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1、 第五讲：动态线性系统的第五讲：动态线性系统的 Kalman滤波滤波 （Kalman Filtering of Dynamic Linear System）一、背景一、背景二二、Kalman滤波原理滤波原理三三、Kalman滤波算法的特性与改进滤波算法的特性与改进第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波一、背景一、背景Kalman滤波理论的发展滤波理论的发展滤波滤波是指从混合在一起的诸多信号中提取出所需信号的过程。是指从混合在一起的诸多信号中提取出所需信号的过程。滤波估计的发展经历了三个阶段：滤波估计的发展经历了三个阶段：第一阶段：第一阶段：20世纪世纪40年代前，最小
2、二乘（年代前，最小二乘（LS ）估计，从概率）估计，从概率 密度出发讨论估计问题。密度出发讨论估计问题。第二阶段第二阶段：19401940年，年，N.WienerN.Wiener提出在频域中设计统计最优滤提出在频域中设计统计最优滤 波器的方法波器的方法 WienerWiener滤波滤波，采用频域设计法，对，采用频域设计法，对 随机过程的估计。随机过程的估计。WienerWiener滤波的不足滤波的不足：a.运算复杂，解析求解困难，不能给出最佳滤波解的直接计算方法；b.必须保存所用的全部数据，要求存储空间大；c.是一个单输入单输出滤波器，仅适用于一维平稳随机过程信号滤波。第五讲第五讲 动态线性系
3、统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波一、背景一、背景Kalman滤波理论的发展滤波理论的发展滤波估计的发展经历了三个阶段：滤波估计的发展经历了三个阶段：第三阶段：第三阶段：19601960年，年，R.E.Kalman提出时域内直接设计最优滤波提出时域内直接设计最优滤波器的新方法器的新方法 Kalman滤波滤波 。Kalman滤波滤波是一种时域滤波是一种时域滤波法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可处理多维和非平稳储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可处理多维和非平稳随机过程。随机过程
4、。Kalman滤波滤波与与Wiener滤波滤波的相同点：（的相同点：（1 1）估计准则相同；）估计准则相同；（2 2）基本原理相同；（）基本原理相同；（3 3）都是对随机过程的估计。）都是对随机过程的估计。一、背景一、背景KalmanKalman滤波理论的应用滤波理论的应用Kalman滤波理论在测绘和导航中的应用滤波理论在测绘和导航中的应用第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波一、背景一、背景KalmanKalman滤波理论的应用滤波理论的应用 阿波罗登月计划和C5A飞机导航系统的设计。惯性导航、制导系统的设计；全球定位系统的设计；目标跟踪处理与辨识；通信与信号处理；
5、随机最优控制问题、故障诊断；组合导航系统的设计；多传感器信息融合系统的设计与估计；第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理雷达跟踪问题：雷达跟踪问题：设设k时刻，雷达与飞行器的距离时刻，雷达与飞行器的距离而而T秒后的秒后的k1时刻，雷达与飞行器的距离时刻，雷达与飞行器的距离R R 为平均距离。为平均距离。则有则有称为距离预测方程称为距离预测方程若飞行器的径向运动速度为若飞行器的径向运动速度为对于加速度对于加速度 ，也有如下加速度方程，也有如下加速度方程称为速度预测方程称为速度预测方程第五讲第五讲
6、动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理称为距离预测方程称为距离预测方程称为速度预测方程称为速度预测方程即设：即设：定义信号定义信号X（k），），包含距离分量和径向速度分量包含距离分量和径向速度分量则有：则有：矩阵形式矩阵形式第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波并令：并令：1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理矩阵形式矩阵形式（1 1）式称为系统状态方程，）式称为系统状态方程，X为信号，为信号，W为噪声向量为噪声向量不失一般性，写作不失一般性，写作
7、（1）第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理写成矩阵形式写成矩阵形式为了估计信号，观测了为了估计信号，观测了n个含有噪声的观测值，其观测方程为个含有噪声的观测值，其观测方程为（2）（2 2）式称为观测方程，或测量模型）式称为观测方程，或测量模型第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理动态线性系统的模型方程动态线性系统的模型方程系统状态方程观测方程 动态线性系统的动态线性系统的KalmanKalman
8、滤波的实质，就是利用观测值滤波的实质，就是利用观测值 ，根据状态方程和观测方程求定，根据状态方程和观测方程求定j j时刻状时刻状态向量态向量 的最佳估值的最佳估值第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波1、Kalman滤波数学模型滤波数学模型二二、Kalman滤波原理滤波原理从从k-1k-1时刻到时刻到k k时刻的状态转移矩阵时刻的状态转移矩阵 系数矩阵系数矩阵 系统误差向量（也称为模型噪声）系统误差向量（也称为模型噪声）观测误差向量（也称为观测噪声）观测误差向量（也称为观测噪声）W Wk k与与W Wk-1k-1，e ek k与与 e ek-1k-1，W Wk k与与
9、e ek k均不相关均不相关,即为高斯白噪声。即为高斯白噪声。常用模型方程：常用模型方程：第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理设：设：为状态预报向量，作为虚拟观测值，为状态预报向量，作为虚拟观测值，协方差阵为协方差阵为误差方程为误差方程为KalmanKalman滤波的目标函数：滤波的目标函数：（1）第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理（1 1）参数平差法）参数平差法KalmanKalman滤波解滤波解求导：求导：法方
