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1、红河学院自动化系第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 引言引言2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型2.3 传递函数与控制系统的复域数学模型传递函数与控制系统的复域数学模型2.4 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2.5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图2.6 控制系统的传递函数控制系统的传递函数红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 1)当当 时时 即：即：2)求求（即（即从从到到所需时间所需时间);当当 ;当当则则（两边取对数）（两边取对数）3)求求 阶跃响应第一次达到终阶跃响应第一次达到终值的值的5050所需的时间所需的时间阶跃
2、响应到达并保持阶跃响应到达并保持在终值在终值 5误差带内误差带内所需的最短时间所需的最短时间稳定转速稳定转速（伏）（伏）弧度弧度/秒秒1.2s达到稳定转达到稳定转速速50%红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-1 试试建立建立图图2-27所示各系所示各系统统的微分方程。其中外力的微分方程。其中外力F(t)，位移，位移x(t)和和电压电压ur(t)为输为输入量；位移入量；位移y(t)和和电压电压uc(t)为输为输出量；出量；R（电电阻），阻），f（阻尼系数），（阻尼系数），k（弹弹性系数），性系数），c（电电容）和容）和m（质质量）均量）均为为常数。常数。解解（a）以平衡状）以平衡状态为
3、态为基点，基点，对质块对质块m进进行受力分析（不再考行受力分析（不再考虑虑重力影重力影响），如响），如图图解解2-1(a)所示。根据牛所示。根据牛顿顿定理可写出定理可写出 整理得整理得:红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理（b）如）如图图解解2-1(b)所示，取所示，取A,B两点分两点分别进别进行受力分析。行受力分析。对对A点有点有 （1）（2）对对B点有点有联联立式（立式（1）、（）、（2）可得：）可得：(c)应应用复数阻抗概念可写出用复数阻抗概念可写出 微分方程微分方程为为:红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 (d)由由图图解解2-1（d）可写出）可写出 联联立式（立式（1）、（
4、）、（2）、（）、（3），消去中），消去中间变间变量量和和微分方程微分方程为为 （3）（2）（1），可得：，可得：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-3 试证明图试证明图2-28中所示的力学系统中所示的力学系统(a)和电和电路系统路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学是相似系统（即有相同形式的数学模型）。模型）。解：（解：（a）取）取A、B两点分别进行受力分析，如图两点分别进行受力分析，如图对对A点有：点有：对对B点有：点有：分分别别取拉氏取拉氏变换变换，消去中，消去中间变间变量量y1,整理后得整理后得:(b)由图可写出由图可写出整理得整理得:比比较较两系两系统统的的传递传递函数
5、，如果函数，如果设设则则两系两系统统的的传递传递函数相同，所以两系函数相同，所以两系统统是相似的。是相似的。红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-4 假设某容器的液位高度假设某容器的液位高度h与液体流入量与液体流入量Qi满满足方程足方程式中式中S为液位容器的横截面积，为液位容器的横截面积，为常数。若为常数。若h与与Qi在其工作点在其工作点 附近做微量变附近做微量变化，试导出化，试导出h与与 Qi的线性化方程。的线性化方程。解：将解：将 在在h0 处展开为泰勒级数并取一次近似处展开为泰勒级数并取一次近似代入原方程可得代入原方程可得在平衡工作点处系统满足在平衡工作点处系统满足（1）（2）（
6、3）式（式（2），（），（3）相减可得）相减可得h的线性化方程的线性化方程红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-5 试试求求图图2-29所示各信号所示各信号的象函数的象函数解解（a）（b）（c）红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-6 求下列各拉氏求下列各拉氏变换变换式的原函数。式的原函数。(2)(3)(1)解解 (1)(2)原式原式 (3)原式原式 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-7 已知在零初始条件下，系已知在零初始条件下，系统统的的单单位位阶跃阶跃响响应为应为，试试求系求系统统的的传递传递函数和脉冲响函数和脉冲响应应。解解 单单位位阶跃输阶跃输入入时时，有，
7、有，依，依题题意意 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-7 已知系已知系统传递统传递函数函数，且初始条件，且初始条件为为，试试求系求系统统在在输输入入作用下的作用下的输输出出解解 系系统统的微分方程的微分方程为为:考考虑虑初始条件，初始条件，对对式（式（1）进进行拉氏行拉氏变换变换，得，得 （1）（2）红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理(3)重极点重极点:A(s)(s p1)r(s pr+1)(s pn)F(s)=有有r个重个重极点极点分解为分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+s-p1Ar dr-1F(s)(s-p1)rAr=
8、s=p11 (r-1)!dsr-1)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-8 求求图图2-30所示各有源网所示各有源网络络的的传递传递函数函数解解(a)根据运算放大器根据运算放大器“虚地虚地”概念，可写出概念，可写出:(b)(c)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-9 某位置随某位置随动动系系统统原理框原理框图图如如图图2-31所示，已知所示，已知电电位器最大工作角度位器最大工作角度Qm3300，功率放大器放大系数功率放大器放大系数为为K3（1）分）分别别求出求出电电位器的位器的传递传递函数函数，第一，第一级级和第二和第二级级放大器的放大系数放大器的放大系数（2）画出系）画出
