控制系统的数学模型之.ppt

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1、Automatic Control Theory河南理工电气学院自自 动动 控控 制制 原原 理理第第 二二 章章 控制系控制系统的数学模型的数学模型1.1.了解了解建立系统动态微分方程的建立系统动态微分方程的一般方法。一般方法。2.2.熟悉熟悉拉氏变换的基本法则及典拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。型函数的拉氏变换形式。3.3.掌握掌握用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程的方法。的方法。本章基本要求本章基本要求4.4.掌握掌握传递函数的概念及性质。传递函数的概念及性质。5.5.掌握掌握典型环节的传递函数形式。典型环节的传递函数形式。6.6.掌握掌握由系统微分方程组建立动态由

2、系统微分方程组建立动态结构图的方法。结构图的方法。7.7.掌握掌握用动态图等效变换求传递函用动态图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。数和用梅森公式求传递函数的方法。本章基本要求本章基本要求8.8.掌握掌握系统的开环传递函数、闭系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。递函数的概念。l l2-1 2-1 2-1 2-1 拉普拉斯变换（见附件）拉普拉斯变换（见附件）拉普拉斯变换（见附件）拉普拉斯变换（见附件）l l2-2 2-2 2-2 2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时

3、域数学模型控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型l l2-3 2-3 2-3 2-3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型l l2-4 2-4 2-4 2-4 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图l l2-5 MATLAB 2-5 MATLAB 2-5 MATLAB 2-5 MATLAB 工具工具工具工具本章主要内容本章主要内容2-2 2-2 控制系控制系统的的时域数学模型域数学模型 一、概述一、概述一、概述一、概述 在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数在

4、控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数学模型。学模型。控制系统的数学模型：控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量是描述系统内部物理量(或变量或变量)之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。1.1.建立数学模型的意义建立数学模型的意义(1)(1)使我们得以暂时离开系统的物理特性，在使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一一 般意义般意义下研究控制系统的下研究控制系统的普遍普遍规律。规律。(2)(2)从从定性定性的认识上升的认识上升数学数学定量定量的精确认识的精确认识(严谨的分析严谨的分析)。在静态条件下在静态条件下(即变量各阶导数为零即变量各阶导数为零)，描述变量，描述变量之间关系的代数方

5、程叫之间关系的代数方程叫静态数学模型静态数学模型；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。控制理论研究的是学模型。控制理论研究的是动态模型。动态模型。2.2.数学模型分类数学模型分类(1)(1)按系统运动特性分为：按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。静态数学模型和动态数学模型。(2)(2)按照建立数学模型的方法分按照建立数学模型的方法分为：机理建模机理建模/机理模型机理模型(白箱建模白箱建模)统计建模统计建模/统计模型统计模型(黑箱或灰箱建模黑箱或灰箱建模)(3)(3)按照描述数学模型的工具分为：按照描述数学模型的工具分为：时域时

6、域(Time Domain,TD)(Time Domain,TD)模型模型-微分方程或微分方程或差分方程描述的数学模型。差分方程描述的数学模型。优点：优点：有效的数学分析工具多。有效的数学分析工具多。复域复域/频域频域(Frequency Domain,FD)(Frequency Domain,FD)模型模型-利用拉氏或傅立叶变换利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换对时域模型变换后得后得到的模型。到的模型。优点：优点：可从工程上测试得到。可从工程上测试得到。状态空间状态空间(State Space,SS)(State Space,SS)模型模型-描述系统输描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系

7、的数学模型。入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。优点：优点：描述系统所有变化规律。描述系统所有变化规律。缺点：缺点：较复杂，矩阵分析理论等。较复杂，矩阵分析理论等。(4)(4)按照描述变量的不同分为：按照描述变量的不同分为：输入输出输入输出I/OI/O模型模型-描述系统输入量和输出量描述系统输入量和输出量之间关系的数学模型。之间关系的数学模型。优点：优点：模型简单，易于分析。模型简单，易于分析。缺点：缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律系统内部其它变量之间的关系和运动规律没有建模。没有建模。3.3.建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法 解析法解析法/分析法分析法(又称

