《非线性电路初》PPT课件.ppt

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1、第第5 5章章 非线性电路分析非线性电路分析本章知识架构本章知识架构 本章教学目标与要求本章教学目标与要求 熟悉非线性电路的原理熟悉非线性电路的分析方法5.15.1概述概述元件性质不再是线性关系，即参数不再是常量的元件称为非线性元件。含有非线性元件的电路称为非线性电路，如振荡器、功率放大器、倍频器、调制解调器等。在实际生活中，线性是相对的，非线性是绝对的，如果从非线性电路的定义严格来说，一切实际电路都是非线性电路。在工程计算中，在不产生本质差异的情况下，我们只是将那些非线性程度较弱的电路元件作为线性元件来处理，从而简化电路分析。而对于许多本质因素具有非线性特性的元件，其非线性特征不容忽略，否则

2、就将无法解释电路中发生的物理现象，导致计算结果与实际量值相差太大而无意义，甚至可能会产生本质差异。因此，对非线性电路进行分析研究具有十分重要的意义。5.2非线性元件非线性元件非线性电阻非线性电阻非线性电阻元件（如图5.1所示）的伏安特性不满足欧姆定律，而是遵循某种特定的非线性函数关系。线性电阻元件的伏安特性曲线是一条过原点的直线，它的性能可以用一个电阻值来表示。非线性电阻元件的电压和电流之间不成正比，也就是说，它的电阻值不是常量，而随它的电压电流的值而改变。图5.1非线性电阻非线性电阻根据其伏安特性的特征可分为下面三种类型：（1）电压控制型非线性电阻（VCR）：其电阻中的电流是其电阻两端的电压

3、的单值函数，它的典型伏安特性曲线如图5.2（a）所示，在 平面呈N型。可用函数 表示。要注意，从其特性曲线上可以看到，这类非线性电阻对于对每一电压值有唯一的电流与之对应，而对任一电流值则可能有多个电压与之对应。隧道二极管就具有这样的伏安特性。（2）电流控制型非线性电阻（CCR）：其电阻两端电压是其电流的单值函数，它的典型伏安特性曲线如图5.2（b）所示，在 平面呈S型。可用函数 表示。要注意，这类非线性电阻对于对每一电流值有唯一的电压与之对应。而对任一电压值，与之对应的电流则可能是多值的。如充气二极管。（3）单调型非线性电阻：这种非线性电阻属于单调型，其伏安特性曲线是单调增长或单调下降的,它的

4、典型伏安特性曲线如图5.2（c）所示。要注意，这类非线性电阻具有单向导电性，可用于整流用。电压值和电流值一一对应，既是电流控制型又是电压控制型的非线性电阻元件，其特性可以用 或 表示。如PN结二极管属于此类非线性电阻。(a)压控(N)型非线性电阻(b)流控(S)型非线性电阻 (c)单调型非线性电阻要指出的是，与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电阻，而是具有单向性，当加在非线性电阻两端的电压方向不同时，流过的电流也完全不同。因此，其特性曲线不对称于原点。例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路中。非线性电容非线性电容非线性电容元件（如图5.4所

5、示）的库伏特性不是一条通过原点的直线，而遵循某种特定的非线性函数关系。非线性电容根据其库伏特性可分为下面三种类型：（1）电压控制型非线性电容（VCC）：电容上聚集的电荷的是其两端电压的单值函数，其库伏特性被表示为 。（2）电荷控制型非线性电容（QCC）：电容两端的电压是其上聚集的电荷的单值函数，其库伏特性被表示为 。（3）单调型非线性电容：库伏特性曲线单调增或减，既是电压控制型也是电荷控制型非线性电容。非线性电感非线性电感非线性电感元件（如图5.6所示）的韦安特性曲线不是一条通过原点的直线，而遵循某种特定的非线性函数关系。非线性电感根据其韦安特性的特征可分为下面三种类型：（1）磁通控制型非线性

