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1、专题一专题一 探索规律问题探索规律问题 这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生考查学生的归纳、概括、类比能力的归纳、概括、类比能力.解决这类问题的一般方法是：解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手从特殊情形入手探探索发现规律索发现规律猜
2、想结论猜想结论验证验证.”.”一、数列规律一、数列规律 这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组数这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组数的共性规律，写出一个一般性的结论的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关键解决这类题目的关键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化部分是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化部分与序号间的关系与序号间的关系.【分析】【分析】观察不难发现，被开方数是从观察不难发现，被开方数是从1 1开始的连续自然数，开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从每一行的数据的个数是从2 2开始的连续偶数，求出开始的连续偶数，求出n-1n-1
3、行的数据行的数据的个数，再加上的个数，再加上n-2n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可方根即可.【解答】【解答】前（前（n-1n-1）行的数据的个数为）行的数据的个数为2+4+6+22+4+6+2（n-1n-1）=n n（n-1n-1），），所以，第所以，第n n（n n是整数，且是整数，且n3n3）行从左到右数第）行从左到右数第n-2n-2个数的被个数的被开方数是开方数是n n（n-1n-1）+n-2=n+n-2=n2 2-2-2，所以，第所以，第n n（n n是整数，且是整数，且n3n3）行从左到右数第）行从左到右数第n-2n-2个数是个数
4、是【答案】【答案】【点评】【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（出前（n-1n-1）行的数据的个数是解题的关键）行的数据的个数是解题的关键.1.1.（20152015广东东莞）观察下列一组数：广东东莞）观察下列一组数：根据这组数的排列规律，可推出第根据这组数的排列规律，可推出第1010个数是个数是_._.2.2.（20152015甘肃武威）古希腊数学家把数甘肃武威）古希腊数学家把数1 1，3 3，6 6，1010，1515，2121，叫作三角形数，其中，叫作三角形数，其中1 1是第是第1 1个三角形数，个三角形数，3 3是第是第2
5、 2个三个三角形数，角形数，6 6是第是第3 3个三角形数，个三角形数，依此类推，那么第，依此类推，那么第9 9个三角个三角形数是形数是_，2 0162 016是第是第_个三角形数个三角形数.454563633.3.（20152015江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数若正整数565565位于第位于第a a行，第行，第b b列，则列，则a+b=_.a+b=_.147147二、数式规律二、数式规律 这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式纳出这组数
6、式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这解答这类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.（20142014安徽）观察下列关于自然数的等式：安徽）观察下列关于自然数的等式：3 32 2-41-412 2=5 =5 5 52 2-42-422 2=9 =9 7 72 2-43-432 2=13 =13 根据上述规律解决下列问题：根据上述规律解决下列问题：（1 1）完成第四个等式：）完成第四个等式：9 92 2-4()-4()2 2=
7、()=()；（2 2）写出你猜想的第）写出你猜想的第n n个等式（用含个等式（用含n n的式子表示），并验证其的式子表示），并验证其正确性正确性.【分析】【分析】由由三个等式可得，被减数是从三个等式可得，被减数是从3 3开始连续奇开始连续奇数的平方，减数是从数的平方，减数是从1 1开始连续自然数的平方的开始连续自然数的平方的4 4倍，计算的倍，计算的结果是被减数的底数的结果是被减数的底数的2 2倍减倍减1 1，由此规律得出答案即可，由此规律得出答案即可.【解答】【解答】（1 1）3 32 2-41-412 2=5 =5 5 52 2-42-422 2=9 =9 7 72 2-43-432 2=