8、机理建模法又称机理建模法)实验法实验法(又称系统辨识又称系统辨识)解析法解析法(白箱建模白箱建模)-依据系统及元件各变依据系统及元件各变量之间所遵循的运动规律量之间所遵循的运动规律(物理、化学等物理、化学等)列写列写出变量间的数学表达式，并实验验证。出变量间的数学表达式，并实验验证。优点：优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理方程式中每个系数都具有其明确的物理意义。意义。缺点：缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非一般系统的运动规律很复杂，常常是非线性的，简化会导致模型精度降低线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理参数物理意义变含糊意义变含糊););通用性差。通用性差。实验法实验法/统计

9、模型统计模型(黑箱或灰箱建模黑箱或灰箱建模)-对系对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。学模型。优点：优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确避免机理建模的困难，能以一定的精确度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与预测；通用性好。预测；通用性好。缺点：缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。模型中的参数没有明确的物理意义。4.4.常用的数学模型

10、常用的数学模型 数学模型时域复数域频域微微分分方方程程状态方程差差分分方方程程传传递递函函数数结结构构图图频频率率特特性性5.5.建立数学模型的原则建立数学模型的原则l兼顾模型的精确度兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度模型分析和设计的复杂度)和控制系统精度和控制系统精度(与模型精确度密切相关与模型精确度密切相关)，两者，两者之间的折中。之间的折中。常用手段：常用手段：一定范围和前提条件下进行理想化的假设。一定范围和前提条件下进行理想化的假设。u电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉它的非线性成份。它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出电

11、子放大器的工作范围不超出其线性区其线性区)u通信卫星通信卫星(轨道控制轨道控制)可以看成一个质点来建模，可以看成一个质点来建模，而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中则中则不行！不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特性。特性。非线性非线性,时变时变,分布参数分布参数 线性线性,定常定常,集中参数集中参数二、系二、系二、系二、系统统微分方程的建立微分方程的建立微分方程的建立微分方程的建立6.6.时域模型的数学建模的通常步骤时域模型的数学建模的通常步骤(1)(1)建立物理模型建立物理模型 要作一些理想化的假设。要作一

12、些理想化的假设。(2)(2)列写原始方程列写原始方程 物理定律物理定律:牛顿定律、基尔霍夫电流和电牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。压定律、能量守恒定律等。(3)(3)选定系统的输入量、输出量以及状态变量选定系统的输入量、输出量以及状态变量（仅在建立（仅在建立SSSS模型时要求），消去中间变量，模型时要求），消去中间变量，建立适当的建立适当的I/OI/O模型或模型或SSSS模型。模型。例例2-1 2-1 写出写出写出写出RLCRLCRLCRLC串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。解解：根据基尔霍夫电路定：根据基尔霍夫电路定理：理：由由

13、：，代入代入得：得：例例2-22-2 求弹簧求弹簧求弹簧求弹簧-质量质量质量质量-阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力F F F F，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移x x x x(t t t t)解解 图中，图中，m为质量，为质量，f为粘为粘滞阻尼系数，滞阻尼系数，k为弹性系数。为弹性系数。其次依据：其次依据：1.1.牛顿第二定律牛顿第二定律:物体所受的物体所受的外力和等于物体质量与加速度的外力和等于物体质量与加速度的乘积

14、。乘积。2.2.虎克定律虎克定律:弹簧弹力等于弹弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积。性系数与相对变形位移的乘积。例例2-22-2 求弹簧求弹簧求弹簧求弹簧-质量质量质量质量-阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力F F F F，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移x x x x(t t t t)3.3.粘性摩擦定律粘性摩擦定律:粘性摩擦力粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的等于摩擦系数与相对速度的乘积。乘积。例例2-22-2

15、求弹簧求弹簧求弹簧求弹簧-质量质量质量质量-阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力F F F F，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移x x x x(t t t t)解：解：以静止（平衡）工作点作为零点，以静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响，受力如下图所示：以消除重力的影响，受力如下图所示：f f阻尼系数阻尼系数 K K弹性系数弹性系数 例例2-22-2 求弹簧求弹簧求弹簧求弹簧-质量质量质量质量-阻尼器的机械位移系统的

