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1、现代控制理论现代控制理论第一章 控制系统的状态空间模型1-1 1-1 状态及状态空间状态及状态空间表达式表达式1-2 1-2 由由微分方程求状态空间表达式微分方程求状态空间表达式1-3 1-3 由传递函数求状态空间表达式由传递函数求状态空间表达式1-4 1-4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换1-1.状态及状空间表达式 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是。它的数学模型就是状态空间表达式。状态空间表达式。一一.状态及状态空间状态及状态空间1.1.状态：什么叫系统的状态呢？状态：什么叫系统
2、的状态呢？定义：能够定义：能够完全描述完全描述系统时域行为的一个系统时域行为的一个最小变最小变量组量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。中的每个变量称为系统的状态变量。注意：注意：完全描述：若给定完全描述：若给定 t=tt=t0 0 时刻这组变量的值（初时刻这组变量的值（初始状态）又已知始状态）又已知t ttt0 0 时系统的输入时系统的输入u u(t t)，则系，则系统在统在 t ttt0 0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。被确定。最小变量组：即这组变量应是线性独立的。最小变量组：
3、即这组变量应是线性独立的。例：例：RCRC网络如下图所示，试选择系统的状网络如下图所示，试选择系统的状态变量态变量u(t)RC2C1C3i1i2i3 在在t=tt=t0 0时，若已知时，若已知u uc c1 1(t t0 0),),u uc c2 2(t t0 0),),u uc3c3(t t0 0)和和u u(t t),),则可求得输出则可求得输出y y(t t),(),(t tt t0 0)故可选故可选u uc1c1(t t),),u uc2c2(t t),),u uc3c3(t t)作为状态变量。作为状态变量。但因但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因显然他们是线性相关的
4、，因此，最小变量组的个数应是二。此，最小变量组的个数应是二。一般的：一般的：状态变量个数状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数系统的阶数 状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是量组是2个独立变量，可在个独立变量，可在 uc1,uc2,uc3中任选中任选2个，个，选法不唯一。选法不唯一。3.3.状态空间：状态空间：定义：由系统的定义：由系统的n n个状态变量个状态变量x x1 1(t t),),x x2 2(t t),),x xn n(t t)为坐标轴，构成的为坐标轴，构成的n n维欧氏空间，称为维欧氏
5、空间，称为n n维状态空间。维状态空间。引入状态空间，即可把引入状态空间，即可把n n个状态变量用矢量形式表示个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量出来，称为状态矢量又表示为：又表示为：x x(t t)R Rn n x x(t t)属于属于n n维状态空间维状态空间 4.4.状态轨线：状态轨线：定义：系统状态矢量定义：系统状态矢量的端点的端点在状态空间中所在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是态是x x1010,x
6、x2020,x x30 30。在。在u u(t t)作用下作用下 ，系统的状态开，系统的状态开始变化，运动规律如下：始变化，运动规律如下：引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。系统在某时刻的状态。二二.状态空间表达式状态空间表达式 它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。1.1.建立方法：建立方法：例例1-1.1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧
7、弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统解：列基本方程：解：列基本方程：选择状态变量：取：选择状态变量：取：故得：故得：将以上方程组写矩阵形式将以上方程组写矩阵形式即即 系统的完整描述，必须具有两部分内容，前系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1.1.首先根据基本规则列基本方程；首先根据基本规则列基本方程；2.2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）选择系统的状态变量；（按状态定义选）3.
8、3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。空间表达式。2.2.一般形式：一般形式：对于一般的对于一般的n n阶线性定常系统（阶线性定常系统（n n个状态，个状态，r r个输个输入，入，m m个输出）个输出）多输入多输出系统多输入多输出系统对象对象输出输出元件元件u1 u2 urx1 x2 xny1 y2 ym 其中：其中：C-输输出矩出矩阵阵 mn阶阶常数矩常数矩阵阵D-直直连连矩矩阵阵 mr阶阶常数矩常数矩阵阵3.一般线性时变系统：一般线性时变系统：区别在于：上述矩阵是时间区别在于：上述矩阵是时间t t的函数的函数(变系数微分变系数微分方程方
9、程)4.非线性定常系统非线性定常系统:6.6.线性系统状态空间表达式的简便写法：线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示故可用四联矩阵来简单表示:=(=(A A,B B,C C,D D)定常定常=(=(A A(t t),),B B(t t),),C C(t t),),D D(t t)时变时变5.5.非线性时变系统：非线性时变系统：三三.线性系统的结构图线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式根据线性系统的
10、状态空间表达式的一般形式 ：按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C(t)B(t)dt+XY(t)u(t)结构图：结构图：在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入单输出系统例：单输入单输出系统a11c1b1b2a22a21a12c2dtdt+x1x2y 由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以
11、上图又称计算机模拟图。用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。下面举例说明：下面举例说明：例：例：试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。达式，并画出其结构图。M Ra ua La ia Uf=const EaJ:电动机轴上的转动惯量电动机轴上的转动惯量f:负载的阻尼摩擦性质负载的阻尼摩擦性质解：由基本规律列写原始方程：解：由基本规律列写原始方程：电路方程：电路方程：选状态变量选状态变量:故得状态方程：故得状态方程：而输出方程为：而输出方程为：最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图11+
12、u(t)x1x2x3+Y(t)小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入输出描述更近了一步。输出描述更近了一步。1.1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：把输入到输出的控制过程分成了两阶段：即即 u(t)状态方程状态方程输出方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t)2.2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。不唯一。3.3.由于状态变量的
