近产生谐振峰值可通过下列计算得到：21振荡环节的幅频特性为其中：当出现揩振峰值时，有最大值，即有最小值。得到谐振频率式中，22将代入，不难求得。因此，在=r处具有最小值，有最大值。谐振峰值谐振频率r及谐振峰值Mr都与有关。越小,r越接近n,Mr将越大。当0.707时，r为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0，Mr=1。0，Mr1。0时，rn，Mr。23振荡环节相频特性相角是和的函数。在=0，当时，不管值的大小，；当=时，。相频曲线对-90的弯曲点是斜对称的。24 7 7 滞后因子滞后因子 幅频特性幅频
7、特性 相频特性相频特性 25三、绘制开环系统的三、绘制开环系统的伯德图伯德图设设设设系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为则对应的对数幅频和相频特性分别为则对应的对数幅频和相频特性分别为26 绘制开环系统的绘制开环系统的伯德图伯德图基本步骤：把系统的频率特性改写成各典型因子的乘积形式，画出每个因子的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。27例1：28工程上绘制伯德图的方法工程上绘制伯德图的方法:l写出开环频率特性的表达式，把其所含各因子的转写出开环频率特性的表达式，把其所含各因子的转折频率由小到大一次标注在频率轴上；折频率由小到大一次标注在频率轴上；l绘制开环对数幅频
8、曲线的渐近线。渐近线由若干条绘制开环对数幅频曲线的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，其低频段的斜率为分段直线所组成，其低频段的斜率为-20vdB/dec，其中其中v为积分环节数。在为积分环节数。在w=1处，处，L（w）=20lgK。以低频段作为分段直线的起始段，从它开始，沿着以低频段作为分段直线的起始段，从它开始，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。如遇到分段直线的斜率。如遇到 因子的转折频因子的转折频率率 ，当，当 时，分段直线斜率的变化量时，分段直线斜率的变化量为为-20dB/dec；如遇到；如遇到 因子的转折频率
9、因子的转折频率 ，当，当 时，分段直线斜率的变化量为时，分段直线斜率的变化量为+20dB/dec。29l分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为-20（n-m）dB/dec，其中n为开环系统的极点数，m为开环系统的零点数。l作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按照各典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正，就可得到实际的对数幅频特性曲线。l作相频特性曲线。根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连接成曲线。30 例例5-2 5-2 已知一反馈控制系统的开环传递已知一反馈控制系统的开环传递函数为函数为 试绘制开环系统的伯德图（幅频特
10、性用分段直试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线线 表示）。表示）。解解 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为由此可知，该系统是由比例、积分、一阶比例微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为311）由于v=1，因而渐近线低频段的斜率为-20dB/dec。在w=1处，其高度为20lg10=20dB。2）当w=2时，由于惯性环节，使分段直线的斜率变为-40dB/dec。同理，由于一阶比例微分环节，当w=10时，使分段直线的斜率变为-20dB/dec。系统的相频特性为W=1W=10W=无穷大W=032P166图5-1833 四、最小相位系统四、最小相位系统 1.定义：定义：系统的开环传递函数
11、零点和极点均位于S左半平面或虚轴上的系统，称为最小相位系统，反之称为非最小相位系统。2.最小相位系统特征：最小相位系统特征：a在在nm且幅频特性相同的情况下，最小相位且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。系统的相角变化范围最小。这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。34例如例如 两个系统的开环传递函数分别为（T1T20）它们的对数幅频和相频特性为35显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见，的变化范围要比大得多。最小相位系统非最小相位系统36 b、当、当时，其相角等于时，其相角等于-90（n-m），对数），对数幅频特性曲线的斜率为幅频特性曲线的斜率为
12、20(nm)dB/dec。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。371.0型系统0型系统的对数幅频特性低频渐近线为一条xdB的水平线则其对数幅频特性的表达式为五 系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系0型系统的开环频率特性为382.型系统型系统的对数幅频特性有如下特点：则其对数幅频特性的表达式为型系统的开环频率
13、特性为1）低频渐近线的斜率为20dB/dec；2）低频渐近线（或其延长线）在）低频渐近线（或其延长线）在w=1处的纵坐标处的纵坐标为为 ；3）开环增益）开环增益K在数值上也等于低频渐近线（或其延在数值上也等于低频渐近线（或其延长线）与长线）与0dB线相交点的频率值。线相交点的频率值。393.型系统型系统的对数幅频特性有如下特点：则其对数幅频特性的表达式为型系统的开环频率特性为1）低频渐近线的斜率为40dB/dec；2）低频渐近线（或其延长线）在）低频渐近线（或其延长线）在w=1处的纵坐标处的纵坐标为为 ；3）开环增益）开环增益K在数值上也等于低频渐近线（或其延在数值上也等于低频渐近线（或其延长线）与长线）与0dB线相交点的频率值的平方。线相交点的频率值的平方。40 试求：试求：（）写出系统的闭环传递函数；）写出系统的闭环传递函数；（）若，求系统的瞬态响应（）若，求系统的瞬态响应。例题例题5-2 已知一单位反已知一单位反馈控制系统的开环对馈控制系统的开环对数幅频特性如图所示数幅频特性如图所示（最小相位系统）：（最小相位系统）：4142试求：写出系统的开环传递函数。试求：写出系统的开环传递函数。例题例题5-已知一单位反馈控制系统的开环对数幅已知一单位反馈控制系统的开环对数幅频特性如图所示（最小相位系统）频特性如图所示（最小相位系统）：43