16、微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力F F F F，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移，输出量为位移x x x x(t t t t)根据牛顿定理，平衡方程如下：根据牛顿定理，平衡方程如下：也是一个二阶定常微分方程。也是一个二阶定常微分方程。m、f和和k的的单位分别为：单位分别为：相似系统相似系统 系统仿真基础系统仿真基础对比两式：对比两式：定义定义 具有相同的数学模型的不同物理系具有相同的数学模型的不同物理系 统称为相似系统。统称为相似系统。令令 说明：说明：要

17、求取电枢电压要求取电枢电压U Ua a(t)(v)(t)(v)为输入量，电动机转速为输入量，电动机转速m m(t)(rad/s)(t)(rad/s)为输出量。图中为输出量。图中R Ra a()()、L La a(H)(H)分别是电枢电路分别是电枢电路的电阻和电感，的电阻和电感，M Mc c(NM)(NM)是折是折合到电动机轴上的总负载转距。合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。激磁磁通为常值。电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)Ua(t)在电枢回路中产生在电枢

18、回路中产生电枢电流电枢电流ia(t)ia(t)，再由电流，再由电流ia(t)ia(t)与激磁磁通相互作用产生与激磁磁通相互作用产生电磁转距电磁转距Mm(t)Mm(t)，从而拖动负载运动。，从而拖动负载运动。例例2-32-3 电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。n电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程n电磁转距方程电磁转距方程n电动机轴上的转距平衡方程电动机轴上的转距平衡方程 解：解：Ea=Cem(t)Ce反电势系数反电势系数(v/rad

19、/s)电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程：其中，其中，Ea Ea 是电枢反电势，它是是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压方向与电枢电压Ua(t)Ua(t)相反，即相反，即Ea=Cem(t)Ce反电势系数反电势系数(v/rad/s)电磁转距方程：电磁转距方程：-电动机转距系数电动机转距系数 （Nm/A）-是由电枢电流产生的电磁转距（是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）电动机轴上的转距平衡方程：电动机轴上的转距平衡方程：Jm电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量（电动机和负载折合到电动机

20、轴上的转动惯量（kgm）f fm m-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/sNm/rad/s）电动机机电时间常数（电动机机电时间常数（s s）在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略较小，通常忽略不计，因而不计，因而可简化为：可简化为：、求出求出ia(t)ia(t)，代入代入同时同时亦代入亦代入得：得：电动机传递系数电动机传递系数反馈口：反馈口：放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：消去中间变量消去中间变量可得：可得：例例2-42-4 X-Y X-Y 记

21、录仪记录仪解：解：例例2-52-5 列写下图速度控制系统的微分方程列写下图速度控制系统的微分方程列写下图速度控制系统的微分方程列写下图速度控制系统的微分方程 该系统的组成和原理；该系统的组成和原理；该系统的组成和原理；该系统的组成和原理；该系统的输出量是该系统的输出量是该系统的输出量是该系统的输出量是 ，输入量是，输入量是，输入量是，输入量是 ，扰动量是，扰动量是，扰动量是，扰动量是解：解：各环节微分方程：各环节微分方程：各环节微分方程：各环节微分方程：运放运放运放运放：，运放运放运放运放：功率放大：功率放大：功率放大：功率放大：电动机环节：电动机环节：电动机环节：电动机环节：测速-运放运放功

22、放电动机 速度控制系统方块图：速度控制系统方块图：速度控制系统方块图：速度控制系统方块图：齿轮系齿轮系:测速发电机：测速发电机：式中式中:i:i速比速比;K;Kt t比例系数。比例系数。式中式中:K:K1 1、K K2 2=R=R2 2/R/R1 1,比例系数比例系数;微分时间微分时间常数；常数；K K3 3比例系数。比例系数。消去中间变量：推出消去中间变量：推出消去中间变量：推出消去中间变量：推出 之间的关系：之间的关系：之间的关系：之间的关系：显然，转速显然，转速显然，转速显然，转速 既与输入量既与输入量既与输入量既与输入量 有关，也与干扰有关，也与干扰有关，也与干扰有关，也与干扰 有关。

