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1、 第二章第二章 复函数复函数 1.1.解析函数解析函数1.极限与连续性 单值函数：对于 G 中的每个 z，有唯一的 w 与其对应。多值函数：至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。复变函数极限的定义 当 时，当 时，当 时，设 则 当且仅当 证明证明 如果则 使得当时，命题命题所以反之，若则当时，所以,当时 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数例例 argz0 2.导数解析函数定义定义在区域内解析在一点解析在闭区域上解析 如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.证明设 f(z)在点 a 可导，则u注解1 “可微”有
2、时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；u注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；四则运算法则复合函数求导法则 注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。反函数求导法则 证明 因为 所以Cauchy-Riemann 方程问题 设可微，则首先设 h 为实数，得令得再令t 为实数
3、，得令得 由 得 Cauchy-Riemann方程 例在处满足上述定理中的条件，但 f(z)在不可微.证明 C-R条件 证明 设 在点 处有导数 其中a 和 b为实数，当 时，其中 满足条件 注：2.2.初等函数初等函数 实指数函数的性质实指数函数的性质 1.1.指数函数指数函数指指数函数的定义域的扩充数函数的定义域的扩充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有所以，因此，定义定义称作复指数函数复指数函数，记作复指数函数的性质：复指数函数的性质：注：注：EulerEuler公式公式 问题：问题：指数函数的几何性态指数函数的几何性态 三角函数三角函数由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：所
4、以有定义 三角函数的性质三角函数的性质（2 2）coscosz z是偶函数，是偶函数，sinsinz z是奇函数是奇函数 证明证明（3 3）coscosz z 和和 sin sinz z 是以是以 2 2 为周期的周期函数为周期的周期函数:证明证明证明证明定义上述四个函数在各自的定义域内解析，且定义双曲正弦双曲余弦双曲正切初等多值函数初等多值函数1.1.幅角函数幅角函数单值分支单值分支.连续单值分支连续单值分支.上沿上沿下沿下沿思考题：思考题：定义定义设设是一个多值函数是一个多值函数，是是的任的任意一个邻域意一个邻域,是是内任一绕内任一绕一周的简单闭曲线一周的简单闭曲线.在在上取一点上取一点,
5、我们从与我们从与对应的多个值中取出一个与其对应，对应的多个值中取出一个与其对应，设为设为,让点让点从从出发，沿出发，沿绕绕一周一周，回到回到,对应对应的值从的值从连续变化为连续变化为如果如果则称则称为为的一个的一个支点支点.对数函数对数函数定义定义注意：注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。注意：注意：对数函数的基本性质对数函数的基本性质注：注：问题：问题：对数函数的主值对数函数的主值相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值主值为：连续单值分支.对数函数的主值支对数函数的主值支.支割线支割线.证明证明注：注：对数函数的映射性质对数函数的映射性质幂函数幂函数定义定义其中 应当理解为对它求导数的那个分支.幂函数的映射性质幂函数的映射性质反三角函数反三角函数