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1、统计学第七章 参数估计2参数估计的一般问题一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本量的确定学习目标本章学习目标37.1参数估计的一般问题 47.1参数估计的一般问题 估计量与估计值评价估计量的标准点估计与区间估计12351.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例,样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量2.参数用 表示，估计量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是的估计值7.1估计量与估计值(estimator&estimated value)6估计量与估计值评价估计量的标准点估计与区间估计1237.1参数估计
2、的一般问题 71.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息7.1点估计(point estimate)81.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限7.1区间估计(interval estimate)9x95%的样本-1.96 x+1.96 x9
3、9%的样本-2.58 x+2.58 x90%的样本-1.65 x+1.65 x7.1区间估计(interval estimate)101.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 2.表示为(1 a）%a为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的 a为0.01，0.05，0.107.1置信水平(confidence level)11由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知
4、道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值7.1置信区间(confidence interval)12重复构造出 的20个置信区间 点估计值7.1置信区间(95%的置信区间)13估计量与估计值评价估计量的标准点估计与区间估计1237.1参数估计的一般问题 14无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P P()B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏7.1无偏性(unbiasedness)15有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布P P()7.1有效性(efficiency)167.
5、1一致性(consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本量较小的样本量较大的样本量较大的样本量P P()177.2一个总体参数的区间估计18总体均值的区间估计总体方差的区间估计总体比例的区间估计123197.2一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差207.2总体均值的区间估计1.假定条件l总体服从正态分布,且方差()已知l如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.使用正态分布统计量 z3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为217.2总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为
6、对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%2525袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.322例题答案已知N(，102)，n=25,1-
7、=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为7.2总体均值的区间估计(例题分析)23【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间 3636个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845327.2总体均值的区间估计(例题分析)例题247.2总体均值的区间估计(例题分析)答案解
8、：已 知 n=36,1-=90%，z/2=1.645。根 据 样 本 数 据 计 算 得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁25总体均值的区间估计总体方差的区间估计总体比例的区间估计123267.2总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,但方差()未知小样本(n 30)2.使用 t 分布统计量3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为277.2 t分布t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 x x xt t 分布与
9、标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)z z287.2总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间1616灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701
10、47029解：已知N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h1503.2h7.2总体均值的区间估计(例题分析)答案30总体均值的区间估计总体方差的区间估计总体比例的区间估计123311.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量 z3.3.总体比例总体比例 在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区的置信区间为间为7.2总体比例的区间估计32【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水
11、平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%例题答案7.2总体比例的区间估计(例题分析)33总体均值的区间估计总体方差的区间估计总体比例的区间估计123341.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差 2 的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为7.2总体方差的区间估计357.2总体方差的区间估计(图示)1-1-1-总体方差的总体方差的总体方差的1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间自由度为自由度为n n-1-1的的 367.2总体方差的区间估计(图示)例题【例】一家食品生产企业以生产袋装食品
12、为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 2525袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.337已知n25，1-95%,根据样本数据计算得s2=93.21 2置信度为95%的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为
13、7.54g13.43g7.2总体方差的区间估计(例题分析)答案387.2一个总体参数的区间估计(小结)待估参数待估参数待估参数待估参数均值均值大样本大样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布小样本小样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布比例比例大样本大样本Z Z分布分布方差方差 2 2分布分布397.3两个总体参数的区间估计407.3两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值差均值差比例差比例差方差比方差比41两个总体均值之差的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体比例之差的区间估计1237.3两个总体参数
14、的区间估计427.3两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1、2已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量 z431、1，2已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为2、1、2未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为7.3两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)44例题【例】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 两个样本的有关数据两
15、个样本的有关数据 中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.27.3两个总体均值之差的估计(例题分析)457.3两个总体均值之差的估计(例题分析)解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为 两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分10.97分答案467.3两个总体均值之差的估计(例题分析)某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2例题47解:两个总
16、体均值之差在1-置信水平下的置信区间为 两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分10.97分7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)答案481.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本(n130和n230)2.总体方差的合并估计量3.估计量x1-x2的抽样标准差7.3两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)497.3两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试
17、以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5例题50答案解:根据样本数据计算得 合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14min7.26min7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)517.3两个总体均值之差的估计(小样本:12 22)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：12
18、两个独立的小样本(n130和n230)2.使用统计量52两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度自由度7.3两个总体均值之差的估计(小样本:12 22)53例题沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.53
19、1.037.634.433.832.128.020.028.830.030.254答案7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)解:根据样本数据计算得 自由度为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192min9.058mni557.3两个总体均值之差的估计(例题分析)1.假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布2.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的均值对应差值的标准差对应差值的标准差567.3两个总体均值之差的估计(匹配小样本)1.假定条件两个匹配的小样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察
20、值的配对差服从正态分布 2.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为57例题7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间 1010名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分 学生编号学生编号试卷试卷A试卷试卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-2768551387660169857781055391658答案解:根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信
21、区间为6.33分15.67分7.3两个总体均值之差的估计(例题分析)597.3两个总体比例之差的区间估计1.假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为607.3两个总体比例之差的估计(例题分析)例题【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间 617.3两个总体比例之差的估计(例题分析)解:已知 n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-=95%，z/2=1
22、.96 1-2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%答案621.比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为7.3两个总体方差比的区间估计637.3两个总体方差比的区间估计(图示)F FF F1-1-F F 总体方差比的总体方差比的总体方差比的1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图647.3两个总体方差比的区间估计(例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(
23、单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间 65解:根据自由度 n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84 7.3两个总体方差比的区间估计(例题分析)66待估参数待估参数待估参数待估参数均值差均值差独立大样本独立大样本 1 12 2、2 22 2已已Z Z分布分布 1 12 2、2 22 2未未Z Z分布分布独立小样本独
24、立小样本 1 12 2、2 22 2已知已知Z Z分布分布 1 12 2、2 22 2未知未知 1 12 2=2 22 2t t分布分布 1 12 2 2 22 2t t分布分布正态总体正态总体匹配样本匹配样本t分布分布比例差比例差独立大样本独立大样本Z Z分布分布方差比方差比F F分布分布7.3两个总体参数的区间估计(小结)677.4估计两个总体比例之差时样本量的确定687.4估计总体均值时样本量的确定 1.估计总体均值时样本量n为2.样本量n与总体方差 2、估计误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与估计误差的平方成反比与可靠性系数成正比3.样本量的圆整法则：当计算出的样本量
25、不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等其中：其中：697.4估计总体均值时样本量的确定【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望估计误差为400元，应抽取多大的样本量？70解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.96，应抽取的样本量为即应抽取97人作为样本 7.4估计总体均值时样本量的确定(例题分析)717.4估计总体比例时样本量的确定 1.根据比例区间估计公式可得样本量n为2.E的取值一般小于0.13.未知时，可取使方差达到最大的值0.5其中：其中：727.4估计总体比例时样本量的确定(例题分析)解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%应抽取的样本量为 应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本例题答案【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求估计误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？