23、有关。有关。有关。为常量为常量为常量为常量,公式如下：公式如下：公式如下：公式如下：建立系统微分方程的基本步骤：建立系统微分方程的基本步骤：建立系统微分方程的基本步骤：建立系统微分方程的基本步骤：分析系统工作原理、各变量之间的关系，分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量；确立系统的输入变量和输出变量；依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；件的微分方程；消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程；及它们的各阶导数的微分方程；将方程写成规范形式。

24、将方程写成规范形式。注注：规范形式规范形式：与输入量有关的各项放在方程：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化为具有一定物理意义系数的一种系统的参数化为具有一定物理意义系数的一种表达形式。表达形式。三、三、三、三、线线性微分方程的求解性微分方程的求解性微分方程的求解性微分方程的求解方程解：系统在一定的输入作用下，输出量的变方程解：系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。化情况。方法：经典法，拉氏变换法和数学求解。在自方法：经典法，拉氏

25、变换法和数学求解。在自动控制系统理论中主要使用动控制系统理论中主要使用拉氏变换法拉氏变换法。拉氏变换法求解微分方程的步骤：拉氏变换法求解微分方程的步骤：对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换求系统输出量表达式求系统输出量表达式将输出量表达式展开为部分分式将输出量表达式展开为部分分式查表求各分式的拉氏反变换查表求各分式的拉氏反变换整理出方程解整理出方程解简单系统：通分法；复杂系统：留数法简单系统：通分法；复杂系统：留数法简单系统：通分法；复杂系统：留数法简单系统：通分法；复杂系统：留数法 非线性系统非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。线性的。

26、几几 种种 常常 见见 的的 非非 线线 性性四、非四、非四、非四、非线线性微分方程的性微分方程的性微分方程的性微分方程的线线性化性化性化性化*1 1、线性化概念线性化概念 严严格格地地说说，实实际际控控制制系系统统的的某某些些元元件件含含有有一一定定的的非非线线性性特特性性，如如果果某某些些非非线线性性特特性性在在一一定定的的工工作作范范围围内内，可可以以用用线线性性系系统统模模型型近似，称为非线性模型的线性化。近似，称为非线性模型的线性化。2 2、线性化方法线性化方法（1 1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它

27、们素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）对系统的影响很小，就可以忽略）（2 2）偏偏微微法法（小小偏偏差差法法，切切线线法法，增增量量线线性性化化法）法）*偏偏微微法法基基于于一一种种假假设设，就就是是在在控控制制系系统统的的整整个个调调节节过过程程中中，各各个个元元件件的的输输入入量量和和输输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小变变化化。这这一一假假设设是是符符合合许许多多控控制制系系统统实实际际工工作作情情况况的的，因因为为对对闭闭环环控控制制系系统统而而言言，一一有有偏偏差差就就产产生生控控制制作作用用，来来减减小小或或消消除除偏差，所以

28、各元件只能工作在平衡点附近。偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。（3 3）平均斜率法）平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关如果一非线性元件输入输出关系如图所示。系如图所示。此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为化方程为 (死区死区)电机电机 注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。函数法进行分析。具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线具有

29、连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统）段直线来代替。（分段定常系统）设连续变化的非线性函数设连续变化的非线性函数 ，在平衡点，在平衡点（x x0 0,y,y0 0）处连续可微。则可将它在该点附近用台劳级）处连续可微。则可将它在该点附近用台劳级数展开：数展开：3 3、非线性元件（环节）微分方程的线性、非线性元件（环节）微分方程的线性化化增量较小时略去其高次幂项，则有增量较小时略去其高次幂项，则有 令令 上式记为：上式记为：y=kx y=kx 略去增量号略去增量号 ，便可得到函

30、数，便可得到函数 在平衡在平衡点（点（x x0 0,y,y0 0）附近的线性化方程为）附近的线性化方程为y=kxy=kx 其中，其中，K K为比例系数，是函数在（为比例系数，是函数在（x x0 0,y,y0 0）点切）点切线的斜率。线的斜率。对于有两个自变量对于有两个自变量 的非线性函数的非线性函数 同样可在某工作点同样可在某工作点 附近用台劳级数展开为附近用台劳级数展开为 取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有解：解：在工作点在工作点(x(x0 0,y,y0 0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数例例2-6 2-6 已知某装置的输入输出特性如下，求已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方

