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1、7.3 其他分布参数的假设检验7.3.1 指数分布参数的假设检验 设 x1,x2,xn 是来自指数分布的样本，关于 的如下检验问题：(7.3.1)由于在=0时，所以拒绝域为 例 设我们要检验某种元件的平均寿命不小 于6000小时，假定元件寿命为指数分布，现取 5个元件投入试验，观测到如下5个失效时间:395,4094,119,11572,6133。解：由于待检验的假设为 若取=0.05，则检验拒绝域为:故接受原假设，可以认为平均寿命不低于6000小时.经计算得7.3.2 大样本检验 在二点分布参数 p 的检验问题中，临界值的确定比较繁琐，使用不太方便。如果样本量较大，我们可用近似的检验方法大样
2、本检验。大样本检验一般思路如下：设是来自某总体的样本，又设该总体均值为，方差为 的函数，记为 ，譬如，对二点分布b(1,)，其方差(1-)是均值 的函数，则在样本容量n 充分大时，故可采用如下检验:由此近似地确定拒绝域。统计量 例 某厂产品的不合格品率为 10%，在 一次例行检查中，随机抽取80件，发现有 11件不合格品，在 =0.05=0.05下能否认为不合 格品率仍为10%？解：这是关于不合格品率的检验，假设为:若取 =0.05=0.05，则u0.975=1.96,故拒绝域为 故不能拒绝原假设。因为n=80 比较大，可采用大样本检验方法。检验统计量为例 某建筑公司宣称其麾下建筑工地平均每
3、天发生事故数不超过 0.6 起，现记录了该公司 麾下建筑工地 200天的安全生产情况，事故数 记录如下：天数102 59 30 8 010 200一天发生的事故数01 2 3 45合计6试检验该建筑公司的宣称是否成立(取 =0.05=0.05)。解：以X 记建筑工地一天发生的事故数，可认 为 ，要检验的假设是：由于n=200很大，可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是，这里 ，检验统计量为若取 =0.05=0.05，则 u0.95=1.645，拒绝域为如今 u=2.556 已落入拒绝域，故拒绝原假设，认为该建筑公司的宣称明显不成立。大样本检验是近似的:近似的含义是指检验的实际显著性水平与
4、原先设 定的显著性水平有差距，这是由于诸如(7.3.12)中 u 的分布与N(0,1)有距离。如果n 很大，则这种差 异就很小。实用中我们一般并不清楚对一定的n,u 的分布与N(0,1)的差异有多大，因而也就不能 确定检验的实际水平与设定水平究竟差多少。在 区间估计中也有类似问题。因此，大样本方法是 一个“不得已而为之”的方法。只要有基于精确分 布的方法一般总是首先要加以考虑的。7.4 分布拟合检验7.4.1 总体分布只取有限个值的情况 设总体X 可以分成k 类，记为 ，现对该总体作了n 次观测，k 个类出现的频数分别为:检验如下假设:n1,nk,且其中诸且一、诸 pi 均已知如果H0 成立，
5、则对每一类Ai，其频率ni/n与概率pi 应较接近。即观测频数ni 与理论频数npi 应相差不大。据此，英国统计学家K.Pearson提出如下检验统计量:()并证明在H0 成立时对充分大的n,(7.4.2)给出的检验统计量近似服从自由度为k-1的 分布。拒绝域为:例 为募集社会福利基金，某地方政府发 行福利彩票，中彩者用摇大转盘的方法确定 最后中奖金额。大转盘均分为20份，其中金 额为5万、10万、20万、30万、50万、100万 的分别占2份、4份、6份、4份、2份、2份。假定大转盘是均匀的，则每一点朝下是等可 能的，于是摇出各个奖项的概率如下：概率0.10.20.30.20.10.1额度5
6、万10万20万 30万 50万 100万现20人参加摇奖，摇得5万、10万、20万、30万、50万和100万的人数分别为2、6、6、3、3、0，由于没有一个人摇到100万，于是有人怀疑大转盘是不均匀的，那么该怀疑是否成立呢？这就需要对转盘的均匀性作检验。解：这是一个典型的分布拟合优度检验，总体 共有6类，其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、0.2、0.1和0.1，这里k=6，检验拒绝域为:由本例数据可以算出若取 =0.05，则查附表3知=由于 未落入拒绝域，故接受原假设，没有理由认为转盘不均匀。在分布拟合检验中使用p 值也是方便的。本例中，以T 记服从 (5)的随机变量，则使用统计软件可以
7、算出 这个p 值就反映了数据与假设的分布拟合程度的高低，p 值越大，拟合越好。二、诸 pi 不完全已知 若诸 由r(rk)个未知参数 确定，即 首先给出 的极大似然估计然后给出诸 的极大似然估计 Fisher证明了 在H0成立时近似服从自由度为k-r-1的 分布，于是检验拒绝域为例 卢瑟福在2608个等时间间隔内观测一 枚放射性物质放射的粒子数X，表是观测 结果的汇总，其中ni表示2608次观测中放射粒 子数为i的次数。ni 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 6i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11试利用该组数据检验该放射物质在单位
8、时间内放射出的粒子数是否服从泊松分布。解：本例中，要检验总体是否服从泊松分布。观测到 0,1,11 共 12 个不同取值，这相当于把总体分成12类。这里有一个未知参数，采用极大似然估计，=将 代入可以估计出诸 。于是可计算出列表如下。012345678910115720338352553240827313945271060.02090.08070.15620.20150.19500.15090.09730.05380.02600.01120.00430.002254.5210.5407.4525.5508.6393.5253.8140.367.829.211.25.70.11470.26721