8、13 =13 所以第四个等式：所以第四个等式：9 92 2-44-442 2=17.=17.（2 2）第）第n n个等式为：（个等式为：（2n+12n+1）2 2-4n-4n2 2=2=2（2n+12n+1）-1-1，左边左边=（2n+12n+1）2 2-4n-4n2 2=4n=4n2 2+4n+1-4n+4n+1-4n2 2=4n+1=4n+1，右边右边=2=2（2n+12n+1）-1=4n+2-1=4n+1.-1=4n+2-1=4n+1.左边左边=右边右边.（2n+12n+1）2 2-4n-4n2 2=2=2（2n+12n+1）-1.-1.【点评】【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之
9、间的运算规此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题律，利用规律解决问题.101020162016-2520-2520三、图形规律三、图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化趋势，解决此类问题时应先观察图形的变化趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探
10、索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值数值.（20152015贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1 1个图案由个图案由4 4个基础图形组成，第个基础图形组成，第2 2个图案由个图案由7 7个基础图形组成，个基础图形组成，第，第n n（n n是正整数）个图案中的基础图形个数为是正整数）个图案中的基础图形个数为_（用含（用含n n的式子表示）的式子表示）.【解答】【解答】观察图形可
11、知，观察图形可知，第第1 1个图案共有基础图形个图案共有基础图形31+1=431+1=4个；个；第第2 2个图案共有基础图形个图案共有基础图形32+1=732+1=7个；个；第第3 3个图案共有基础图形个图案共有基础图形33+1=1033+1=10个；个；则第则第n n个图案共有基础图形个图案共有基础图形3n+1=3n+13n+1=3n+1个个.【答案】【答案】3n+13n+1【点评】【点评】此题考查了图形的规律性此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着简单图形入手，抓住随着“编号编号”或或“序号序号”增加时，后一增加时，后一个图形与前一个图形相比
12、，在数量上增加（或倍数）情况的个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.（20152015浙江湖州）已知正方形浙江湖州）已知正方形ABCABC1 1D D1 1的边长为的边长为1 1，延，延长长C C1 1D D1 1到到A A1 1，以，以A A1 1C C1 1为边向右作正方形为边向右作正方形A A1 1C C1 1C C2 2D D2 2，延长，延长C C2 2D D2 2到到A A2 2，以，以A A2 2C C2 2为边向右作正方形为边向右作正方形A A2 2C C2 2C C
13、3 3D D3 3（如图所示），以此类推（如图所示），以此类推，若，若A A1 1C C1 1=2=2，且点，且点A A，D D2 2，D D3 3，D D1010都在同一直线上，则都在同一直线上，则正方形正方形A A9 9C C9 9C C1010D D1010的边长是的边长是_._.【分析】【分析】设设ADAD1010与与A A1 1C C1 1的交点为的交点为M M，构造相似三角形，构造相似三角形ADAD1 1MDMD2 2A A1 1M M，从而求得，从而求得 然后利用然后利用AA1 1MDMD2 2AA2 2D D2 2D D3 3，从而求得，从而求得A A2 2C C2 2的长，的
14、长，以此类推，求得，以此类推，求得A A9 9C C9 9的长的长.【解答】【解答】设设ADAD1010与与A A1 1C C1 1的交点为的交点为M.M.四边形都是正方形，四边形都是正方形，ADAD1 1AA1 1D D2 2，ADAD1 1MDMD2 2A A1 1M M，又又AA1 1D D1 1=A=A1 1C C1 1-AB=2-1=1-AB=2-1=1，同理：同理：AA1 1MDMD2 2AA2 2D D2 2D D3 3，设设A A2 2C C2 2=x=x，则，则解得解得x=3.x=3.同理可求同理可求由此规律可得由此规律可得 即正方形即正方形A A9 9C C9 9C C10
