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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设1 i2i1 iz，则| z A0B1 2C1D22已知集合220Ax xx，则A RA12xx B12xx C
2、|1|2x xx x D|1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记nS为等差数列 na的前n项和.若3243SSS，12a ，则5aA12B10C10D125设函数32( )(1)f xxaxax.若( )f x为
3、奇函数，则曲线( )yf x在点(0,0)处的切线方程为A2yx Byx C2yxDyx6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A31 44ABAC B13 44ABAC C31 44ABAC D13 44ABAC 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A172B52C3D28设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN =A5 B6 C7 D89已知函数e0(
4、)ln0xxf xxx， ，( )( )g xf xxa若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，ACABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p311已知双曲线 C：2 213xy，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若
5、OMN为直角三角形，则|MN|=A3 2B3C2 3D412已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A3 3 4B2 3 3C3 2 4D3 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若x，y满足约束条件220100xyxyy ，则32zxy的最大值为_14记nS为数列 na的前n项和.若21nnSa，则6S _15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）16已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_三、解答题：共 7
6、0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （12 分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB ，5BD .（1）求cosADB；（2）若2 2DC ，求BC.18 （12 分）如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF 平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19 （12 分）设椭圆2 2:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于
7、,A B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB .20 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的0p作
8、为p的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 （12 分）已知函数1( )lnf xxaxx（1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x存在两个极值点12,x x，证明： 12122f xf xaxx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直
9、角坐标系xOy中，曲线1C的方程为| |2yk x.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22 cos30.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知( ) |1|1|f xxax.（1）当1a 时，求不等式( )1f x 的解集；（2）若(0,1)x时不等式( )f xx成立，求a的取值范围.参考答案：参考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.6 14.63 15.16 16.3 3 217.（12 分）解：（1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBD
10、AB AADB.由题设知，52 sin45sinADB，所以2sin5ADB.由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB.（2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB.在BCD中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBD DCBDC 22582 5 2 25 25.所以5BC .18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF.又BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF 的方向为 y 轴正方向，|BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
11、 Hxyz.由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=3.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.可得33,22PHEH.则3333(0,0,0), (0,0,),( 1,0),(1,),2222HPDDP 3(0,0,)2HP 为平面 ABFD 的法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则3 34sin|4|3HP DP HPDP .所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为3 4.19.（12 分）解：（1）由已知得(1,0)F，l 的方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以 AM 的方程为222yx 或222yx.（2）当 l
12、 与 x 轴重合时，0OMAOMB .当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为(1)(0)yk xk，1221( ,),(,)AyxyxB，则122,2xx，直线 MA，MB 的斜率之和为212122MAMBxxyykk.由1122,ykkxykxk得121212(23 ()4 2)(2)MAMBx xxxkk xxkkk.将(1)yk x代入2 212xy得2222(21)4220kxk xk.所以，21221222422,2121xxxkk kxk.则3131322244128423 ()4021kkk
13、kkkkkkx xxx.从而0MAMBkk，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以OMAOMB .综上，OMAOMB .20.（12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为2218 20( )C(1)f ppp.因此218217217 2020( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp.令( )0fp，得0.1p .当(0,0.1)p时，( )0fp；当(0.1,1)p时，( )0fp.所以( )f p的最大值点为00.1p .（2）由（1）知，0.1p .（i）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，2
14、0 225XY，即4025XY.所以(4025 )4025490EXEYEY.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于400EX ，故应该对余下的产品作检验.21.（12 分）解:（1）( )f x的定义域为(0,)，22211( )1axaxfxxxx .（i）若2a ，则( )0fx，当且仅当2a ，1x 时( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递减.（ii）若2a ，令( )0fx得，24 2aax或24 2aax.当2244(0,)(,)22aaaaxU时，( )0fx；当2244(,)22aaaax时，( )0fx.所以( )f x在224
15、4(0,),(,)22aaaa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增.（2）由（1）知，( )f x存在两个极值点当且仅当2a .由于( )f x的两个极值点12,x x满足210xax ，所以121x x ，不妨设12xx，则21x .由于1212122121212122 2()()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx ，所以1212()()2f xf xaxx等价于22 212ln0xxx.设函数1( )2lng xxxx，由（1）知，( )g x在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，( )0g x .所以22 212l
16、n0xxx，即1212()()2f xf xaxx.22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）解:（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy（2）由（1）知2C是圆心为( 1,0)A ，半径为2的圆由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|2 1kk ，故4 3k 或0k 经检验，当0k
17、时，1l与2C没有公共点；当4 3k 时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|2 1kk ，故0k 或4 3k 经检验，当0k 时，1l与2C没有公共点；当4 3k 时，2l与2C没有公共点综上，所求1C的方程为4| 23yx 23选修 45：不等式选讲（10 分）解：（1）当1a 时，( ) |1|1|f xxx，即2,1,( )2 , 11,2,1.xf xxxx 故不等式( )1f x 的解集为1 |2x x （2）当(0,1)x时|1|1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1| 1ax成立若0a ，则当(0,1)x时|1| 1ax；若0a ，|1| 1ax的解集为20xa ，所以21a ，故02a综上，a的取值范围为(0,2.