9、系统统的的结结构构图图；（3）求系）求系统统的的闭环传递闭环传递函数函数。K0K1和和K2解解(1)电电位器的位器的传递传递函数函数 根据运算放大器的特性，可分根据运算放大器的特性，可分别别写出两写出两级级放大器的放大系数放大器的放大系数为为：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 (2)可画出系可画出系统结统结构如构如图图解解2-9所示：所示：(3)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-11 已知系已知系统统方程方程组组如下：如下：试绘试绘制系制系统结统结构构图图，并求，并求闭环传递闭环传递函数函数。解解 系系统结统结构构图图如如图图解解2-11所示。所示。利用利用结结构构图图等效
10、化等效化简简或梅或梅逊逊增益公式可求出系增益公式可求出系统统的的闭环传递闭环传递函数函数为为红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-12 试试用用结结构构图图等效化等效化简简求求图图2-32所示各系所示各系统统的的传递传递函数函数。解解（a）所以：所以：解（解（b）所以：所以：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 解（解（c）所以：所以：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 解（解（d）所以：所以：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 解（解（e）所以：所以：红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-13 已知控制系已知控制系统结统结构构图图如如图图2-34所示，求所示，
11、求输输入入时时系系统统的的输输出出又有又有 则则 即即 。解：解：由由图图可得可得不相等实数极点，待定系数：不相等实数极点，待定系数：其中：其中：指数函数指数函数红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 2-17 试试用梅用梅逊逊增益公式求增益公式求图图2-37中各系中各系统统的的闭环传递闭环传递函数。函数。解解（a）图图中有中有1条前向通路，条前向通路，4个回路个回路则则有有 （b）图图中有中有2条前向通路，条前向通路，3个回路，有个回路，有1对对互不接触回路互不接触回路 则则有有 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理（c）图图中有中有4条前向通路，条前向通路，5个回路个回路则则有有 则
12、则有有 （d）图图中有中有2条前向通路，条前向通路，5个回路个回路红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 则则有有 （e）图图中有中有2条前向通路，条前向通路，3个回路，有个回路，有1对对互不接触互不接触回路回路2-18 已知系已知系统统的的结结构构图图如如图图2-38所示，所示，图图中中为输为输入信号，入信号，为为干干扰扰信号，信号，试试求求传递传递函数函数，。红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 解解（a）令）令，求，求 则则有有 令令，求，求 则则有有 。图图中有中有2条前向通路条前向通路,3个回路，有个回路，有1对对互不接触回路。互不接触回路。有。有3条前向通路，回路不条前向通路
13、，回路不变变。红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理（b）令）令，求，求 则则有有 令令，求，求。图图中有中有1条前向通路，回路不条前向通路，回路不变变。则则有有 令令，求，求 则则有有 。图图中有中有1条前向通路，条前向通路，1个回路。个回路。图图中有中有1条前向通路，回路不条前向通路，回路不变变。红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理（c）令）令，求，求。图图中有中有3条前向通路，条前向通路，2个回路。个回路。则则有有 令令，求，求。有。有1条前向通路，回路不条前向通路，回路不变变。则则有有 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 一、一、20分分 控制系统信号流图如下图所示。控制系
14、统信号流图如下图所示。(1).求系统的传递函数求系统的传递函数(2).若若，为使，为使保持不变，应该如何修改保持不变，应该如何修改？昆明理工大学昆明理工大学20082008年硕士研究生招生入学考试试题年硕士研究生招生入学考试试题(A(A卷卷)一、一、1616分分 已知控制系统结构如图所示已知控制系统结构如图所示,求传递函数求传递函数。昆明理工大学昆明理工大学2007年硕士生招生入学考试试题年硕士生招生入学考试试题(A卷卷)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 三、已知系统结构图如图所示，求系统传递函数三、已知系统结构图如图所示，求系统传递函数（研究型硕士考生（研究型硕士考生10分，专业型硕
15、士考生分，专业型硕士考生15分）分）昆明理工大学昆明理工大学20102010年硕士研究生招生入学考试试题年硕士研究生招生入学考试试题(A(A卷卷)题题2 152 15分分 试用结构图等效化简法求题试用结构图等效化简法求题2 2图所示系统的传递函数图所示系统的传递函数。昆明理工大学昆明理工大学20092009年硕士研究生招生入学考试试题年硕士研究生招生入学考试试题(A(A卷卷)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 系统的信号流图如图所示，求传递函数系统的信号流图如图所示，求传递函数和和 上海交通大学上海交通大学2005年硕士研究生入学考试试题（本题年硕士研究生入学考试试题（本题10分）分）系统的信号流图如图所示，求传递函数系统的信号流图如图所示，求传递函数和和 上海交通大学上海交通大学2004年硕士研究生入学考试试题（本题年硕士研究生入学考试试题（本题10分）分）