15、10D D1010的边长是的边长是【答案】【答案】6.6.（20142014湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第第1 1个图中共有个图中共有4 4个点，第个点，第2 2个图形中共有个图形中共有1010个点，第个点，第3 3个图形个图形共有共有1919个点，个点，按此规律第，按此规律第5 5个图形中共有点的个数个图形中共有点的个数()()A.31 B.46 C.51 D.66A.31 B.46 C.51 D.662n+12n+1四、点的坐标变化规律四、点的坐标变化规律 这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的这类问题一般与直角坐标系相联系
16、，结合函数、图形的变化，进而引起点的坐标变化变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目解答这类问题，一般要从题目中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化，中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化，进而推导要求的点的坐标进而推导要求的点的坐标.如图，抛物线如图，抛物线y=xy=x2 2在第一象限内经过的整数点（横坐在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为标、纵坐标都为整数的点）依次为A A1 1，A A2 2，A A3 3AAn n，.将抛将抛物线物线y=xy=x2 2沿直线沿直线L L：y=xy=x向上平移，得一系列抛物线，且满足向上平移，得
17、一系列抛物线，且满足下列条件：下列条件：抛物线的顶点抛物线的顶点M M1 1，M M2 2，M M3 3，MMn n，都在直线都在直线L L：y=xy=x上；上；抛物线依次经过点抛物线依次经过点A A1 1，A A2 2，A A3 3AAn n，.则顶点则顶点M M2 2 016016的坐标为（的坐标为（_，_）.【分析】【分析】根据抛物线根据抛物线y=xy=x2 2与抛物线与抛物线y yn n=（x-ax-an n）2 2+a+an n相交于相交于A An n，可发现规律，根据规律，可得答案，可发现规律，根据规律，可得答案.【解答】【解答】M M1 1（a a1 1，a a1 1）是抛物线）
18、是抛物线y y1 1=（x-ax-a1 1）2 2+a+a1 1的顶点，的顶点，抛物线抛物线y=xy=x2 2与抛物线与抛物线y y1 1=（x-ax-a1 1）2 2+a+a1 1相交于相交于A A1 1，得得x x2 2=（x-ax-a1 1）2 2+a+a1 1，即，即xx为整数点，为整数点，aa1 1=1=1，MM1 1（1 1，1 1）.M M2 2（a a2 2，a a2 2）是抛物线）是抛物线y y2 2=（x-ax-a2 2）2 2+a+a2 2=x=x2 2-2a-2a2 2x+ax+a2 22 2+a+a2 2顶点，顶点，抛物线抛物线y=xy=x2 2与与y y2 2相交于
19、相交于A A2 2，M M3 3（a a3 3，a a3 3）是抛物线）是抛物线抛物线抛物线y=xy=x2 2与与y y3 3相交于相交于A A3 3，xx为整数点，为整数点，aa3 3=5=5，MM3 3（5 5，5 5），），由此规律可得由此规律可得a an n=n2-1=2n-1.a=n2-1=2n-1.a2 2 016016=2 0162-1=4 031.=2 0162-1=4 031.【答案】【答案】（4 031,4 0314 031,4 031）8.8.（20142014湖北孝感）正方形湖北孝感）正方形A A1 1B B1 1C C1 1O O，A A2 2B B2 2C C2 2
20、C C1 1，A A3 3B B3 3C C3 3C C2 2，按如图的方式放置，点按如图的方式放置，点A A1 1，A A2 2，A A3 3，和点和点C C1 1，C C2 2，C C3 3，分分别在直线别在直线y=x+1y=x+1和和x x轴上，则点轴上，则点B B6 6的坐标是的坐标是_._.（6363，3232）9.9.（20142014泰安）如图，在平面直角坐标系中，将泰安）如图，在平面直角坐标系中，将ABOABO绕点绕点A A顺时针旋转到顺时针旋转到ABAB1 1C C1 1的位置，点的位置，点B B，O O分别落在点分别落在点B B1 1，C C1 1处，点处，点B B1 1在在x x轴上，再将轴上，再将ABAB1 1C C1 1绕点绕点B B1 1顺时针旋转到顺时针旋转到AA1 1B B1 1C C2 2的位置，的位置，点点C C2 2在在x x轴上，将轴上，将AA1 1B B1 1C C2 2绕点绕点C C2 2顺时针旋转到顺时针旋转到AA2 2B B2 2C C2 2的位置，的位置，点点A A2 2在在x x轴上，以此进行下去轴上，以此进行下去.若点若点A A（，0 0），），B B（0 0，4 4），），则点则点B B2 2 016016的横坐标为的横坐标为_._.10 08010 080