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1、1第一章第一章 有限差分法有限差分法2主要内容主要内容1 1 1 1差分和差商差分和差商2 2 2 2有限差分格式有限差分格式3 3 3 3不同媒质分界面上的差分格式及定解不同媒质分界面上的差分格式及定解问题的差分格式问题的差分格式 4 4 4 4有限差分法的求解有限差分法的求解5 5 5 5场强与电、磁积分量的计算场强与电、磁积分量的计算6 6 6 6典型算例分析典型算例分析3介绍介绍 n n有限差分方法是一种有限差分方法是一种有限差分方法是一种有限差分方法是一种微分方法微分方法微分方法微分方法，自上世纪五十年，自上世纪五十年，自上世纪五十年，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念
2、清晰，方代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种在数
3、值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法。数值方法。数值方法。数值方法。n n为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将有限差分法是将有限差分法是将有限差分法是将定解区域（场区）离散化定解区域（场区）离散化定解区域（场区）离散化定解区域（场区）离散化为网格为网格为网格为网格离散节点的集合。并以各离散点上离散节点的集合。并以各离散点上离散节点的集合。并以各离散点上离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来函数的差商来函数的差商来函数的差商来近似
4、该点的偏导数近似该点的偏导数近似该点的偏导数近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问，使待求的偏微分方程定解问，使待求的偏微分方程定解问，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的题转化为一组相应的题转化为一组相应的题转化为一组相应的差分方程差分方程差分方程差分方程。根据差分方程组。根据差分方程组。根据差分方程组。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值解出各离散点处的待求函数值解出各离散点处的待求函数值解出各离散点处的待求函数值离散解。离散解。离散解。离散解。41、差分与差商、差分与差商 n n用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。用差分代替微
5、分，是有限差分法的基本出发点。用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。这一点由这一点由这一点由这一点由微分原理微分原理微分原理微分原理保证的，当自变量的差分趋于保证的，当自变量的差分趋于保证的，当自变量的差分趋于保证的，当自变量的差分趋于零时，零时，零时，零时，差分变成微分差分变成微分差分变成微分差分变成微分 5差分与差商差分与差商 n n前向差分前向差分前向差分前向差分 n n后向差分后向差分后向差分后向差分 n n中心差分中心差分中心差分中心差分 6差分与差商差分与差商 n n通过通过通过通过泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式分析上面分析上面分析上面分析上面差分精度差分精度差分精度差分精度
6、，在点上的一阶，在点上的一阶，在点上的一阶，在点上的一阶导数的逼近度可由泰勒公式展开导数的逼近度可由泰勒公式展开导数的逼近度可由泰勒公式展开导数的逼近度可由泰勒公式展开 n n两式相减两式相减两式相减两式相减7差分与差商差分与差商 n n前前前前向向向向、后后后后向向向向差差差差分分分分截截截截断断断断于于于于 ，具具具具有有有有h h的的的的一一一一阶阶阶阶精精精精度度度度，而而而而中中中中心心心心差差差差分分分分法法法法截截截截断断断断于于于于 ，具具具具有有有有h h的的的的二阶精度，中心差分的精度比较高。二阶精度，中心差分的精度比较高。二阶精度，中心差分的精度比较高。二阶精度，中心差分