31、程。小扰动线性化方程。解：解：在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得代入原方程可得 式式中中 S S 为为液液位位容容器器的的横横截截面面积积。若若 h h 与与 Q Q 在在其其工工作作点点附附近近做做微微量量变变化化，试试导导出出 h h 关关于于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。例例2-7*2-7*某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程解续：解续：在平衡点处系统满足在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程上两式相减可得线性化方程 式式中中 S S 为为液液位位容容器器的的横横截截面面积积。若若 h

32、h 与与 Q Q 在在其其工工作作点点附近做微量变化，试导出附近做微量变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。例例2-7*2-7*某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满满足方程足方程 解解：该该系系统统由由小小车车和和安安装装在在小小车车上上的的倒倒立立摆摆构构成成。倒倒立立摆摆是是不不稳稳定定的的，如如果果没没有有适适当当的的控控制制力力作作用用到到它它上上面面，它它将将随随时时可可能能向向任任何何方方向向倾倾倒倒。这这里里我我们们只只考考虑虑二二维维问问题题，即即认认为为倒倒立立摆摆只只在在图图所在的平面内运动。所在的平面

33、内运动。若若有有合合适适的的控控制制力力u u作作用用于于小车上可使摆杆维持直立不倒。小车上可使摆杆维持直立不倒。例例2-82-8 列写列写倒立摆系统倒立摆系统的微分方程的微分方程 解解续续：这这实实际际是是一一个个空空间间起起飞飞助助推推器器的的姿姿态态控控制制模模型型(姿姿态态控控制制问问题题的的目目的的是是要要把把空空间间助助推推器器保持在垂直位置保持在垂直位置)。设小车和摆杆的质量分别为设小车和摆杆的质量分别为M M和和m m，摆杆长为，摆杆长为 ，且重心位于几何，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为中点处，小车距参考坐标的位置为 ，摆杆与铅垂线的夹角为，摆杆与铅垂线的夹角为

34、，摆杆重心的水平位置为摆杆重心的水平位置为 ，垂直位置为，垂直位置为 例例2-82-8 列写列写倒立摆系统倒立摆系统的微分方程的微分方程设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为H H和和V V，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：方程如下：摆杆围绕其重心的转动运动摆杆围绕其重心的转动运动 式中式中J J为摆杆围绕其重心的转动惯量，为摆杆围绕其重心的转动惯量，为垂直力关于为垂直力关于其重心的力矩，其重心的力矩，为水平力关于其重心的力矩。为水平力关于其重心的力矩。摆杆重心的水平运动摆杆重心的水平运动 摆

35、杆重心的垂直运动摆杆重心的垂直运动 小车的水平运动小车的水平运动 因为在这些方程中包含因为在这些方程中包含 和和 ，所以它们，所以它们是非线性方程。是非线性方程。若假设角度若假设角度 很小，则很小，则 和和 。可。可得下列线性化方程：得下列线性化方程：由由+可得可得 由由、(8)(8)和和(9)(9)得得 当忽略转动惯量当忽略转动惯量J J时时 当考虑转动惯量当考虑转动惯量 时时2-3 2-3 控制系控制系统复数域数学模型复数域数学模型一、一、传递函数的定函数的定义1.1.定义定义 线线性性定定常常系系统统在在零零初初始始条条件件下下，输输出出量量的的拉拉氏氏变变换换与与输输入入量量的的拉拉氏

36、氏变变换换之之比比，称称为为传递函数传递函数 。这里，这里，“初始条件为零初始条件为零”有两方面含义：有两方面含义：u 一指输入作用是一指输入作用是t t0 0后才加于系统的，后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在因此输入量及其各阶导数，在t t0 0时的值为零。时的值为零。u 二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即即t=0t=0时时 ，系统的输出量及各阶导数为零。，系统的输出量及各阶导数为零。方法一：方法一：由前面例题可知由前面例题可知描述描述网络输入输出关系的微分方程：网络输入输出关系的微分方程：在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变在零初