10、程：法方程：第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理（2 2）条件平差法）条件平差法目标函数：目标函数：条件方程：条件方程：求极值求极值（2）第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理（2 2）条件平差法）条件平差法因为：因为：所以：所以：将将 和和代入条件方程：代入条件方程：法方程：法方程：第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理（2 2）
11、条件平差法）条件平差法设：设：滤波增益阵滤波增益阵第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理（2 2）条件平差法）条件平差法KalmanKalman滤波解的通用式滤波解的通用式滤波增益阵滤波增益阵第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2 2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理说明：说明：时间更新：时间更新：仅使用与系统动态特性有关的信息仅使用与系统动态特性有关的信息观测更新：观测更新：正确、合理地利用观测信息正确、合理地利用观测信息在一个滤波周期内，在一个滤波周
12、期内，Kalman滤波具有两个明显的信息滤波具有两个明显的信息更新过程：更新过程：时间更新时间更新过程和过程和观测更新观测更新过程。过程。第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2 2、Kalman滤波解滤波解二二、Kalman滤波原理滤波原理或者或者可看成：系统预测过程和观测修正过程。可看成：系统预测过程和观测修正过程。预测（预测（prediction）修正（修正（Correction）：）：第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波3 3、Kalman滤波计算步骤滤波计算步骤二二、Kalman滤波原理滤波原理（1）计算状态向量的预报值及其协方差
13、阵（2）求预测残差向量：（3）计算滤波增益阵 及 （4）求Kalman滤波解第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波三三、Kalman滤波算法的特性与改进滤波算法的特性与改进1Kalman滤波算法的特性滤波算法的特性1）Kalman滤波模型具有广泛适应性。滤波模型具有广泛适应性。不仅适用于平稳序列滤不仅适用于平稳序列滤波，而且特别适用于非平稳序列以及高斯马尔可夫序列滤波波，而且特别适用于非平稳序列以及高斯马尔可夫序列滤波。3)滤波增益矩阵与观测无关，可预先离线算出，从而可以减少滤波增益矩阵与观测无关，可预先离线算出，从而可以减少在线实时计算工作量。在线实时计算工作量。2
14、）Kalman滤波的计算过程是一个不断滤波的计算过程是一个不断“预测预测修正修正”的过程，的过程，求解时不需存储大量数据，非常适于实时处理，计算机编程实求解时不需存储大量数据，非常适于实时处理，计算机编程实现。但计算量较大。现。但计算量较大。第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波三三、Kalman滤波算法的特性与改进滤波算法的特性与改进1Kalman滤波算法的特性滤波算法的特性4）模型噪声方差模型噪声方差 具有调节模型偏差的作用。它在一具有调节模型偏差的作用。它在一定程度上反映了滤波模型的精度，或者状态转移矩阵的好定程度上反映了滤波模型的精度，或者状态转移矩阵的好坏，
15、直接影响状态估计值坏，直接影响状态估计值 的精度。的精度。5）Kalman滤波在一定条件下具有滤波在一定条件下具有稳定性稳定性,所得滤波估计是所得滤波估计是最优线性无偏估计。最优线性无偏估计。第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波2 2、经典、经典Kalman滤波算法对系统的要求：滤波算法对系统的要求：（1 1）系统为随机线性系统；）系统为随机线性系统；（2 2）数学模型精确，即没有模型误差；）数学模型精确，即没有模型误差；（3 3）系统中的模型噪声和观测噪声均为已知的高斯白噪）系统中的模型噪声和观测噪声均为已知的高斯白噪声序列；声序列；（4 4）噪声的方差准确已知，
16、即要有可靠的先验信息。）噪声的方差准确已知，即要有可靠的先验信息。三三、Kalman滤波算法的特性与改进滤波算法的特性与改进第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波3 3、经典、经典Kalman滤波可以改进之处：滤波可以改进之处：改进函数模型，如附加模型参数；改进函数模型，如附加模型参数；改进函数模型，如附加模型参数；改进函数模型，如附加模型参数；附加模型误差协方差矩阵；附加模型误差协方差矩阵；附加模型误差协方差矩阵；附加模型误差协方差矩阵；重新估计观测协方差矩阵重新估计观测协方差矩阵重新估计观测协方差矩阵重新估计观测协方差矩阵抗差滤波；抗差滤波；抗差滤波；抗差滤波；重
17、新估计动力模型协方差矩阵重新估计动力模型协方差矩阵重新估计动力模型协方差矩阵重新估计动力模型协方差矩阵SageSageSageSage滤波滤波滤波滤波；方差分量估计；方差分量估计；方差分量估计；方差分量估计；改改改改进进进进观观观观测测测测协协协协方方方方差差差差矩矩矩矩阵阵阵阵和和和和动动动动力力力力模模模模型型型型协协协协方方方方差差差差矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的比例；比例；比例；比例；自适应调节权矩阵自适应调节权矩阵自适应调节权矩阵自适应调节权矩阵；动力模型的自适应调节（难！）。动力模型的自适应调节（难！）。动力模型的自适应调节（难！）。动力模型的自适应调节（难！）。三三、Kalman滤波算法的特性与改进滤波算法的特性与改进第五讲第五讲 动态线性系统的动态线性系统的 Kalman滤波滤波