6、电感（FCL）：电感通过的电流是其建立的磁链的单值函数，即 。（2）电流控制型非线性电感（CCL）：电感建立的磁链是其通过的电流的单值函数，即 。（3）单调型非线性电感：韦安曲线单调增或减，既是磁通控制型也是电流控制型电感。5.35.3非线性电阻电路分析非线性电阻电路分析非线性电路和线性电路分析相比较有其相同的地方，当然更多的是不同的地方。两者相似的地方在于，基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）对非线性电路和线性电路均适用，对于这两类电路来说，均可采用节点分析法和回路分析法建立电路方程。而两者不同的地方主要在于以下这三个方面：线性电路具有叠加性和均匀性：在对线性电路进行分析时

7、，分别计算单个信号单独激励时的响应，相叠加即可得到总响应；而非线性电路不能够这样来处理；线性电路可以用线性微分方程表示：可以用傅立叶变换或拉普拉斯变换进行电路的频域分析方法来分析线性电路；而对非线性电路进行频域分析时却显得十分困难；线性电路的传输特性只由系统本身决定，与激励信号无关，也就是说，可以用单位冲击响应或传输函数表示线性系统；但是非线性电路来说，只能在特定输入情况下来求得输出。通过以上的对比我们可以看到，相对于线性电路来 说，对非线性电路进行分析是困难的，所要考虑的因素较为复杂多样，这使得对非线性电路的分析难于找到统一的方法，只能针对某一类型的非线性电路，采用适合这种电路的分析方法。非

8、线性电路的分析方法和非线性元件的表示方法相对应。按照非线性电路组成元件的构成，非线性电路可分为非线性电阻电路和非线性动态电路。非线性电阻电路仅由非线性电阻（和线性电阻）构成：可用非线性函数方程描述；非线性动态电路包含至少一个非线性元件和一个储能元件（电容、电感）：用非线性微分方程描述。非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程我们先对列写非线性电阻电路的方程做一分析，从列写电路方程的两个基本依据来看：KCL、KVL只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。因此就列写KCL和KVL本身方程来说，非线性电阻电路与线性电阻电路无区别。不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的电压电流关系不是线性的，所

9、以得到的方程将是非线性的。如果电路中的非线性电阻VAR可用精确的函数表达式表示，则设出其电压、电流，列写电路方程（包括KCL、KVL及回路法、节点法方程），再补充非线性电阻VAR求解。5.3.2 5.3.2 图解分析法图解分析法任一非线性电阻网络方程总是一组非线性代数方程。利用标准的消元和代入技巧，我们一般总可以把这些方程缩减到数目较少的表示为等数目变量的方程，但由于非线性代数方程的特性，这一工作进行到某个程度，利用这些解析技巧已不能再作进一步的简化了。而求解这类方程有几种非解析的方法可以利用，如图解法、小信号法、分段线性法和数值法等。这些方法虽然在概念上较为简单，但它们的人工操作演算却是极其

10、麻烦的。这是因为一般需要作大量的重复性计算或图解操作。但由于它们的迭代性质，它们比较适合通过计算机进行求解。下面分别对上述列举的分析方法的算法进行讨论。因为每个电路方程代表一条特性曲线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点，即静态工作点（quiescent operating point）。图解法的基本原理是将非线性电路拆分成线性电路部分和非线性电路部分，将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效为一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏安曲线，它们的交点为电路的工作点（OP，Operating Point），或称为静态工作点Q（UQ，IQ）

11、。如图5.9所示。图5.9 图解分析法示意 小信号分析法小信号分析法在工程上，非线性电阻电路除了作用有直流电源外，往往同时作用有时变电源，因此在非线性电阻的响应中除了有直流分量外，还有时变分量。例如，在半导体放大电路中，直流电源是其工作电源，时变电源是要放大的信号，相对于直流电源来说，它的有效值小得多（通常是10-3数量级），此时，一般将这类时变电源称之为小信号（small-signal）。对于含有小信号的非线性电阻电路的分析在工程上是经常遇到的。图解法就是在直流电源激励下，确定静态工作点，而如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的小信号，我们应该如何处理呢？我们知道，当电路的信号变化幅度很

