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1、四、矩阵对策基本定理四、矩阵对策基本定理定理5 矩阵对策矩阵对策G=S1,S2;A 在混合在混合策略意义下策略意义下必定有解必定有解。1 现引入记号：现引入记号：ii，局中人局中人I的纯策略的纯策略 jj，局中人局中人II的纯策略的纯策略 E(i,y)局中人局中人I取纯策略取纯策略i时的赢得值时的赢得值 E(x,j)局中人局中人II取纯策略取纯策略j时的赢得值时的赢得值则则2 进一步进一步3 矩阵对策基本定理证明分析矩阵对策基本定理证明分析 理性假设下，局中人理性假设下，局中人I选取混合策略选取混合策略x*的目标是使的目标是使 若若x固定，局中人固定，局中人II采用纯策略采用纯策略y=j，则局
2、中人则局中人I的期望收益的期望收益4 若若x固定，局中人固定，局中人II采用任意一个混采用任意一个混合策略合策略y时，由（时，由（12.18）5由（由（12.16）局中人局中人I的目标是的目标是6综上，局中人综上，局中人I的问题的问题线性规划问题线性规划问题I7 同理分析局中人同理分析局中人II 理性假设下，局中人理性假设下，局中人II选取混合策略选取混合策略y*的目标是使的目标是使 若若y固定，局中人固定，局中人I采用纯策略采用纯策略x=i，则局中人则局中人II的期望损失的期望损失8 若若y固定，局中人固定，局中人I采用任意一个混采用任意一个混合策略合策略x时，由（时，由（12.17）9由（
3、由（12.15）局中人局中人II的目标是的目标是10综上，局中人综上，局中人II的问题的问题线性规划问题线性规划问题II11 问问1：上述两个线性规划问题关系？上述两个线性规划问题关系？互为对偶问题互为对偶问题 问问2：上述两个线性规划问题解的情况上述两个线性规划问题解的情况？易知易知12 因此两个问题都有可行解，根据对因此两个问题都有可行解，根据对偶理论，这两个问题都有最优解，且偶理论，这两个问题都有最优解，且目目标值相等标值相等 max w=min v。即矩阵对策在混合策略意义下必定有解。即矩阵对策在混合策略意义下必定有解。13五、矩阵对策若干性质五、矩阵对策若干性质定理6 设（设（x*,y*）是是G的解，的解，v=VG，则则 互补松弛性定理互补松弛性定理14定理7 设有两个矩阵对策设有两个矩阵对策G1=S1,S2;A1和和G2=S1,S2;A2，其中其中 A1=(aij)，A2=(aijL)，则则15定理8 设有两个矩阵对策设有两个矩阵对策G1=S1,S2;A和和G2=S1,S2;A，其中其中 0为任意常数，为任意常数，则则16定理9 设设G1=S1,S2;A 为一矩阵对策，且为一矩阵对策，且A=-AT，则则 其中其中T1(G)和和T2(G)分别为局中人分别为局中人I和和II的最优策略集。的最优策略集。17