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1、线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化q离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。对于这种系统对于这种系统,其状态
2、变量、输入变量和输出变量既其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)对于第对于第2种情况的系统种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。又有一阶差分方程组。为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。要求整个系统统一用
3、离散状态方程来描述。v由此由此,提出了连续系统的离散化问题。提出了连续系统的离散化问题。在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制或者进行计算机控制时时,都会遇到离散化问题。都会遇到离散化问题。线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)q图图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。所示为连续系统化为离散系统的系统框图。图图 3-3 连续系统离散化的实现连续系统离散化的实现线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5
4、)q线性连续系统的时间离散化问题的数学实质线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采就是在一定的采样方式和保持方式下样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。式。q为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如必须满足如下条件和假设。下条件和假设。在离散化之后在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。和输出变量的
5、值保持不变。保持器为零阶的保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号即加到系统输入端的输入信号u(t)在采在采样周期内不变样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值且等于前一采样时刻的瞬时值,故有故有u(t)=u(kT)kTt(k+1)T 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)采样周期采样周期T的选择满足申农的选择满足申农(Shannon)采样定理采样定理,即即采样频率采样频率2/T大于大于2倍的连续信号倍的连续信号x(k)的上限频率。的上限频率。q满足满足上述条件和假设上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型
6、。间模型。下面分别针对下面分别针对线性定常连续系统线性定常连续系统和和线性时变连续系统线性时变连续系统讨论离散化问题。讨论离散化问题。线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(1/3)线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化q本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即即研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立建立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。相应的线性定常离散系统的状态空间模型。q主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的问题为两种离散化方法:精确法和精确法和近
7、似法近似法q线性定常连续系统状态空间模型的离散化线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采实际上是指在采样周期样周期T下下,将状态空间模型将状态空间模型线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(2/3)变换成离散系统的如下状态空间模型变换成离散系统的如下状态空间模型:由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变其离散化后应保持不变,即即C(T)=C D(T)=D离散化主要针对连续系统状态方程离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样如何通过采样
8、周期周期T,变换成离散系统状态方程变换成离散系统状态方程(G,H)。q在上述的条件和假设下在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。空间模型。下面介绍两种离散化方法下面介绍两种离散化方法:精确法精确法、近似法近似法。线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(3/3)主要推荐主要推荐?精确离散化方法精确离散化方法(1/4)现在只考虑在采样时刻现在只考虑在采样时刻t=kT和和t=(k+1)T时刻之间的状态时刻之间的状态响应响应,即对于上式即对于上式,取取t0=kT,t=(k+1)T,于是于是1.精确离散化方法精确离散化方法q所谓线性定常连续
9、系统的状态方程的精确离散化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是就是利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。q连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:精确离散化方法精确离散化方法(2/4)考虑到考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定在采样周期内保持不变的假定,所以有所以有将上式与线性定常离散系统的状态方程将上式与线性定常离散系统的状态方程x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比较比较,
10、可知两式对任意的可知两式对任意的x(kT)和和u(kT)成立的条件为成立的条件为G(T)=(T)=eAT对上式作变量代换对上式作变量代换,令令t=(k+1)T-,则上式可记为则上式可记为上两式即为精确离散化法的计算式。上两式即为精确离散化法的计算式。精确离散化方法精确离散化方法(3/4)例例3-11q解解 首先求出连续系统的状态转移矩阵首先求出连续系统的状态转移矩阵:q例例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程统的状态方程:精确离散化方法精确离散化方法(4/4)例例3-11q根据精确法计算式有根据精确法计算式有q于是该连续
11、系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为近似离散化方法近似离散化方法(1/6)2.2.近似离散化方法近似离散化方法q所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期在采样周期较小较小,且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的用状态变量的差商代替微商差商代替微商来求得近似的差分方程。来求得近似的差分方程。即即,由于由于x(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较小时故当采样周期较小时,有有x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/T近似离散化方法近似离散化方法(2
12、/6)将上式代入连续系统的状态方程将上式代入连续系统的状态方程,有有x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT)即即x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较较,则可得如下近似离散化的计算公式则可得如下近似离散化的计算公式:G(T)=I+AT H(T)=BTq将上述近似离散法和精确离散法比较知将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于由于I+AT和和BT分别是分别是eAT和和 eAtdtB的的Taylor展开式中的展开式中的一次近似一次近似,因此近似离散化方法其实是取精
13、确离散化方因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。近似展开式。近似离散化方法近似离散化方法(3/6)例例3-12q由上述推导过程可知由上述推导过程可知,一般说来一般说来,采样周期采样周期T越小越小,则离散化则离散化精度越高。精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期采样周期T不宜不宜太小。太小。q例例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程统的状态方程:q解解 由近似离散化法计算公式由近似离散化法计算公式,对本例有对本例有近似离散化方法近似离散化方法(4/6)例例3-12于是该连续系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为近似离散化方法近似离散化方法(5/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为2.当当T=0.001s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为q对上述近似离散化法的精度可检验如下对上述近似离散化法的精度可检验如下:1.当当T=1s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为近似离散化方法近似离散化方法(6/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为q从上述计算结果可知从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。近似离散法只适用于较小的采样周期。