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1、第三章第三章 光学谐振腔光学谐振腔第三章第三章 光学谐振腔光学谐振腔光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它的主要功能有两个：的主要功能有两个：提供光学正反馈；提供光学正反馈；对产生的激光模式进行控制；对产生的激光模式进行控制；研究光学谐振腔的主要理论包括：研究光学谐振腔的主要理论包括：几何光学理论；几何光学理论；波动光学理论；波动光学理论；菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分；基尔霍夫衍射积分；3.1光学谐振腔的稳定性光学谐振腔的稳定性光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的稳定性条件光学谐振腔的稳定性条件当光线在周期性透镜波导中传播而不溢出波导之外
2、，称为稳定的透镜当光线在周期性透镜波导中传播而不溢出波导之外，称为稳定的透镜波导；波导；一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光腔为稳定腔。腔为稳定腔。透镜波导的稳定性条件为：透镜波导的稳定性条件为：代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：引入引入g参数后可以将上式写为：参数后可以将上式写为：此式为共轴球面腔的稳定性条件此式为共轴球面腔的稳定性条件反射镜的凹面向
3、着腔内时，反射镜的凹面向着腔内时，R取取正值，凸面向着腔内时，正值，凸面向着腔内时，R取负值。取负值。光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里-珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为F-P腔；腔；Maiman的第一台激光器采的第一台激光器采用的就是此腔；用的就是此腔；此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：侧面无光学边界；侧面无光学边界；轴向尺寸远
4、大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸轴向尺寸远大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸(反射镜尺寸反射镜尺寸)；具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由开腔内插入光学元件的复合腔；开腔内插入光学元件的复合腔；对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件 时，时，称为稳定腔；称为稳定腔；当当 时，称为非稳腔；时，称为非稳腔；当当 时，称为临界腔；时，称为临界腔；光学谐振腔的构成与
5、分类光学谐振腔的构成与分类常见开腔的构成及分类：常见开腔的构成及分类：1、平行平面腔：、平行平面腔：平行平面腔属于临界腔。平行平面腔属于临界腔。2、双凹腔：、双凹腔：由共轴双凹面镜构成的光腔，由共轴双凹面镜构成的光腔，R10,R20当当R1d,R2d时，有时，有则则 此腔为稳定腔；此腔为稳定腔；当当R1d且且R2d，此腔也为稳定腔；，此腔也为稳定腔；当当R1=R2=d时，构成对称共焦腔，根据稳定性条时，构成对称共焦腔，根据稳定性条件可以得到件可以得到g1=g2=1，该腔为临界腔；，该腔为临界腔；当满足条件当满足条件R1+R2=d时，构成实共心腔，根据稳时，构成实共心腔，根据稳定性条件可以得到定
6、性条件可以得到g1g2=1，因此也是临界腔；，因此也是临界腔；其他参数的双凹腔都是非稳腔；其他参数的双凹腔都是非稳腔；光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类平面、凹面反射镜腔平面、凹面反射镜腔 由一个平面反射镜和一个凹面反射镜构成由一个平面反射镜和一个凹面反射镜构成的光腔，的光腔，R20；当当R2d时，求得时，求得0g1g21，构成稳定腔；，构成稳定腔；当当R2=d时，构成半共焦腔，时，构成半共焦腔，g1g2=0，构成，构成临界腔；临界腔；当当R2d时，时，g1g20，构成非稳腔；，构成非稳腔；凹凸腔凹凸腔由一个凹面反射镜，一个凸面反射镜构成由一个凹面反射镜，一个凸面反射镜构成的光腔，的
7、光腔，R10；如果要求满足稳定性条件，可以求出：如果要求满足稳定性条件，可以求出：光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的构成与分类平凸腔平凸腔由一个平面反射镜和一个凸面由一个平面反射镜和一个凸面反射镜构成的光腔，反射镜构成的光腔，R21，故所有的平，故所有的平凸腔都是非稳腔。凸腔都是非稳腔。双凸腔双凸腔由两个凸面反射镜构成的光腔，由两个凸面反射镜构成的光腔，R10,R21，故所有的双，故所有的双凸腔都是非稳腔。凸腔都是非稳腔。光学谐振腔的作用光学谐振腔的作用提供光学正反馈作用提供光学正反馈作用光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时,除了由腔内除了由腔内损耗和通
8、过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少损耗和通过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外外,还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经过受激还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经过受激活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。决定光学反馈的因素决定光学反馈的因素组成腔的两个反射镜面的反射率组成腔的两个反射镜面的反射率;反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；对振荡光束参数进行控制对振荡光束参数进行控制有效地控制腔内实际振荡的模式数目；有效地控制腔内实际振荡的模式数目；可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率
9、及光可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光束发散角等；束发散角等；可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。光学谐振腔的作用光学谐振腔的作用对光学谐振腔的评价标准对光学谐振腔的评价标准光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反馈，达到预期输出；馈，达到预期输出；应具有良好的激光模式鉴别能力；应具有良好的激光模式鉴别能力；光学谐振腔的选择原则光学谐振腔的选择原则根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。“稳定稳定”与与“非稳定非稳