9、.46140.00051.07660.53431.45250.01207.66730.16580.12580.0158合计26081.00002068 =12.8967i本例中 =12.896718.307，故接受原假设。使用统计软件可以计算出此处检验的p 值是0.2295。若取 =0.05，则列联表是将观测数据按两个或更多属性(定性变量)分类时所列出的频数表。例如，对随机抽取的1000人按性别（男或女）及色觉(正常或色盲)两个属性分类,得到如下二维列联表，又称22表或四格表。列联表的独立性检验男53565女38218性别视觉正常色盲一般,若总体中的个体可按两个属性A与B分类，A 有r 个类
10、，B 有c个类从总体中抽取大小为n的样本，设其中有 个个体既属于 类又属于 类，称为频数，将rc个 排列为一个r行c列的二维列联表，简称rc表(表7.4.3)。表7.4.3 rc列联表列联表分析的基本问题是:考察各属性之间有无关联，即判别两属性是否独立。如在前例中，问题是：一个人是否色盲与其性别是否有关？在rc表中，若以 和 分别表示总体中的个体仅属于 ，仅属于 和同时属于 与 的概率,可得一个二维离散分布表（表7.4.4），则“A、B两属性独立”的假设可以表述为表 二维离散分布表这就变为上一小节中诸 不完全已知时的分布拟合检验。这里诸 共有rc个参数，在原假设H0成立时，这rc个参数 由r+
11、c个参数 和 决定。在这r+c后个参数中存在两个约束条件：所以，此时 实际上由r+c-2个独立参数所确定。据此，检验统计量为 在H0成立时，上式服从自由度为rc-(r+c-2)-1的 分布。其中诸 是在H0成立下得到的 的极大似然估计，其表达式为 对给定的显著性水平 ，检验的拒绝域为:例 为研究儿童智力发展与营养的关系，某 研究机构调查了1436名儿童，得到如表的 数据，试在显著性水平0.05下判断智力发展与 营养有无关系。表7.4.5 儿童智力与营养的调查数据营养良好营养不良合计 智 商合计342367266329130456402013216423382286345143680 8090
12、9099 100解：用A表示营养状况，它有两个水平：表示 营养良好，表示营养不良；B表示儿童智商,它有四个水平，分别表示表中四种 情况。沿用前面的记号，首先建立假设 H0：营养状况与智商无关联，即A与B独立的。统计表示如下：在原假设H0成立下，我们可以计算诸参数的极大似然估计值:进而可给出诸 ，如其它结果见表7.4.6 表7.4.6 诸 的计算结果 营养良好 384.1677 346.8724 259.7631 313.3588 0.90810.29460.26600.19920.2403营养不良 38.877935.103626.288131.71200.09197.815，故拒绝原假设，认
13、为营养状况对智商有影响。本例中检验的p 值为0.0002。7.5 正态性检验正态分布是最常用的分布，用来判断总体分布是否为正态分布的检验方法称为正态性检验，它在实际问题中大量使用。正态概率纸正态概率纸可用来作正态性检验，方法如下：利用样本数据在概率纸上描点，用目测方法看这些点是否在一条直线附近，若是的话，可以认为该数据来自正态总体，若明显不在一条直线附近，则认为该数据来自非正态总体。例 随机选取10个零件，测得其直径与标 准尺寸的偏差如下：（单位：丝）9.4 8.8 9.6 10.2 10.1 7.2 11.1 8.2 8.6 9.6 在正态概率纸上作图步骤如下：(1)首先将数据排序：7.2
14、8.2 8.6 8.8 9.4 9.6 9.8 10.1 10.2 11.1;(2)对每一个i，计算修正频率 (i-0.375)/(n+0.25),i=1,2,n,(3)将点 逐一点在正态概率纸上,(4)观察上述n个点的分布:若诸点在一条直线附近,则认为该批数 据来自正态总体；若诸点明显不在一条直线附近，则认为 该批数据的总体不是正态分布。从图可以看到，10个点基本在一条直线附近，故可认为直径与标准尺寸的偏差服从正态分布。如果从正态概率纸上确认总体是非正态分布时，可对原始数据进行变换后再在正态概率纸上描点，若变换后的点在正态概率纸上近似在一条直线附近，则可以认为变换后的数据来自正态分布，这样的
15、变换称为正态性变换。常用的正态性变换有如下三个：对数变换 、倒数变换 和根号变换 。图7.4.3 给出这10个点在正态概率纸上的图形，这10个点明显不在一条直线附近，所以可以认为该电子元件的寿命的分布不是正态分布。例 随机抽取某种电子元件10个,测得其寿 命数据如下:110.47,99.16,97.04,77.60,4269.82,539.35,179.49,782.93,561.10,286.80.图7.4.3 例7.4.5 的正态概率纸对该10个寿命数据作对数变换,结果见表7.4.8 表7.4.8 对数变换后的数据 1 32.623.4849 0.061 6286.80 5.6588 0.5492 97.04 4.5752 0.159 7539.35 6.2904 0.6463 99.16 4.5967 0.256 8561.10 6.3299 0.7434 110.47 4.7048 0.354 9 782.936.6630 0.8415 179.49 5.1901 0.451 10 2269.82 7.7275 0.939ii利用表7.4.8 中最后两列上的数据在正态概率纸上描点，结果见图，从图上可以看到10个点近似在一条直线附近，说明对数变换后的数据可以看成来自正态分布。这也意味着，原始数据服从对数正态分布图7.4.4 变换后数据的正态概率纸