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1、7.8小结小结:解解:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.通解通解.求求特征根特征根:反之反之,若知道一个二阶方程有通解若知道一个二阶方程有通解或有特解或有特解:则特征方程的根为则特征方程的根为:若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:将不同根对应的项加在一起得原方程通解将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开系数要区分开).7.9
2、常系数非齐次线性微分方程 一、一、二、二、第七章第七章 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法一、一、为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m
3、次多项式次多项式.Q(x)为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解例例1.的一个特解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得
4、得于是所求特解为于是所求特解为例例2.的通解的通解.解解:本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为例例3.求解定解问题求解定解问题解解:本题本题特征方程为特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得故故故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为原方程通解为原方程通解为由初始条件得由初始条件得于是所求解为于是所求解为解得解得对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k
5、重根重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.二、二、例例4.的一个特解的一个特解.解解:本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数比较系数,得得于是求得一个特解于是求得一个特解例例5.的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程:所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例6.解解:(1)特征方程特征方程有二重根有二重根
6、所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(2)特征方程特征方程有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结 为特征方程的为特征方程的 k(0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k(0,1)重根重根,则设特解为则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提示提示:1.(填空填空)设设2.求微分方程求微分方程的通解的通解 (其中其中
7、为为实数实数).解解:特征方程特征方程特征根特征根:对应齐次方程通解对应齐次方程通解:时时,代入原方程得代入原方程得故原故原方程通解为方程通解为时时,代入原方程得代入原方程得故原故原方程通解为方程通解为3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应齐次方程通解:原方程通解为原方程通解为此题若为填空题上述做法是不可取的此题若为填空题上述做法是不可取的!4.的通解的通解.解解:对应齐次方程为对应齐次方程为通解通解:令令代入非齐次方程后化简得代入非齐次
8、方程后化简得可求得通解可求得通解:故原方程通解为故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)求求|作业作业P347 1(1),(5),(6),(10);2(2),(4);*7.10 欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 第七章第七章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则则计算繁计算繁!则由则由上述计算可知上述计算可知:用用归纳法可证归纳法可证 于是欧拉方程于是欧拉方程 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:+例例1.解解:则原方程化为则原方程化为亦即亦即其根其根则则对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为特征方程特征方程 的通解为的通解为换回原变量换回原变量,得原方程通解得原方程通解为为设特解设特解:代入代入确定系数确定系数,得得例例2.解解:将方程化为将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化为则方程化为即即特征根特征根:设特解设特解:代入代入 解得解得 A=1,所求所求通解为通解为 例例3.解解:则方程化为则方程化为即即特征根特征根:所求所求通解为通解为(04考研考研,填空填空)的通解的通解()