10、定”指的是什么？指的是什么？光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性常常用稳区图来表示共轴球面腔的稳定条件，以光腔的两个反射面的g参数为坐标轴绘制出的图为稳区图：图中空白部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中阴影区为不稳定区；在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性稳定性简单判别法稳定性简单判别法若一个反射面的曲率中心若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个与其顶点的连线与第二个反射面的曲率中心或反射反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，则面本身二者之一相交，则为稳定腔
11、；为稳定腔；若和两者同时相交或者同若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔；时不相交，则为非稳腔；若有两个中心重合，则为若有两个中心重合，则为临界腔；临界腔；光学谐振腔稳定性判别性光学谐振腔稳定性判别性稳定性判断稳定性判断圆法圆法分别以两个反射镜的曲率半径分别以两个反射镜的曲率半径为直径，圆心在轴线上，作反为直径，圆心在轴线上，作反射镜的内切圆，该圆称为射镜的内切圆，该圆称为圆；圆；若两个圆有两个交点，则为稳若两个圆有两个交点，则为稳定腔；定腔；若没有交点，则为非稳腔；若没有交点，则为非稳腔；若只有一个交点或者完全重合，若只有一个交点或者完全重合，则为临界腔；则为临界腔；3.2光学谐振腔的模
12、式光学谐振腔的模式平平腔的驻波平平腔的驻波均匀平面波近似均匀平面波近似一般的开放式光学谐振腔都满足条件：一般的开放式光学谐振腔都满足条件：在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提供一个粗略但是形象的描述；供一个粗略但是形象的描述；严格的理论证明，只要满足条件严格的理论证明，只要满足条件 ，则腔，则腔内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射
13、损耗的大小。自由空间中的驻波自由空间中的驻波沿沿z方向传播的平面波可以表示为：方向传播的平面波可以表示为：沿沿-z方向传播的平面波为：方向传播的平面波为：发生重叠时的电磁场分布为：发生重叠时的电磁场分布为：该叠加的场分布的振幅在沿该叠加的场分布的振幅在沿z方向上有一个余弦分布。方向上有一个余弦分布。在在z点处的振幅为点处的振幅为当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位置为波腹；置为波腹；当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位置为波节；置为波节；驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。平平腔的驻波平平腔的驻波平行平面腔中的
14、驻波平行平面腔中的驻波当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，相位相位应与初始出发时相差应与初始出发时相差2的整数倍。的整数倍。以以表示往返一周后的相位差：表示往返一周后的相位差：其中的其中的q q为任意正整数，将任意正整数，将满足上式的波足上式的波长以以 来来标记，则有：有：上式意味着一定上式意味着一
15、定长度的度的谐振腔只能振腔只能对一定一定频率的光波形成正反率的光波形成正反馈，为腔的腔的谐振振频率，同率，同时表明腔内的表明腔内的谐振振频率是分立的。率是分立的。平平腔的驻波平平腔的驻波当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，这是腔内驻波的特征。这是腔内驻波的特征。当腔内为均匀的折射率为当腔内为均匀的折射率为 的物质时有：的物质时有：其中其中L为腔的几何长度，则为腔的几何长度，则 ，其中的其中的 是物质中的谐振波长。是物质中的谐振波长。当腔内物质为分段均匀，则有：当腔内物质为分段均匀，则有：当物质沿轴线分布不均匀时有：当物质沿轴线分布
16、不均匀时有：光学谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模将腔内稳定存在的、由整数将腔内稳定存在的、由整数q表征的光波纵向分布表征的光波纵向分布称为腔的称为腔的纵模纵模(Longitudinal mode)。在简化模。在简化模型中，型中，q单值的决定模的谐振频率。单值的决定模的谐振频率。腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：对于腔内是均匀介质的谐振腔对于腔内是均匀介质的谐振腔 则有：则有：光学谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模例：例：对于对于L=10cm的气体激光器，的气体激光器，=1=1，则有，则有 ；对于对于L=100cmL=100cm的气体激光器，的气体激光器，
17、；对于对于L=10cmL=10cm，=1.76=1.76的固体激光器，的固体激光器，；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，它工作在，它工作在极高的谐波上，既极高的谐波上，既q q是一个很大的整数。是一个很大的整数。例如例如L=100cmL=100cm，=632.8nm=632.8nm的的He-NeHe-Ne激光器：激光器：腔内的多纵模振荡腔内的多纵模振荡某个纵模某个纵模
18、q q能够在腔内存在必须满足以下条件：能够在腔内存在必须满足以下条件：满足腔内谐振频率条件：满足腔内谐振频率条件：q q必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介质才能对该纵模提供增益；质才能对该纵模提供增益；满足振荡阈值条件满足振荡阈值条件 ；在光学谐振腔中能够存在的在光学谐振腔中能够存在的纵模数最多只能有：纵模数最多只能有：腔内的多纵模振荡腔内的多纵模振荡频率漂移频率漂移对某个腔内纵模对某个腔内纵模q：由此可知，当腔长由此可知，当腔长L或者折射率或者折射率发生发生变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。这种振荡频
19、率随外界环境变化而发生缓这种振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象称为慢变化的现象称为频率漂移。频率漂移。假设腔内纵模频率会随温度发生变化，假设腔内纵模频率会随温度发生变化，如图所示，当温度为如图所示，当温度为T T0 0时，只有时，只有q q能能够振荡；当温度为够振荡；当温度为T T2 2时，时，q q漂出漂出T T的范围，而的范围，而q+1q+1漂进漂进T T ，则腔内模，则腔内模式发生了变化，成为跳模现象式发生了变化，成为跳模现象频率漂移现象都是有害的吗？频率漂移现象都是有害的吗？3.4开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法我们关心的问题：在由无侧面
