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1、第七章 间接平差p本章主要介绍三个问题：间接平差原理；间接平差原理；误差方程；误差方程；精度评定。精度评定。测量平差过程测量平差过程:观测值观测值数学模型数学模型平差估计准则平差估计准则法方程法方程平差值平差值精度评定精度评定7-1 7-1 间接平差原理间接平差原理p回顾关于间接平差：回顾关于间接平差：何谓间接平差？何谓间接平差？建立间接平差的函数模型有何要求？建立间接平差的函数模型有何要求？函数模型的一般式如何？函数模型的一般式如何？间接平差的函数模型间接平差的函数模型(观测方程观测方程)为为：间接平差的随机模型为：间接平差的随机模型为：平差准则：平差准则：误差方程为：误差方程为：p关于间接
2、平差函数模型间接平差时，一般对参数都要取近似值间接平差时，一般对参数都要取近似值,即：即：将近似值代入观测方程（函数模型）后，得：将近似值代入观测方程（函数模型）后，得：令：令：则得到误差方程：则得到误差方程：p关于近似值的选择选取近似值的目的选取近似值的目的:为了便于计算（使误差方程的常数项变小）。为了便于计算（使误差方程的常数项变小）。选取方法：选取方法：1、如果参数是观测量的平差值，就选该观、如果参数是观测量的平差值，就选该观测值为近似值；测值为近似值；2、如果参数是非观测值，就选由观测值来、如果参数是非观测值，就选由观测值来计算得到的参数值为近似值。计算得到的参数值为近似值。一、基础方
3、程及其解一、基础方程及其解v思考：怎样求得思考：怎样求得 和和V V？按数学上求自由极值的方法，得：按数学上求自由极值的方法，得：转置后得：转置后得：基础方程为：基础方程为：法方程：法方程：或简写为：或简写为：解法方程：解法方程：回代入误差方程求得改正数回代入误差方程求得改正数V V：平差结果：平差结果：p法方程的特点：法方程的特点：个数：个数：t t个；未知数是所选参数（与条平？）个；未知数是所选参数（与条平？）系数的构成：系数的构成：1 1、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：2 2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆（凯利逆）、它是满秩且对称的方阵
4、，故有唯一逆（凯利逆）。法方程的常数项：法方程的常数项：由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观测值的权阵组成，即：测值的权阵组成，即：法方程为：法方程为：二、按间接平差法求平差值的计算步骤二、按间接平差法求平差值的计算步骤1 1、选参数；、选参数；2 2、列出误差方程；、列出误差方程；3 3、组成法方程；、组成法方程；4 4、解算法方程，求参数；、解算法方程，求参数；5 5、由误差方程计算、由误差方程计算V V并求平差值。并求平差值。例例7-1.试按间接平差法求待定点的高程。试按间接平差法求待定点的高程。例例7-2.（习题集（习题集P46）试按：试按：
5、（1 1）条件平差法求待定点的高程；）条件平差法求待定点的高程；（2 2）间接平差法求待定点的高程；）间接平差法求待定点的高程；（3 3）附有参数的条件平差法求待定点的高程；）附有参数的条件平差法求待定点的高程；p 结论：结论：一个平差问题，无论采用哪种平差方一个平差问题，无论采用哪种平差方法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与具体平差方法无关！具体平差方法无关！作业：作业：P52 例例7-3.7-3.观测数据如图示，试列立误差方程。观测数据如图示，试列立误差方程。例例7-4.试列立误差方程。试列立误差方程。例例7-5.试列立误差方程。试列立误差方程。（测角网
6、）例例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。观测三条边长，试列立误差方程。（测边网）例例7-9.试列立误差方程。试列立误差方程。（导线测量）7-2 7-2 观测方程观测方程p阐述经常遇到的几种间接平差函数模型：阐述经常遇到的几种间接平差函数模型：以方向为观测值；以方向为观测值；以角度为观测值；以角度为观测值；以边长为观测值；（三角网）以边长为观测值；（三角网）以数字化坐标为观测值的拟合模型等。以数字化坐标为观测值的拟合模型等。p 坐标平差坐标平差：三角网进行间接平差时，通常取三角网进行间接平差时，通常取待定点待定点的坐标为参数的坐标为参数，通过平差直接求得待定点，通过平差直接求得待定点的坐标平
7、差值，这种平差法亦称为坐标平的坐标平差值，这种平差法亦称为坐标平差。差。下图为一下图为一方向方向观测的三角网，则按间接平差法如何观测的三角网，则按间接平差法如何建立误差方程？建立误差方程？一、测方向三角网函数模型一、测方向三角网函数模型jhkLjhLjkZj(Xh,Yh)(XK,YK)(Xj,Yj)零方向jkjk方向的误差方程为方向的误差方程为:代入、顾及单位统一：代入、顾及单位统一：则：则：v上式称为坐标方位角改正数方程。上式称为坐标方位角改正数方程。p则方向误差方程式：则方向误差方程式：其中：其中：n关于测关于测方向方向坐标坐标平差的误差方程：平差的误差方程：1 1、误差方程的参数有两大类