7、的精度比较高。n n函数函数函数函数f f（x x）的二阶导数的二阶导数的二阶导数的二阶导数前向差分前向差分8差分与差商差分与差商 n n对对对对偏导数偏导数偏导数偏导数，可仿照上述方法，将表示为：，可仿照上述方法，将表示为：，可仿照上述方法，将表示为：，可仿照上述方法，将表示为：9差分格式差分格式n n二维二维二维二维PossionPossion方程差分格式方程差分格式方程差分格式方程差分格式n n有限差分法的网格划分，通常采用完全有有限差分法的网格划分，通常采用完全有有限差分法的网格划分，通常采用完全有有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的规律的规律的规律的分布分布分布分布方式，这样可
8、使每个离散点上得到方式，这样可使每个离散点上得到方式，这样可使每个离散点上得到方式，这样可使每个离散点上得到相同形式相同形式相同形式相同形式的差分方程，有效的的差分方程，有效的的差分方程，有效的的差分方程，有效的提高解题速度提高解题速度提高解题速度提高解题速度。对能填满平。对能填满平。对能填满平。对能填满平面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式，经常采用的是边形）的划分方式，经常采用的是边形）的划分方式，经常采用的是边形）的划分方式，经常采用的是正方
9、形网格正方形网格正方形网格正方形网格划划划划分，分，分，分，10差分格式差分格式n n一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式n n可采用可采用可采用可采用待定系数待定系数待定系数待定系数的方法，提高差分格式的的方法，提高差分格式的的方法，提高差分格式的的方法，提高差分格式的精度精度精度精度，它的思路：它的思路：它的思路：它的思路：1 1、3 3结点与结点与结点与结点与0 0结点在结点在结点在结点在x x方向的差分用方向的差分用方向的差分用方向的差分用泰泰泰泰勒公式展开勒公式展开勒公式展开勒公式展开，它们各自占有一定的，它们各自占有一定的，它们各自占有一定的，它
10、们各自占有一定的权系数权系数权系数权系数，以截，以截，以截，以截断误差来计算系数断误差来计算系数断误差来计算系数断误差来计算系数 11差分格式差分格式n n忽略忽略忽略忽略h h3 3以上的高次幂的项，并且令以上的高次幂的项，并且令以上的高次幂的项，并且令以上的高次幂的项，并且令 项的项的项的项的系数为零系数为零系数为零系数为零，这样处理可以保证得到的差分格式误差为这样处理可以保证得到的差分格式误差为这样处理可以保证得到的差分格式误差为这样处理可以保证得到的差分格式误差为h h3 3量级量级量级量级。系数为。系数为。系数为。系数为零的条件零的条件零的条件零的条件 n n求出二阶精度精度为求出二
11、阶精度精度为求出二阶精度精度为求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式一阶偏导数差分格式 12差分格式差分格式n n二阶偏导数的差分格式二阶偏导数的差分格式二阶偏导数的差分格式二阶偏导数的差分格式 n n令方程右边的一阶偏导数的令方程右边的一阶偏导数的令方程右边的一阶偏导数的令方程右边的一阶偏导数的系数为系数为系数为系数为0 0，得到系数间的表达，得到系数间的表达，得到系数间的表达，得到系数间的表达式式式式n n代入上式得到精度为代入上式得到精度为代入上式得到精度为代入上式得到精度为O(hO(h3 3)的二阶偏导数的差分格式的二阶偏导数的差分格式的二阶偏导数的差
12、分格式的二阶偏导数的差分格式 13差分格式差分格式n n当当当当 时，上式可以简化为时，上式可以简化为时，上式可以简化为时，上式可以简化为n nPossionPossion方程五点差分格式方程五点差分格式方程五点差分格式方程五点差分格式14不同媒质分界面上的差分格式不同媒质分界面上的差分格式 n n分界面与网格线分界面与网格线分界面与网格线分界面与网格线重合重合重合重合的情况的情况的情况的情况n n两两两两式式式式中中中中 和和和和 是是是是假假假假设设设设“虚虚虚虚”电电电电位位位位，可可可可以以以以利利利利用用用用分分分分界界界界面面面面上上上上场场场场量遵循的量遵循的量遵循的量遵循的边界