20、的共轴反射我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存在不随时间变化的稳定的电磁场分布？在不随时间变化的稳定的电磁场分布？如何求出这个分布的具体形式？如何求出这个分布的具体形式？在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面一般作为激光输出窗口，而输出激光的场一般作为激光输出窗口，而输出激光的场分布就直接与镜面上的场分布有关。分布就直接与镜面上的场分布有关。开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念开腔中有多种损耗：开腔中有多种损耗：由于反
21、射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模式的横向分布；式的横向分布；反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损耗不影响模式的横向分布；耗不影响模式的横向分布；开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀的各向同性介质中；的各向同性介质中；开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念假设初始时在镜面假设初始时在镜面1上有分布为上有分布为u1的电磁场从镜面的电磁场从镜面1向镜面向镜面2传输，经过一次渡越，在镜面传输，经过一次渡越
22、，在镜面2上有分布为上有分布为u2的场，在经的场，在经过反射后再次渡越回到镜面过反射后再次渡越回到镜面1时场的分布为时场的分布为u3，如此反复。，如此反复。受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降
23、，其横向分过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“再现再现”出发时的振幅分布。出发时的振幅分布。开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电磁场分布称为开腔的磁场分布称为开腔的自再现模自再现模；自再现模经一次往返所发生的能量损耗定自再现模经一次往返所发生的能量损耗定义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；自再现模经一次往返所产生的相位差定义自再现模经一次往返所产生的相位差定义为往返相移，往返相移应为为往返相移
24、，往返相移应为2的整数倍，的整数倍，这是由腔内模的是由腔内模的谐振条件决定的。振条件决定的。开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念孔阑传输线孔阑传输线开腔物理模型中衍射的作用开腔物理模型中衍射的作用腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自再现的模式选择出来；再现的模式选择出来；由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之间的关联就越来越紧密，即相干
25、性越来越好；间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析菲涅尔菲涅尔-基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分惠更斯惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必然是开腔模式的物理基础；然是开腔模式的物理基础；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；开腔衍射理论
26、分析开腔衍射理论分析设已知空间某一曲面设已知空间某一曲面S上光波长的振幅和相位分布函数为上光波长的振幅和相位分布函数为u(x,y)，则空间任一点，则空间任一点P处的光场分布，可以看作曲面处的光场分布，可以看作曲面S上每点作为次级上每点作为次级子波源发出的非均匀球面波在子波源发出的非均匀球面波在P点的叠加，由菲涅尔点的叠加，由菲涅尔-基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式来描述：射积分公式来描述：为什么用菲涅尔为什么用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式？基尔霍夫衍射积分公式？其中其中k=2/为波矢的模，也称波矢的模，也称为波数；波数；dS是是S面上的面面上的面积元；元；为源点与源点与P点之点之间连线的的长度；
27、度；为源点源点处S面法面法线与与P点点连线之之间的的夹角；角；表示球面波，表示球面波，(1+cos)为倾斜因斜因子，表示非均匀球面波；子，表示非均匀球面波；开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S1上光场上光场u1(x,y)经过衍射后在镜面经过衍射后在镜面S2上面形成光场分布上面形成光场分布u2;要做出如下假设：要做出如下假设：1、在小角度近似下有：在小角度近似下有：并且在此并且在此情况下可以将光场的两种偏情况下可以将光场的两种偏振状态作为独立变量分别求解；振状态作为独立变量分别求解；2、，被积函数中的指，被积函数中
28、的指数因子数因子 不能简单将不能简单将用用L L代代替，只能根据不同谐振腔情况替，只能根据不同谐振腔情况来简化；来简化；3 3、腔内振幅衰减是缓慢的；、腔内振幅衰减是缓慢的；开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析经过经过q次传播后：次传播后：将第一个假设带入其中有：将第一个假设带入其中有：由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定传输的光波模式应满足关系：传输的光波模式应满足关系：在稳定情况下，在稳定情况下，uq从镜面从镜面S1传播到传播到S2时，除时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标无关的复常数
29、因子无关的复常数因子外，外，其分布能够被其分布能够被u uq+1q+1再现。再现。开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到衍射效应的影响，但是这些光波长在两个衍射效应的影响，但是这些光波长在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变。变。开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析以以E(x,y)表示开腔中的稳定光场分布函数表示开腔中的稳定光场分布函数u，则上式可以简化为：，则上式可以简化为：该式是开腔自再现模满足的积分方程，满该式是开