8、；、误差方程的参数有两大类；2 2、各参数的系数的特点？、各参数的系数的特点？3 3、当端点为已知点时，则其坐标的改正、当端点为已知点时，则其坐标的改正数为零；数为零；4 4、当两个端点同为已知点时，其方向的、当两个端点同为已知点时，其方向的误差方程仍存在！误差方程仍存在！5 5、同一边的正反方位角改正数相等！、同一边的正反方位角改正数相等！6 6、定向角的近似值如何求？、定向角的近似值如何求？例例7-77-7：（：（P109P109教材）教材）思考：思考：1 1、该问题有多少误差方程？构成？、该问题有多少误差方程？构成？2 2、有几个未知数？、有几个未知数？3 3、应组成多少个法方程？、应组
9、成多少个法方程？4 4、定向角的近似值如何求？、定向角的近似值如何求？二、测角网函数模型二、测角网函数模型jhkLijhjk(Xh,Yh)(Xk,Yk)(Xj,Yj)u角度角度误差方程不存在定向角参数。误差方程不存在定向角参数。三、测边函数模型三、测边函数模型j(Xj,Yj)K(Xk,Yk)Li即：即：用台劳极数展开，得：用台劳极数展开，得：其中：其中：四、导线网函数模型四、导线网函数模型不难看出不难看出：它的误差方程是前述角度、：它的误差方程是前述角度、边长误差方程的综合！边长误差方程的综合！五、拟合模型p拟合模型是一种特殊的函数模型。拟合模型是一种特殊的函数模型。前面所述的都是一种前面所述
10、的都是一种确定性确定性的函数模型；的函数模型；而拟合模型却是一种而拟合模型却是一种函数逼近函数逼近型或型或统计回归统计回归模型模型。p常用的有常用的有1 1、求直线方程；、求直线方程；2 2、地图数字化中，求圆的曲线方程；、地图数字化中，求圆的曲线方程；3 3、摄影测量中，数字高程模型、摄影测量中，数字高程模型、GPSGPS水准的水准的高程异常拟合模型等。高程异常拟合模型等。YXO直线方程:Y=aX+b例例:若观测若观测6组数据组数据,试求拟合方程试求拟合方程?圆的参数方程:XYOY0X0u摄影测量中，数字高程模型、摄影测量中，数字高程模型、GPS水准的高程异水准的高程异常拟合模型等，常采用多
11、项式拟合模型常拟合模型等，常采用多项式拟合模型:或或:六、坐标转换模型XYXYOOP(XP,YP)作业作业:(P53-56)7-3 7-3 精度评定精度评定一、单位权方差的估值公式一、单位权方差的估值公式二、协因数阵的计算二、协因数阵的计算1 1、观测值的平差值的协因数阵、观测值的平差值的协因数阵2 2、参数协因数阵、参数协因数阵间接平差的协因数公式间接平差的协因数公式思考：思考：间接平差中其它基本向量的自（互）协因数间接平差中其它基本向量的自（互）协因数阵阵 又如何？又如何？特别地：特别地：三、参数函数的中误差三、参数函数的中误差u在间接平差中，解算法方程首先求得的是在间接平差中，解算法方程
12、首先求得的是t t个参数。有了这些个参数。有了这些参数参数，便可以根据它，便可以根据它们来计算该平差问题中任一量的平差值。们来计算该平差问题中任一量的平差值。思考：思考：1 1、在条件平差中，又是如何表达任一量的、在条件平差中，又是如何表达任一量的平差值的？平差值的？2 2、在附有参数的条件平差中有如何？、在附有参数的条件平差中有如何？条件平差：间接平差：例例7-107-10、欲评定待定点点位精度时，如何列立函数式、欲评定待定点点位精度时，如何列立函数式？v由此可知由此可知条件平差精度评定时：条件平差精度评定时：1 1）需先算出）需先算出 2 2）相应的函数式以观测值平差值为变量。）相应的函数
13、式以观测值平差值为变量。间接平差精度评定时：间接平差精度评定时：1 1）需先算出）需先算出 2 2）相应的函数式以参数为变量。）相应的函数式以参数为变量。p间接平差参数函数协因数的计算步骤：间接平差参数函数协因数的计算步骤：1 1、设参数的函数为：、设参数的函数为：2 2、权函数式为：、权函数式为：式中：式中：3 3、则其协因数阵为：、则其协因数阵为：例7-11、（注意：统一单位，以及单位的选取！）注意：统一单位，以及单位的选取！）uGPSGPS测量的几个术语：1）GPSGPS网网-用基线向量构成的网称GPS网。2）GPS测量得到的是GPS基线向量;是属于WGS-84坐标系的三维坐标差。3）W
14、GS84WGS84空间坐标系空间坐标系-以地球质心为坐标原点的地固坐标系。4）外业观测后，需进行：GPSGPS基线向量的计算基线向量的计算（可用厂家提供的商用软件计算）；GPSGPS网的平差计算。网的平差计算。7-5 间接平差特例-直接平差例：设对未知量例：设对未知量L L进行了进行了n n次不同精度独立观测，次不同精度独立观测，观测值为观测值为 ，权阵为，权阵为 ，求该量的平差值，求该量的平差值以及中误差。以及中误差。误差方程：法方程：解得：单位权中误差：参数协因数：参数的中误差：特别地，当：精度评定公式：对同一未知量进行多次直接观测，求该对同一未知量进行多次直接观测，求该量的平差值并评定精度，称为量的平差值并评定精度，称为直接平差直接平差。它是间接平差中具有一个参数的特殊情它是间接平差中具有一个参数的特殊情况。况。7-6 7-6 间接平差公式绘编间接平差公式绘编1 1）数学模型：）数学模型：2 2）误差方程）误差方程3 3）法方程：）法方程：4 4）参数与观测量的平差值：）参数与观测量的平差值：5 5）单位权中误差：）单位权中误差：6 6）平差参数）平差参数X X的协因数阵：的协因数阵：7 7）平差参数函数的协因数阵：）平差参数函数的协因数阵：作业：作业：P57