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1、3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系复习复习复习复习 二元函数二元函数二元函数二元函数有有有有两个两个两个两个有有有有四个四个四个四个如果如果如果如果则则则则一阶偏导数：一阶偏导数：一阶偏导数：一阶偏导数：二阶偏导数：二阶偏导数：二阶偏导数：二阶偏导数：二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数连续连续连续连续，定义定义定义定义3.3 3.3 如果如果如果如果在区域在区域在区域在区域D D内内内内偏导数偏导数偏导数偏导数,且满足且满足且满足且满足则称则称则称则称为区域为区域为区域为区域D D内内内内具有具有具有具有二阶二阶二阶二阶连续连续连续连续的的的的调和调和调和调和函数函
2、数函数函数二元函数二元函数二元函数二元函数LaplaceLaplace方程方程方程方程如果如果如果如果与与与与都是都是都是都是D D内内内内则称则称则称则称为为为为的的的的共轭共轭共轭共轭定义定义定义定义3.4 3.4 且满足且满足且满足且满足的调和函数，的调和函数，的调和函数，的调和函数，调和函数，调和函数，调和函数，调和函数，1P54P54定理定理定理定理3.133.13在区域在区域在区域在区域D D内内内内 解析解析解析解析在在在在D D内内内内连续连续连续连续，且满足且满足且满足且满足解析，解析，解析，解析，连续连续连续连续.是是是是D D内内内内 的的的的调和调和调和调和函数函数函数
3、函数也是也是也是也是D D内内内内的的的的调和调和调和调和函数函数函数函数是是是是实实实实部部部部的的的的共轭共轭共轭共轭虚虚虚虚部部部部调和函数。调和函数。调和函数。调和函数。在区域在区域在区域在区域D D内内内内 解析解析解析解析26060页页页页1212 设设设设是是是是D D内内内内是否是是否是是否是是否是D D内内内内是是是是因为因为因为因为是是是是D D内内内内所以所以所以所以(1)(1)的二阶偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数可微，可微，可微，可微，(2)(2)由由由由得到得到得到得到由由由由得到得到得到得到是是是是D D内内内内同样可证：同样可证：同样可证：同样可证：若
4、若若若是是是是D D内内内内则则则则是是是是D D内内内内的的的的调和调和调和调和函数，函数，函数，函数，的的的的调和调和调和调和函数，函数，函数，函数，的的的的调和调和调和调和函数，函数，函数，函数，的的的的解析解析解析解析函数？函数？函数？函数？的的的的解析解析解析解析函数。函数。函数。函数。的的的的解析解析解析解析函数。函数。函数。函数。连续，连续，连续，连续，3例例例例2 2证明：证明：证明：证明：一对共轭一对共轭一对共轭一对共轭也是也是也是也是调和调和调和调和函数函数函数函数证：证：证：证：设设设设为为为为的的的的共轭共轭共轭共轭则则则则是区域是区域是区域是区域D D内内内内是区域是
5、区域是区域是区域D D内内内内是是是是调和调和调和调和函数，函数，函数，函数，是是是是调和调和调和调和函数函数函数函数.6060页页页页14.14.设设设设是区域是区域是区域是区域D D内内内内证明：证明：证明：证明：也是也是也是也是解析解析解析解析函数，函数，函数，函数，证：证：证：证：由由由由解析得到解析得到解析得到解析得到可微，可微，可微，可微，且且且且因此因此因此因此可微，可微，可微，可微，且且且且解析解析解析解析是是是是的的的的共轭共轭共轭共轭的的的的解析解析解析解析函数函数函数函数在区域在区域在区域在区域D D内内内内的的的的解析解析解析解析函数函数函数函数的的的的解析解析解析解析函数函数函数函数调和函数调和函数调和函数调和函数调和调和调和调和函数函数函数函数的乘积的乘积的乘积的乘积调和函数，调和函数，调和函数，调和函数，4例例4 设设求求p的值，使的值，使为为调和调和函数，函数，并求出解析函数并求出解析函数解解5例例5求证求证为为调和调和函数，函数，求出解析函数求出解析函数证明证明为为调和调和函数，函数，6例例6 设设为为调和调和函数，函数，求出解析函数求出解析函数解解7例例7 设设为为调和调和函数，函数，求出解析函数求出解析函数解解8例例8设设为为调和调和函数，函数，求出解析函数求出解析函数解解9