37、始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得换，得:由传递函数定义，得由传递函数定义，得:例例3-13-1 如图如图RLCRLC电路，试列写网络传递函数。电路，试列写网络传递函数。方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。然后求其传递函数。用复数阻抗表示电阻时仍为用复数阻抗表示电阻时仍为R R，电容电容C C的复数阻抗为的复数阻抗为1/Cs1/Cs，电感的复，电感的复数阻抗为数阻抗为LsLs。则由分压定律可得：。则由分压定律可得：总结：总结：总结：总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常系

38、统的传递函数与微分方程具有相通性，通常系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。抗法直接求传递函数往往更简单。抗法直接求传递函数往往更简单。抗法直接求传递函数往往更简单。例例3-23-2 如图有源网络电路，试列写网络传递函数。如图有源网络电路，试列写网络传递函数。关注：对于无源或有源电网络模型，应用复阻抗概关注：对于无源或有源电网络模型，应用复阻抗概念和分压定理建模，会使电网络传递函数

39、的求取过念和分压定理建模，会使电网络传递函数的求取过程大大简化！程大大简化！分压定理分压定理+复阻抗复阻抗（1 1）在复数域内系统的输出）在复数域内系统的输出代数关系代数关系（2 2）对于集总参数的控制系统，传递函数都是）对于集总参数的控制系统，传递函数都是s s的有的有理函数，即分子和分母都是理函数，即分子和分母都是s s的多项式。的多项式。有理分式有理分式真有理分式真有理分式严格真有理分式严格真有理分式一个实际的即物理上可实现的线性系统，其传递函数必然是严格真有理函数一个实际的即物理上可实现的线性系统，其传递函数必然是严格真有理函数（在应用控制理论研究诸如社会问题等（在应用控制理论研究诸如

40、社会问题等“广义广义”系统时，则不受此条件的限系统时，则不受此条件的限制）制）2.2.传递函数的性质传递函数的性质（3 3）传递函数是在零初始条件下定义的。）传递函数是在零初始条件下定义的。输输入量是在入量是在 时时才作用于系才作用于系统统。因此，在。因此，在 时时，输输入量及其各入量及其各阶阶导导数数为为零；零；输输入量加于系入量加于系统统之前，系之前，系统处统处于于稳稳定的工作状定的工作状态态，即，即输输出量及其各出量及其各阶导阶导数在数在 时时的的值值也也为为零，零，现实现实的工程控制系的工程控制系统统多属于此多属于此类类情况。情况。（4 4）传递函数与微分方程是同一个系统两种不同数学描

41、述方式）传递函数与微分方程是同一个系统两种不同数学描述方式令令传递传递函数的分母多函数的分母多项项式式为为零，即零，即 系系统统的特征方程的特征方程dtdsdtds（5 5）传递函数是由系统本身的结构和参数决定的，它）传递函数是由系统本身的结构和参数决定的，它反映了系统本身的内在的运动特征。（不提供任何该反映了系统本身的内在的运动特征。（不提供任何该系统的物理结构）系统的物理结构）因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。（6 6）传递函数概念只适用于线性定常系统。）传递函数概念只适用于线性定常系统。（LaplaceLaplace变换是线性变换

42、）变换是线性变换）（7 7）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。3.3.传递函数的求取方法传递函数的求取方法 方法方法1 1：一般元件和系统传递函数的求取方法：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1 1）列写元件或系统的微分方程；）列写元件或系统的微分方程；（2 2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3 3）取输出与输入的拉氏变换之比。）取输出与输入的拉氏变换之比。方法方法2 2：利用频率特性法，以实验方法进行测定。利用频率特性法，以实验方法进行测定。方法方法3 3：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。利用系统

43、的单位脉冲响应求系统的传递函数。（1 1）测量系统的单位脉冲响应；）测量系统的单位脉冲响应；（2 2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。其推导如下：其推导如下：单位脉冲作用下单位脉冲作用下 的输出：的输出：两边进行反变换：两边进行反变换：C C（s s）：系统单位脉冲响应复数域形式；）：系统单位脉冲响应复数域形式；C C（t t）：系统）：系统单位脉冲响应时域形式单位脉冲响应时域形式例例3-23-2 已知已知R R1 1=1=1，C C1 1=1F=1F，1 1）求零状态条件下阶跃响应）求零状态条件下阶跃响应u uc c(t)(t)；2)

