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1、第八节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第十二章 复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.如个别为0,则理解为分子为 0.不全为0,
2、因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数,则 为 r(t)的矢端曲线,处的导向量 就是该点的切向量.例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为 空间两张曲面的交则在点切线方程切线方程有或也可表为法平面方程法平面方程例例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法解法1 令则即切向量法平面方程即解法解法2.方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点 M(1,2
3、,1)处的切向量1 设光滑曲面方程为设光滑曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二二 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线(Tangent plane and normal line of surface)即通过其上定点即通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.证:在
4、 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令例例4.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又
5、点 M 在球面上,于是有相切.与球面,因此有1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1)隐式情况.的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点
6、为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P200 1,2,3,4,5,6,7,82.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为 1.证明曲面与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.设光滑曲面的参数方程为设光滑曲面的参数方程为其中其中D为为R2中的区域。中的区域。曲面方程也可以表示成参数形
7、式曲面方程也可以表示成参数形式并设并设M(x0 0,y0 0,z0 0)()(x0 0=x(u0 0,v0 0)，y0=y(u0,v0)，z0=z(u0,v0)为为S上的一点，不失一般性，不妨假设上的一点，不失一般性，不妨假设在某个邻域上在某个邻域上代入代入得到曲面得到曲面S在在M 附近的显式表示附近的显式表示且成立且成立 那么由例那么由例5知，可以由知，可以由唯一确定反函数唯一确定反函数再由z=f(x,y)得到于是曲面S在M点的切平面的法矢量为或从而,切平面的法矢量也可表为如下的行列式形式对照从而S的切平面方程为即法线方程为例1.求曲面在所对应的点处的切平面方程和法线方程。解：因为所以在因此曲面在这点的切平面方程为于是在这点处与对应的法线方程为即 作业作业 P201 11,13,14,15