13、条件边界条件边界条件边界条件，削去它们，削去它们，削去它们，削去它们 15不同媒质分界面上的差分格式不同媒质分界面上的差分格式 n n其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷n n中心差分格式中心差分格式中心差分格式中心差分格式表示表示表示表示 n n把前面关于把前面关于把前面关于把前面关于 和和和和 式子代入上式式子代入上式式子代入上式式子代入上式 16不同媒质分界面上的差分格式不同媒质分界面上的差分格式 n n分界面与网格线分界面与网格线分界面与网格线分界面与网格线呈对角线呈对角线呈对角线呈对角线的情况
14、的情况的情况的情况n n两两两两式式式式中中中中 和和和和 是是是是假假假假设设设设“虚虚虚虚”电电电电位位位位，可可可可以利用分界面上场量遵循的以利用分界面上场量遵循的以利用分界面上场量遵循的以利用分界面上场量遵循的边界条件边界条件边界条件边界条件，削去它们，削去它们，削去它们，削去它们 17不同媒质分界面上的差分格式不同媒质分界面上的差分格式 n n其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷其次，假设在分界面上没有自由电荷n n对对对对MM、N N结点应用结点应用结点应用结点应用线性插值线性插值线性插值线性插值 18不同媒质分界面上的差
15、分格式不同媒质分界面上的差分格式 n n把把把把前前前前面面面面的的的的 和和和和 代代代代入入入入上上上上式式式式，得得得得网网网网格格格格线线线线呈对角线呈对角线呈对角线呈对角线的差分格式：的差分格式：的差分格式：的差分格式：19定解条件的离散化定解条件的离散化n第一类边界条件的差分离散化第一类边界条件的差分离散化 n应用应用多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式，结点结点1、3的位函数值和可通过的位函数值和可通过 表示为表示为以以h和和h1分分别别与与以以上上两两式式相相乘乘且且相相加加，削削去去一一阶阶偏偏导导项项，然然后后截截断断与与h的的二二次次项项，便便得得到到关关于于结结点点0的
16、的二二阶阶偏偏导导数数的的差差分格式分格式20定解条件的离散化定解条件的离散化n同理，在同理，在0结点处关于结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式方向的二阶偏导的差分格式n代代入入给给定定的的泊泊松松方方程程，得得到到通通常常第第一一类类边边界界条条件件的的差差分分格格式式 21定解条件的离散化定解条件的离散化n第三类边界条件第三类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第一种情况，当结点第一种情况，当结点刚好着落刚好着落于边界线于边界线L上时，这还取决于边上时，这还取决于边界结点处的界结点处的外法线与网格线外法线与网格线重合，重合，22定解条件的离散化定解条件的离散化n外外法法线线与与网网格格线线
17、不不重重合合情情况况，边边界界结结点点上上的的外外向向法法向向方方向向与与水水平平夹夹角角为为，其其法法向向导导数数显显然然是是在在x和和y方方向向的的导导数数在在法向的法向的投影组合投影组合，23定解条件的离散化定解条件的离散化n第第二二种种情情况况，当当结结点点不不落落于于边边界界线线L上上时时，只只需需要要引引入入于于结结点点0相相关关的的边边界界结结点点O，点点的的外外方方向向n作作为为结结点点0处处的的“外外方方向向n”，且且近近似似地地认认为为边边界界条条件件中中给给定定的的函函数数和和均均在在O点点上上的的取取值值。这这样样，此此种种情情况况下下的的第第三三类类边边界界条条件件的