12、小，可以围绕任何工作点建立一个局部线性模型。小信号分析法的基本思路就是在静态工作点确定的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，在此基础上得到相应的小信号等效电路或增量等效电路（此时为线性电阻电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。图5.11 含有小信号的非线性电阻电路及小信号等效电路图5.11(a)中，直流电压源为U0，电阻R0为线性电阻，非线性电阻R是电压控制型的，其伏安特性 ，小信号时变电压为us(t)，在任意时刻t都有 。对于该电路使用小信号分析法，则解决方法如下：(1)首先按照KVL列出电路方程当 时求得静态工作点(2)当 加入时 因此，就有 ，其中 为非线性电阻在工作点 处的动态

13、电导，为相应的动态电阻。(3)由于 在工作点 处是一个常量，所以可以看出，小信号电压us(t)产生的电压 和电流 之间的关系是线性的。所以(4)由该小信号电路可得最后，根据式（5-5），得出非线性电阻R的总的电压和电流为由此，我们可以总结出小信号分析法的步骤为：求解只有直流电源作用下的非线性电路的电压和电流，即它的静态工作点 ；求解在静态工作点处非线性电路的动态电导或动态电阻；求出小信号电压，画出非线性电路在静态工作点处的小信号等效电路；根据小信号等效电路进行求解，求出此时非线性元件的电压和电流增量，并根据已求得的静态工作点的电压和电流，最终得出非线性元件的总的电压和电流。分段线性分析法分段线

14、性分析法分段线性分析法是一种实用的近似分析方法，即用一条折线来分段逼近特性曲线，所以有时也称之为折线法。它的思路就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线性电阻的实际特性曲线，即将非线性电路中的非线性元件特性适当分解成为数个线性区段，在每一个区段可以用戴维南（诺顿）等效电路替代，从而将非线性电阻电路的求解转化为几个线性电路的分析，每个线性电路对应一个相应的区间。图5.13 分段线性分析法示意例如，图5.13所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可以将非线性电阻的特性分作三段直线来逼近它，即OA、AB和BC。直线方程如果用电流为自变量，其一般表达式为其中，Uk是第K段直线与u轴交点的坐标。显然，图5.1

15、3中的U0=0，U10，U20。Rdk为动态电阻，等于第K段直线的斜率，即 。图中三条直线分别代表三个动态电阻：OA段是通过原点的直线段，AB段是下降的直线段，BC段是上升的直线段，而根据自变量为电流或者电压，直线方程表达式一般为或者因此，图5.14(a)中的第K段非线性电阻Rk的特性可以用电压源串联线性电阻来等效，如图5.14(b)所示，称为分段戴维南电路，或者电流源并联电导来等效，如图5.14(c)所示，称为分段诺顿电路。图5.14 非线性电阻电路及其等效线性化电路 5.3.5 5.3.5 数值法数值法由于含有非线性电阻元件的电路方程可以用非线性代数方程描述，因此，解决非线性电路就是要求解

16、非线性代数方程。而往往非线性代数解的情况非常复杂，用一般代数求解的方法一般比较麻烦，所以常常采用数值计算解法求解其近似解，尤其在计算机辅助分析中常常要用到，其中牛顿-拉夫逊法是其中较为常用的一种。牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，为了说明它的基本思想，我们来讨论一个非线性代数方程，一般可表示为设方程有解xm，解xm必然是f(x)曲线与x轴的交点，如图5.15所示。图5.15 牛顿-拉夫逊法的几何示意用牛顿-拉夫逊法求方程解xm的步骤如下：(1)先选取一个合理的数值x0作为方程的解，若恰巧 ，则方程的解xmx0，否则就对估值x0作出修正，开始进行下一步；(2)取 为第一次修正值，其中 充分小，将 在x

17、0附近展成泰勒级数取线性部分，并使从而所以，只要 ，便可确定出第一修正值 ，若 ，则 xmx1，若 ，则用上述方法由x1确定出第二次修正值x2。如此继续迭代，在第（K1）次迭代时，xK+1应为条件是 。如果 ，则 ，停止迭代，否则继续迭代 实际上，只要 足够小，即迭代即可停止。式中是预先指定的一个足够小的正实数。式（5-16）是就是它的迭代公式，根据这个公式有那么从f(x)曲线上 那一点做切线，该切线与x轴的交点即为xK+1，如图5.15所示，在 区间，该方法把f(x)的曲线ab用切线的直线段ac来代替了 5.45.4非线性动态电路分析非线性动态电路分析非线性动态电路状态方程的建立非线性动态电

