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1、 第四节第四节 有理函数与有理函数与 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 二、简单无理函数的积分二、简单无理函数的积分 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：具有如下形式：其中其中 n,m 为非负整数为非负整数,a0,a1,an 和和 b0,b1,bm 都是实数，且都是实数，且 a0 0,b0 0。假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式。定理定理:如果真分式的分母
2、可分解为两个因式如果真分式的分母可分解为两个因式 Q(x)与与 R(x)的乘积的乘积,则此真分式等于两个部分分式之和则此真分式等于两个部分分式之和 (1)如果分母的因式中含有单因子如果分母的因式中含有单因子 x-a,则部分分式则部分分式中含有中含有 的项，其中的项，其中 A 为待定常数。为待定常数。例例 (2)分母中含有因子分母中含有因子(x-a)k(k 1),则部分分式中含有则部分分式中含有其中其中 A1,A2,，Ak 为待定常数。为待定常数。例例 (3)如果分母的因式中含有如果分母的因式中含有 x2+px+q,则部分分式中含则部分分式中含有有其中其中 p2-4q 1),则则其中其中,p2-
3、4q 0,Ai,Bi(i=1,2,s)为待定常数。为待定常数。例例 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要同时要把上面的待定的常数确定把上面的待定的常数确定,这种方法叫这种方法叫待定系数法。待定系数法。例例3-40 求求 解解 由于由于所以所以 例例3-41 把真分式把真分式 化为部分分式之和。化为部分分式之和。解解 方法一：方法一：令令两边去分母后，得两边去分母后，得即即比较两端系数，得比较两端系数，得 方法二：方法二：令令两边去分母后，得两边去分母后，得 取取 x=1 得：得：B=1；取；取 x=0 得：得：-A+1+D=0；取；取 x=-1得
4、：得：-4A+2+4D-4C=-2；取；取 x=2 得：得：5A+5+2C+D=2，得方程组得方程组解得解得所以所以 例例3-42 求求 解解 由例子由例子3-41 的结果，得的结果，得 例例3-43 求求 解解 令令化去分母后化去分母后,得得令令 x=0 得得A=1;x=1,x=2,x=-1,代入上式代入上式,得得其中其中 二、简单无理函数的积分二、简单无理函数的积分 例例3-44 求求 解解 令令 ，则，则 例例3-45 求求 解解 令令 ，则，则 例例3-46 求求 解解 由于由于 ,令令 ,则则 应当指出由于初等函数在其定义域内连续应当指出由于初等函数在其定义域内连续,所以其所以其原函
5、数存在原函数存在,但是有些初等函数的原函数却不能用初但是有些初等函数的原函数却不能用初等函数表示。例如：等函数表示。例如：如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，称这个函数的不定积分称这个函数的不定积分“积不出来积不出来”。注意：注意：一个初等函数的不定积分一个初等函数的不定积分“积不出来积不出来”，并不是指，并不是指这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函数。数。内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法,简便计算简便计算.简便简便,作业：作业：习题三习题三 8