18、的离离散散格式于式相似，格式于式相似，24定解条件的离散化定解条件的离散化n第二类边界条件第二类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第第二二类类齐齐次次边边界界条条件件为为第第三三类类边边界界条条件件的的特特殊殊情情况况，即即。我们这里讨论最常见的一种情况我们这里讨论最常见的一种情况 加一层虚拟边界加一层虚拟边界加一层虚拟边界加一层虚拟边界n上面也是上面也是对称边界条件对称边界条件的离散公式的离散公式25有限差分法的求解有限差分法的求解n n综综综综上上上上所所所所述述述述，对对对对场场场场域域域域D D内内内内各各各各结结结结点点点点（包包包包括括括括所所所所有有有有场场场场域域域域内内内内
19、结结结结点点点点和和和和边边边边界界界界结结结结点点点点）逐逐逐逐一一一一列列列列出出出出对对对对应应应应的的的的差差差差分分分分计计计计算算算算格格格格式式式式，即即即即构构构构成成成成以以以以这这这这些些些些离离离离散散散散结结结结点点点点上上上上的的的的位位位位函函函函数数数数 为为为为待待待待求求求求量量量量的的的的差差差差分分分分方方方方程程程程组组组组（代代代代数数数数方方方方程程程程组组组组）。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值 n n计算步骤通常是：计算步
20、骤通常是：计算步骤通常是：计算步骤通常是：qq离散场域离散场域离散场域离散场域，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。qq离散化场方程离散化场方程离散化场方程离散化场方程，即基于差分原理的应用，对场域内场的，即基于差分原理的应用，对场域内场的，即基于差分原理的应用，对场域内场的，即基于差分原理的应用，对场域内场的偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的偏微分方程以及定解条件
21、进行差分化处理，得到方程的差分格式。差分格式。差分格式。差分格式。qq计算离散解计算离散解计算离散解计算离散解，建立的差分格式（与原定解问题对立的离，建立的差分格式（与原定解问题对立的离，建立的差分格式（与原定解问题对立的离，建立的差分格式（与原定解问题对立的离散数学模型散数学模型散数学模型散数学模型代数方程组），选用合适的代数方程组解代数方程组），选用合适的代数方程组解代数方程组），选用合适的代数方程组解代数方程组），选用合适的代数方程组解法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。法，编写相应的计
22、算程序，算出待求的结点上场值。26有限差分法的求解有限差分法的求解27有限差分法格式特点有限差分法格式特点n n仔仔仔仔细细细细分分分分析析析析离离离离散散散散的的的的差差差差分分分分方方方方程程程程组组组组，例例例例如如如如泊泊泊泊松松松松方方方方程程程程，从从从从离离离离散散散散方方方方程程程程式式式式不不不不难难难难看看看看出出出出，该该该该方方方方程程程程组组组组的的的的系系系系数数数数一一一一般般般般是是是是有有有有规规规规律律律律的的的的，且且且且方方方方程程程程都都都都很简单，每个方程的项数不多（待求量最多很简单，每个方程的项数不多（待求量最多很简单，每个方程的项数不多（待求量最
23、多很简单，每个方程的项数不多（待求量最多不超过不超过不超过不超过5 5项项项项）n n各离散结点上的方程组形式各离散结点上的方程组形式各离散结点上的方程组形式各离散结点上的方程组形式（结点顺序按坐标（结点顺序按坐标（结点顺序按坐标（结点顺序按坐标先从先从先从先从y y轴增加轴增加轴增加轴增加、再、再、再、再x x轴增加轴增加轴增加轴增加（从下到上、从左从下到上、从左从下到上、从左从下到上、从左到右，即先列后行到右，即先列后行到右，即先列后行到右，即先列后行）排列）排列）排列）排列 28有限差分法格式特点有限差分法格式特点29有限差分法格式特点有限差分法格式特点n n写成矩阵方程形式写成矩阵方程
24、形式写成矩阵方程形式写成矩阵方程形式30有限差分法格式特点有限差分法格式特点n n可以看出系数矩阵由如下特点：可以看出系数矩阵由如下特点：可以看出系数矩阵由如下特点：可以看出系数矩阵由如下特点：n n系数矩阵是系数矩阵是系数矩阵是系数矩阵是稀疏稀疏稀疏稀疏矩阵，只有少数元素不为零。矩阵，只有少数元素不为零。矩阵，只有少数元素不为零。矩阵，只有少数元素不为零。n n系数矩阵在一定边界条件下（边界与结点重合系数矩阵在一定边界条件下（边界与结点重合系数矩阵在一定边界条件下（边界与结点重合系数矩阵在一定边界条件下（边界与结点重合且场域边界类型都一样），是对称且场域边界类型都一样），是对称且场域边界类型