30、腔自再现模满足的积分方程，满足以上方程的函数足以上方程的函数E成为本征函数，成为本征函数，为本为本征值，而征值，而K K为积分方程的核；为积分方程的核；对于对称腔：对于对称腔：开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析满足上式的本征函数满足上式的本征函数E就是腔的自再现模，也称为腔的横就是腔的自再现模，也称为腔的横模，模，E一般是复函数，其模一般是复函数，其模|E(x,y)|描述的是镜面上的振幅描述的是镜面上的振幅分布，其幅角分布，其幅角argE(x,y)表示镜面上的相位分布；表示镜面上的相位分布；为复常数，不妨设为：为复常数，不妨设为：其中的其中的a a、为与坐标为与坐标无关的实常数，则自再现模可以表
31、示为：无关的实常数，则自再现模可以表示为：由此可见，由此可见，e e-a-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，a a越大损耗越大，越大损耗越大，a=0a=0表示无损耗传输；表示无损耗传输；表示渡越一次后自再现模的相位滞后，表示渡越一次后自再现模的相位滞后，越大相位滞后越大相位滞后越多。越多。开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析从镜面从镜面S1出射的光功率为：出射的光功率为：被镜面被镜面S2反射后的自再现模的功率为：反射后的自再现模的功率为：自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单程损耗：程损耗：|
32、越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析自再现模在腔内经过一次渡越的总相移自再现模在腔内经过一次渡越的总相移定义定义为：为：由由 ，可得，可得 ；从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为2 2的的整数倍：整数倍：即即 ，q q为正整数，此公式对称开为正整数，此公式对称开腔的谐振条件。腔的谐振条件。平行平面腔模的
33、迭代解法平行平面腔模的迭代解法平行平面腔平行平面腔优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；单横模振荡；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平面腔的方法分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式；射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；值方法来求近似解；平行平面腔模的迭代解法平
34、行平面腔模的迭代解法Fox-Li数值迭代法数值迭代法Gardner Fox 和厉鼎毅在和厉鼎毅在1961年发表文章年发表文章Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；来研究平平腔内模式的方法；优点优点理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点缺
35、点收敛性不好，计算量大；收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；对高阶模式的计算误差较大；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法平行平面镜腔平行平面镜腔如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：两腔镜上两点之间距离为：两腔镜上两点之间距离为：将其作级数展开：将其作级数展开：或者或者平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法当满足条件当满足条件 时，积分核可以写成：时，积分核可以写成：则衍射积分公式改写为：则衍射积分公式改写为：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：式式(1)表示一个平平腔，其反表
36、示一个平平腔，其反射镜在射镜在x方向上的宽度为方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式自再现模；式(2)表示的是另表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。一个方向的条状腔的自再现模。平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法满足上述方程的函数满足上述方程的函数E(x)和和E(y)可以有很多个，用可以有很多个，用Em(x)和和En(Y)分别分别表示其中的第表示其中的第m和第和第n个解，对应的复常数为个解，对应的复常数为m m、n n，则上述方程可，则上述方程可以表示为：以表示为：(1)(1)式在数学上称为本征方程，只有在式在数学上称为本征方程，只有在m
37、m和和n n为一系列分立的值，对为一系列分立的值，对应应m m、n n取不同的正整数时，方程才成立，因此取不同的正整数时，方程才成立，因此m m和和n n又被称为方程又被称为方程的本征值；的本征值；对不同的对不同的m m和和n n，能够使方程成立的解，能够使方程成立的解E Em m(x)(x)和和E En n(y)(y)被称为相应的本被称为相应的本征函数；征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；此时的自再现模为：此时的自再现模为：复常数为：复常
38、数为：平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法由此可得到数值计算中的迭代公式为：由此可得到数值计算中的迭代公式为：要进行迭代需要设置初始值要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1(x)=1，由于由于argu1(x)=0，它代表了一个等相位面就，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。平
39、行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法将将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归进行归一化。一化。将归一化后的将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和和uq之间只之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；是迭代方程的稳定解，
40、也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子此时求出的与坐标无关的常数因子 是本征值；是本征值；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法Fox-Li对对 条件下的平平腔进行了迭代计条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。1、镜面上的振幅分布、镜面上的振幅分布右图是右图是300次迭代后得到的稳定自再次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：现模的相对振幅分布，具有以下的特点：镜面中心处振幅最大；镜面中心处振幅最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；振幅分布具有藕