44、2)u uc c(0)=0.1v(0)=0.1v，u ur r(t t)=1()=1(t t)，求，求 u uc c(t t););3 3）求脉冲响应）求脉冲响应g g(t t)。对上式进行拉氏反变换：对上式进行拉氏反变换：解解:1 1 1 1）R1 C1i1(t)ur(t)uc(t)2)2)u uc c(0)=0.1v(0)=0.1v，u ur r(t t)=1()=1(t t)，求，求 u uc c(t t););3 3）求脉冲响应）求脉冲响应g g(t t)例例3-33-3 已知有两个部件，当输入已知有两个部件，当输入 时，响时，响应曲线如图应曲线如图a a所示；当输入所示；当输入r r

45、2 2(t)=1(t)(t)=1(t)时，响应曲线时，响应曲线如图如图b b所示。试求两个部件的传递函数所示。试求两个部件的传递函数G G1 1(s)(s)及及G G2 2(s)(s)。解解:(1)(1)当输入当输入 时，由图时，由图a a得输出为：得输出为：解解:对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：则则例例3-33-3 已知有两个部件，当输入已知有两个部件，当输入 时，时，响应曲线如图响应曲线如图a a所示；当输入所示；当输入r r2 2(t)=1(t)(t)=1(t)时，响应曲时，响应曲线如图线如图b b所示。试求两个部件的传递函数所示。试求两个部件

46、的传递函数G G1 1(s)(s)及及G G2 2(s)(s)。解解:(2)(2)当输入当输入 时，由图时，由图b b得输出为：得输出为：解解:对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：对输入与输出信号分别进行拉氏变换，得：则则二、二、二、二、传递函数的几种表达形式函数的几种表达形式0 j S平面平面平面平面2.几何形式：几何形式：零、极点分布零、极点分布图：图：传传递递函函数数分分子子多多项项式式的的根根 z zi i 称称为为传传递递函函数数的的零零点点；分分母母多多项项式式的的根根 p pj j 称称为为传传递递函函数数的的极极点点。K Kg g称称为传递系数或根轨迹增益。为传递系数或根轨迹

47、增益。1.1.表示成零点、极点形式（首表示成零点、极点形式（首1 1型）：型）：将传递函数的零、极点表示将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形在复平面上的图形称系统的称系统的零、零、极点分布图极点分布图。ReIm-3-112-1-2-2例：例：零点：零点：-1极点：极点：-3，-1+2j，-1-2j“”表示极表示极点点“O”表示零表示零点点MatlabMatlab命令：零极点分布图命令：零极点分布图num=1 num=1 1 1;den=1 5 den=1 5 1111 1515;pzmap(num,den)pzmap(num,den)3.3.表示为有理分式形表示为有理分式形式：式：式中：式

48、中：为实常数，为实常数，一般一般n nmm上式称为上式称为n n阶传递函数，相应的系统为阶传递函数，相应的系统为n n阶阶系统。系统。4.4.写成时间常数形写成时间常数形式（尾式（尾1 1型）：型）：分别称为时间常数，分别称为时间常数，K K称为放大系数称为放大系数显然：显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用若零点或极点为共轭复数，则一般用2 2阶项来表示。若阶项来表示。若 为共轭复极点为共轭复极点,则：则：或或其系数其系数 由由 或或 求得；求得；若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：式中：式中：或：或：从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的从上

49、式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的形式。数，是一些最简单、最基本的形式。三、三、三、三、传递传递函数的零点和极点函数的零点和极点函数的零点和极点函数的零点和极点对输对输出的影响出的影响出的影响出的影响 极点：极点：决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点：零点：影响各模态在响应中所占比重。影响各模态在响应中所占比重。例例例例 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下

50、的单位阶跃响应分别为它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为零点对输出响应的影响：零点对输出响应的影响：0 1 2 3 40 1 2 3 41.21.21.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2（b b）G G1 1(t)(t)G G2 2(t)(t)（a a）n零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大占比重越大;n零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小占比重越小;n如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。为分子