18、路状态方程的建立在动态电路中，以电容元件的电压或电荷，以电感元件的电流或磁链作为独立变量建立的一组独立的一阶微分方程式，称为状态方程式。方程组的独立变量就称为状态变量。在非线性动态电路中，一阶微分方程式的个数与储能元件的个数有关。设动态电路的状态变量为 ，在随时间变化的电源作用下，时间t以明显的形式出现在状态方程中，状态方程的一般形式为式(5-19)都是状态变量和时间t的函数，或简记为向量形式：在非线性动态电路中，通常对于压控电容元件选电容电压 为状态变量，荷控型电容元件选电容电荷 为 状态变量；对于流控型电感元件选电感电流 为状态变量，链控型电感元件选电感磁通链 为状态变量。我们把所有储能元

19、件全部从动态电路中抽取出来，而电路其余部分由电阻和独立源构成电阻分电路，如图5.16所示。则有式(5-21)表明ia、ub是ua、ib、us、is的函数。(1)用电容电压uC、电感电流iL作为电路变量写方程，且设电路中所有电容元件都是压控型，所有电感元件都是流控型。当C(uc)、L(iL)都是非奇异函数时，电路的状态方程为(2)用电容电荷qC、电感磁链作为电路变量列方程，设电路中所有电容元件都是荷控型，所有电感元件都是链控型。电路的状态方程为非线性动态电路要建立状态方程，需要满足以下条件：（1）网络中没有全由电容或电容与电压源组成的回路和（或）全由电感或电感与电流源组成的割集。（2）状态变量应

20、与储能元件的控制量一致，即压控电容选uC，荷控电容选qC，流控电感选iL，链控电感选 为状态变量。状态方程的解轨迹状态方程的解轨迹一般来说，非线性系统的状态方程的闭形解答是求不出的，我们只能用近似法求解。在对状态方程进行分析中，方程解答的轨迹是一个重要概念。在对状态方程的解轨迹进行讨论时，我们把几个状态变量作为n维空间的坐标轴，则由状态变量为坐标的空间称为状态空间，在任意时刻t=tK解答的 ，可看作该状态空间的一个点Q(tK)的坐标。随着时间的推移，沿着Q(tK)经过的点所描绘的一条曲线，就称为状态方程的解轨迹，或称为轨线。由于二阶电路的状态空间是二维的，其状态方程的解轨迹可以绘在平面上，非常

21、形象，因此对它的状态轨迹进行研究就显得具有代表性。设二阶网络的状态方程为则由状态变量x1和x2构成的状态空间是二维的。它们的轨迹在一个平面上，这种平面常称为“状态平面”。此时，系统第一时刻的状态均对应于该平面上的点，当t变化时，两个变量x1和x2时，构成的直角坐标系称为“相平面”。由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，这是相平面法的局限。为方便说明，这里以线性时不变二阶电路的解答为例，说明轨迹的性质。自治系统的平衡状态及稳定性自治系统的平衡状态及稳定性1.1.自治系统的平衡状态自治系统的平衡状态若非线性电路的状态方程为当电路是时变的，或电路中存在随时间变

22、化的外施激励，使得时间变量t以明显形式出现在状态方程中，这时式(5-28)就称为非自治微分方程，亦称为非自治系统。若非线性电路的状态方程为当电路是时不变的，或外施激励是非时变的直流电源，使得描述它的状态方程不显含时间变量t，式(5-29)就称为自治微分方程，亦称为自治系统。一般来说，一个物理系统的运动状态如果不随时间变化，就称此系统处于平衡。所谓运动状态，是指系统的状态方程的解。对于自治状态方程 来说，它的平衡点 就定义为自治状态方程的一个解，且 是不随时间t变化的不变向量。此时向量 满足非线性代数方程式式(5-30)的解答为常数，即 称为非线性自治状态方程式的平衡点。平衡点在数学上也称为奇点