41、对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。来表示基模。菲涅耳数菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；镜边缘处的相对振幅越小；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法在平平腔中除了基模外，还有其他在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：取初值条件为：可以通过迭代得到另一种
42、形式的稳可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。表示。腔中还存在着其他的高阶模式；腔中还存在着其他的高阶模式；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法2、镜面上的相位分布、镜面上的
43、相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知从其分布可知TEM0模不是严格意义模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；缘波前才发生微小的弯曲；右下图是右下图是TEM1模的相位分布，在节模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。平面波。平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法
44、3、单程相移与谐振频率、单程相移与谐振频率A、单程总相移、单程总相移计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：表达式：其中其中kL为几何相移，为几何相移，为附加相移，与为附加相移，与N有关，有关，不同的横模有不同的附加相移；不同的横模有不同的附加相移；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法右图为不同横模的单程右图为不同横模的单程相移随相移随N变化的曲线，变化的曲
45、线，从曲线中可以得出结论：从曲线中可以得出结论：N相同时，基模的附加相相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；移较大；N较大时，在对数坐标中较大时，在对数坐标中附加相移随附加相移随N的变化曲线的变化曲线基本为直线；基本为直线；平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法B、谐振频率、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：由自再现模稳定存在的条件可知：以以mnqmnq表示表示TEMTEMmnmn模的谐振频率，则：模的谐振频率，则：与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由多了一项，它是由TEMTEM
46、mnmn模的附加相移引起的。模的附加相移引起的。平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法4、单程功率损耗、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随功率损耗随N变化的曲线。变化的曲线。基模是平行平面腔的一切横模中基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由对确定的横模，单程损耗由N单单值决定，值决定，N越大，损耗越小；越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低阶模，特别
47、是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；低于均匀平面波的损耗；3.5稳定球面腔稳定球面腔方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模1、衍射积分方程及其解析解、衍射积分方程及其解析解如右图所示的方形镜共焦腔，满足如如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：下条件：则两点之间的距离为：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：由球面镜几何关系：方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模其自再现模其自再现模mnmn满足的积分方程为：满足的积分方程为：作如下变换：作如下变换：方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模通过分离变量求得：通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔
48、自再现模的问题等价于求解这两个本征寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)式
49、同式同(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；以以TEMmn表示共焦腔自再现模；表示共焦腔自再现模；方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模2、镜面上场的振幅和相位分布、镜面上场的振幅和相位分布A、厄米、厄米-高斯近似高斯近似在在 时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中其中Cm、Cn为常系数，为常系数，Hm(x)为为m阶厄米多项式。阶厄米多项式。厄米多项式的最初几阶为：厄米多项式的最初几阶为：方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦
50、腔的自再现模当当c时，厄米，厄米-高斯函数高斯函数 是分离是分离变量后的本征方程的本征函数；量后的本征方程的本征函数；c c为有限有限值时，只要，只要满足条件足条件c=2c=2N1N1，厄米，厄米-高斯函数高斯函数仍能非常好的仍能非常好的满满足本征方程；足本征方程；若不若不满足足该条件，在条件，在镜面的中心附近，仍然能面的中心附近，仍然能够用厄米用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将将长椭球函数的厄米球函数的厄米-高斯近似高斯近似带入本征方程的本征解，入本征方程的本征解，并且用并且用x x，y y替代替代X X，Y Y可以得到自再可以得到