25、都一样），是对称且场域边界类型都一样），是对称正定矩阵正定矩阵正定矩阵正定矩阵。n n系数矩阵是的系数矩阵是的系数矩阵是的系数矩阵是的方阵方阵方阵方阵，大小为场域中离散结点的，大小为场域中离散结点的，大小为场域中离散结点的，大小为场域中离散结点的总数目总数目总数目总数目Nx*NyNx*Ny。31超松弛迭代法超松弛迭代法n n求解具有求解具有求解具有求解具有稀疏系数矩阵稀疏系数矩阵稀疏系数矩阵稀疏系数矩阵的大型差分方程组，其的大型差分方程组，其的大型差分方程组，其的大型差分方程组，其中中中中最优的就是超松弛迭代法最优的就是超松弛迭代法最优的就是超松弛迭代法最优的就是超松弛迭代法（Successi
26、ve Successive Over RelaxationOver Relaxation，SORSOR）。为了说明）。为了说明）。为了说明）。为了说明SORSOR方方方方法，首先介绍法，首先介绍法，首先介绍法，首先介绍雅可比法和高斯雅可比法和高斯雅可比法和高斯雅可比法和高斯-赛德尔法赛德尔法赛德尔法赛德尔法 n n雅可比法（雅可比法（雅可比法（雅可比法（JacobiJacobi）就是要使）就是要使）就是要使）就是要使迭代值迭代值迭代值迭代值能精确的能精确的能精确的能精确的满足满足满足满足前一次各点的电位值前一次各点的电位值前一次各点的电位值前一次各点的电位值所能表示的差分方程所能表示的差分方程
27、所能表示的差分方程所能表示的差分方程 32超松弛迭代法超松弛迭代法n n高斯高斯高斯高斯-赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针对对对对减少内存减少内存减少内存减少内存消耗，只需存储一组完整的数组。消耗，只需存储一组完整的数组。消耗，只需存储一组完整的数组。消耗，只需存储一组完整的数组。它采取的措施是对它采取的措施是对它采取的措施是对它采取的措施是对每一次迭代尽量采用最新计每一次迭代尽量采用最新计每一次迭代尽量采用最新计每一次迭代尽量采用最新计算算算算的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速
28、的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速度比雅可比法度比雅可比法度比雅可比法度比雅可比法快一倍快一倍快一倍快一倍。33超松弛迭代法超松弛迭代法n n逐次超松弛法是对高斯逐次超松弛法是对高斯逐次超松弛法是对高斯逐次超松弛法是对高斯-赛德尔法的改进，该方赛德尔法的改进，该方赛德尔法的改进，该方赛德尔法的改进，该方法的核心是法的核心是法的核心是法的核心是借助于一收敛因子借助于一收敛因子借助于一收敛因子借助于一收敛因子ww作用到高斯作用到高斯作用到高斯作用到高斯-赛赛赛赛德尔迭代德尔迭代德尔迭代德尔迭代公式。公式。公式。公式。n
29、 n当时当时当时当时ww1 1，就回到，就回到，就回到，就回到高斯高斯高斯高斯-赛德尔法赛德尔法赛德尔法赛德尔法。当。当。当。当w2w2时，时，时，时，迭代过程变得及其不稳定。只有迭代过程变得及其不稳定。只有迭代过程变得及其不稳定。只有迭代过程变得及其不稳定。只有1w21w2，才能，才能，才能，才能提高收敛速度。提高收敛速度。提高收敛速度。提高收敛速度。34超松弛迭代法超松弛迭代法n n正方形第一类边界条件时正方形第一类边界条件时正方形第一类边界条件时正方形第一类边界条件时 n n长方形第一类边界条件时长方形第一类边界条件时长方形第一类边界条件时长方形第一类边界条件时 35场强与电、磁积分量的
30、计算场强与电、磁积分量的计算n n通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各结点上结点上结点上结点上待求位函数待求位函数待求位函数待求位函数后，往往还需求场中的后，往往还需求场中的后，往往还需求场中的后，往往还需求场中的场强场强场强场强分布分布分布分布，以及，以及，以及，以及其他有关的积分特性其他有关的积分特性其他有关的积分特性其他有关的积分特性（如磁通量和（如磁通量和（如磁通量和（如磁通量和磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。磁导、电导