23、，它代表了电路的一种稳态特性。在平衡点处有，即电容电荷的变化率 （或电容电压的变化率）；电感磁链的变化率 （电感电流的变化率）。这意味着电容电流 ，电感电压 ，这时电感相当于短路，电容相当于开路，整个电路类似于直流电源作用下的线性或非线性电阻。而对此电路的电感电流（或磁链）和电容电压（或电荷）求解，就得到了平衡点，而平衡点可能不止一个。而根据定义，非自治系统不会有平衡状态，换而言之，非自治系统没有平衡点。2.2.平衡点的稳定性平衡点的稳定性平衡点的稳定性是和平衡状态相联系的一个重要概念。实际电路中总是存在着各种干扰，我们称一个网络或系统的平衡点是稳定的，是指系统在任何时候因干扰而使状态向量偏离

24、平衡态，而当干扰消失后，如果状态向量返回平衡态，那么平衡点就是稳定的；反之，如果状态向量有远离平衡态的趋势，则平衡点是不稳定的。关于平衡状态的稳定性可以分为如下几种情况。1)李雅普诺夫意义下的稳定性我们如果用下式表示在平衡状态 周围半径为M的球域：式(5-38)中 为欧几里德范数，它等于的所有各点的一个球域，式中 是当 时的初始状态。我们用 表示标准状态方程的解，而是包含有满足下列条件值的所有点的一个球域。2)渐近稳定性如果平衡状态 在李雅普诺夫意义下是稳定的，对于从球域 出发的任一个解Xt来说，当时间t无限增加时都不离开域 ，而且收敛于 ，那么状态方程系统的平衡状态 叫做渐近稳定的。由于渐近

25、稳定性是个局部的概念，所以单单确定出渐近稳定性并不能说明系统能够正常工作。而确定渐近稳定的最大范围通常是很有必要的。这个最大范围叫做允许范围，它是在状态空间引出渐近稳定轨线的状态空间的一部分，发生在这个范围内的每一条轨线都是渐近稳定的。因此，从实用观点来看，渐近稳定性比纯粹稳定性更重要。3)在大范围内的渐近稳定性对所有的状态，即状态空间中的所有各点，如果由这些状态出发的轨线都保持渐近稳定性，那么平衡状态称为在大范围或全局内的渐近稳定。也就是说，如果状态方程的每一个解，当t无限增加时都收敛于 ，那么系统的平衡状态 叫做在大范围内渐近稳定的。在大范围内渐近稳定性的必要条件是在整个状态空间中只有一个

26、平衡状态。在实际问题中，我们问题希望系统具有在大范围内渐近稳定的特征，而如果系统不具备该特征，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围，而这通常是比较困难的。通常，如果能确定出一个渐近稳定范围足够大以致扰动不会超过它，那么也就足够了。4)不稳定性如果对于任一个实数 和某个实数 ，不管这两个实数有多么小，在球域 内总存在着一个状态 ，使得由这一状态出发的轨线脱离开域 ，那么这个平衡状态 就称为不稳定的。5.6 5.6 本章小结本章小结本章首先对非线性电路中的主要元件-非线性电阻、非线性电容和非线性电感进行了介绍，并根据每个元件的伏安特性的特征又进一步进行了分类。相对于线性电路，非线性电路的分析有其

27、特殊性，根据其特性我们分别对非线性电阻电路和非线性动态电路进行了分析。由于KCL、KVL只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。因此我们仍然可以按照列写线性电阻电路KCL和KVL方程的方法来建立非线性电阻电路方程，不同的是任一非线性电阻网络方程总是一组非线性代数方程。对这些非线性方程一般无法使用解析的方法进行求解，因此在本章中介绍使用图解法、小信号分析法、分段线性分析法和数值法等非解析方法对非线性电路方程进行求解，对每种方法的原理和算法进行了简要分析。接下来本章对除电阻电路以外的另一种形式的非线性电路，即非线性动态电路，进行了分析。非线性动态电路至少包括一个储能元件，即电感或者电容，因此，描述动态电路的方程为一组非线性微分方程。在动态电路中，以电容元件的电压或电荷，以电感元件的电流或磁链作为独立变量建立一组状态方程式，微分方程式的个数与储能元件的个数有关。由于非线性系统状态方程的闭形解答是求不出的，一般只能用近似法求解。因此，在本章中对状态方程的解轨迹进行了简要分析。最后，本章对自治系统进行了定义，对自治系统的平衡状态进行了举例分析，并对自治系统的稳定性进行了分类说明。