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1、第五章第五章 习题习题11.晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为（1）（2），f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。2由固体物理教程（5.14）式求解求解可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得于是（1）因此得3若只取布里渊区内的值：则有（2）令得由上式知所以有由此得在布里渊区内的值为k=0。42.一维周期势场为其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值。5图：一维周期势场求解求解6由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周期内求平均即可，于是得73.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。8根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为Eg=2
2、|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22）式求解求解求得第一个禁带宽度为9第二禁带宽度为105.对简立方结构晶体，其晶格常数为a。（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线。11求解求解非简并s态电子的能带式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取参考格点的坐标为(0,0,0)，6个最近邻坐标为简单立方晶体非简并s态电子的能带则为12（2）在110方向上 能带变成其中在110方向上，在第一布里渊区内，电
3、子的能带如图所示13电子的平均速度平均速度曲线14有效质量曲线电子的有效质量15在110方向上有恒定电场情况下，电子受的力电子的加速度设电场方向与110方向相反，加速度曲线则如图167用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1)s态电子的能带为(2)画出第一布里渊区111方向的能带曲线；(3)求出带底和带顶电子的有效质量.17(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为解答解答是最近邻格矢对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0,0,0）则个最近邻格点的坐标为18将上述8组坐标代入能带的表示式，得19(2)在111方向上其中且第一布里渊区边界在于是能带化成第
4、一布里渊区111方向的能带曲线20(3)由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带底，电子有效质量为同理可得其他交叉项的倒数全为零21而在布里渊区边界上的 处是能带顶，电子的有效质量为其他交叉项的倒数也全为零2213平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求(1)正格矢和倒格矢；(2)画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径23(1)正格原胞的基矢如图所示取为解答解答i和j是相互垂直的单位矢量取单位矢量k垂直与i和j构成的体积则倒格原胞的基矢为24(2)选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是：b1,b2,(b1+
5、b2)这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分：以原点为对称心正六边形是第一布里渊区正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区。第一布里渊区内切圆半径2519证明迪阿哈斯范阿耳芬效应的周期为其中是kz=0平面在费密球上所截出的面积26由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的功解答解答即系统内能的微分其中Vc是晶体体积由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是27由(1)，(2)两式可得其中0是真空中的磁导率由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商U/B随1/B作振荡的反映当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子
6、态高度简并，此时电子的状态密度为28令则电子系统的能量对上式求微分29可见，每当时，U/B将成为极大值，磁化率将变成极小值设B=Bi时，对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应B=Bi+1因为所以式中有一项30上式的(1/B)是一个固定的常量，这说明，每当两个1/B的间距(周期)等于这一常量时，磁化率曲线就多一个极小也就是说，磁化率以磁场倒数（1/B）作振荡因为kz=0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有其中我们假设Bi+1大于Bi，由以上两式可得3120从E=E0到E=EF能带都为其中mx,my,mz都是大于零常数求电子能态密度其中n为单位体积内的电子数32由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为解答解答将上式与椭球公式比较可知在波矢空间内电子等能面是一椭面，与椭球的体积4abc/3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积33能量区间E-E+dE内电子的状态数目由上式可得Vc是晶体体积，电子的能态密度设电子浓度为n，则E0-EF区间电子总数为Vcn且34将上式与能态密度比较，得35