31、、电容等磁路及电路参数等）。磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。36场强与电、磁积分量的计算场强与电、磁积分量的计算n n无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通通通通量量量量可一般地表示为可一般地表示为可一般地表示为可一般地表示为 n n所分析的静电场中的电容所分析的静电场中的电容所分析的静电场中的电容所分析的静电场中的电容C C、恒定电流场中的、恒定电流场中的、恒定电流场中的、恒定电流场中的电导电导电导电导GG或恒定磁场中的磁导等或恒定磁场中的磁导等或恒定磁场中的磁导等或恒定
32、磁场中的磁导等电路或磁路参数电路或磁路参数电路或磁路参数电路或磁路参数P P就可按下式计算就可按下式计算就可按下式计算就可按下式计算 37典型算例分析典型算例分析 n n设长设长设长设长直接地金属槽直接地金属槽直接地金属槽直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁的横截面如图所示，其侧壁的横截面如图所示，其侧壁的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为1010。试求槽中间电位分布试求槽中间电位分布试求槽中间电位分布试求槽中间电位分布38典型算例分析典型算例分析 n n、场问题
33、分析场问题分析场问题分析场问题分析。直角坐标系，槽内电位函数。直角坐标系，槽内电位函数。直角坐标系，槽内电位函数。直角坐标系，槽内电位函数满足满足满足满足LaplaceLaplace方程方程方程方程，构成如下的，构成如下的，构成如下的，构成如下的第一类边值问第一类边值问第一类边值问第一类边值问题题题题 39典型算例分析典型算例分析 n n、离散场域离散场域离散场域离散场域。用简洁的。用简洁的。用简洁的。用简洁的正方形网格正方形网格正方形网格正方形网格对场域对场域对场域对场域D D各方向各方向各方向各方向进行等分剖分进行等分剖分进行等分剖分进行等分剖分p p，q qn n、场域内差分格式场域内差
34、分格式场域内差分格式场域内差分格式。采用。采用。采用。采用LaplaceLaplace五点差分五点差分五点差分五点差分格式格式格式格式 40典型算例分析典型算例分析 n n、超松弛迭代计算超松弛迭代计算超松弛迭代计算超松弛迭代计算。用超松弛迭代法计算差。用超松弛迭代法计算差。用超松弛迭代法计算差。用超松弛迭代法计算差分方程分方程分方程分方程 n n、边界条件。边界条件。边界条件。边界条件。本例给定为第一类边值，边界本例给定为第一类边值，边界本例给定为第一类边值，边界本例给定为第一类边值，边界条件的差分离散化应直接赋值方式条件的差分离散化应直接赋值方式条件的差分离散化应直接赋值方式条件的差分离散
35、化应直接赋值方式 41典型算例分析典型算例分析 n n、初值初值初值初值。取零初值。取零初值。取零初值。取零初值n n、收敛条件收敛条件收敛条件收敛条件指标。规定当网格内点的相邻两指标。规定当网格内点的相邻两指标。规定当网格内点的相邻两指标。规定当网格内点的相邻两次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精度时，终止迭代。度时，终止迭代。度时，终止迭代。度时，终止迭代。42典型算例分析典型算例分析 n n计算流程计算流程计算流程计算流程43编写高斯赛德尔迭代计算函数编写高斯赛德尔迭代计算函数n n二维数组，区域大小，收敛因子二维数组，区域大小，收敛因子二维数组，区域大小，收敛因子二维数组，区域大小，收敛因子n nvoid CmpGuassSeuder(double*phi,int void CmpGuassSeuder(double*phi,int nx,intnx,intny,double ratio,double eps)ny,double ratio,double eps)