13、个数与系统独立储能元件的个由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂加变复杂 ，其形式是一致的。，其形式是一致的。1-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式：这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。一.输入项
14、中不含有导数项：假设单输入单输出线性系统的微分方程为：其中：为一种规范形称为友矩阵友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道，二.输入项中包含有导数项：以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法：方法二：首先引入中间变量z z，令：这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。例例
15、 将以下高阶微分方程：试用方法二写出其状态空间表达式。解：解：按方法二可得：1.3 由传递函数求状态空间表达式 T-F D-E S-E 传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。根据前面介绍的 微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。一、传递函数中没有零点时的变换一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为：系统的微分方程为：则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：传递函数也可分解成下图所示的结构。选状态变量为：对应的状态空间表达式为：其中阵和阵为规范形式，
16、这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示：能控标准形实现的模拟图 二、传递函数中有零点时的变换二、传递函数中有零点时的变换传递函数为：微分方程为：则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：式中 分解式第一部分是系统结构决定的。描述系统的自由运动规律。当选中间变量z及z的各阶导数为一组相变量形式时。得到的状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于相变量组各变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。若传递函数等效为：式中此时
17、，式中的C阵和D阵可直接写成：由此画出的系统计算机模拟图如图所示。能控标准形实现模拟图例例:已知系统的传递函数：试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：由公式写出能控标准形为：1若将传递函数化成严格真有理分式，则 按简化公式可得：，一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则 b0=0,传递函数为严格真有理分式形式，即，式中 是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。1试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：将传递函数整理成标准形式 按上式写出能控标准为：例：例：已知系统的传递函数 1.4 1.4 由传递函数部分分式法求状态空间由传递函数部
18、分分式法求状态空间表达式表达式 本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以讨论。1.传递函数无重极点的情况：给出T-F:其中：拉氏反变换得：令状态变量的拉氏变换为：而由输出可得：所以：反变换得：可见，各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。对应的状态结构图如下：注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。即：则：存在输出到输入的直连通道。例：已知 求S-E解：先化为真有理式 2.传递函数有重极点时 设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为：
19、其中：即：设状态变量为：又 3.对于即有单根，又有重根的情况：可根据以上两种情况写出矩阵A.B.C.例：设T-F为 解：得：1-5.1-5.由结构图建立状态空间表达式：由结构图建立状态空间表达式：一、若已知闭环系统的结构图，则由结构图直接建立系统的状态空间表达式。举例说明建立方法：例：已知某系统的结构图如下：试建立系统状态空间表达式。解：（1）首先将结构图中每个方框的T-F分解为单环节的组合。即仅由惯性环节 和积分 环节的简单形式组合：方框图分解为：（2）将每一个基本环节的输出设为状态变量（如上图）（3）写状态空间表达式。反变换二、基本环节结构图分解1、一阶环节 U(s)Y(s)2、二阶环节、
20、二阶环节 U(s)Y(s)U(s)Y(s)根据分子分母分离法 按图中状态变量显然输出方程为:U(s)Y(s)前面介绍了由D-E，T-F S-E的方法。作为数学模型的各种形式，是可以相互转换的。下面介绍一种简便的由S-E D-E，T-F的方法：拉氏变换法：设单变量系统的状态空间表达式为：零初始条件下，取拉氏变换，对S-E.1.6由状态空间表达式转换为传递函数：P54 再对输出方程取拉氏变换.1.求T-F.2.求D-E由对上式进行反变换即得D-E。显然 是方程的特征多项式。例：已知：试求：D-E和T-F解：故：T-F 又反变换得D-E：注：这种方法是根据状态方程和输出方程两部分共同来写D-E和T-
21、F的。U1-7 状态方程的线性变换状态方程的线性变换 P40 如前所述，一个n n阶系统必有n n个状态变量。然而，这n n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。一.线性变换的概念 1.定义：状态 与 的变换，称为状态的线性变换 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：其中为任何非奇异 阵。2.基本关系式:设一个n阶系统，状态矢量为x x,其状态空间表达式为 现取线性变换为 ,其中:是 阶非奇异阵。代入上述表达式，得比较可得：可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。例:试建立下面RLC网
22、络的状态空间表达式：解：根据电路原理，得基本方程4.验证两状态空间表达式的变换关系 经变换后的状态为：对应的变换矩阵为：二.状态变换的基本性质 1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。下面复习一下线性代数的几个定义。-矩阵用参数的多项式做元的矩阵叫做 -矩阵。常数可看做的零次多项式。叫做A的特征矩阵特征矩阵设常数矩阵 那么-矩阵特征多项式特征矩阵的行列式 是首项系数为1的的n次多项式，叫做A的特征多项式，其中特征根叫做A的特征根。显然：n 阶矩阵有n个特征根（实根和共轭虚根）因为多项式的常数项为 若A是降秩
23、的 ，特征根中有零根。用以上概念讨论下列齐次线性方程组：其有非零解的充要条件是则 又称为矩阵A的特征方程，其根的特征值下面给出系统特征值的定义定义：线性定常系统的状态方程为系统矩阵A的特征值，称为系统的特征值。2.基本性质：定理：状态变换不改变系统的特征值。证明：若能证明 则可以证出矩阵A和 的特征值必然相等 由于线性定常系统，系统的特征值决定了系统的基本特性。因此，线性变换不能改变系统的基本特性。例：试求系统矩阵 的特征值。并说明 经过线性变换后，其特征值的不变性。解：若取变换矩阵 和 分别为三.一类重要的线性变换化A阵为对角形或约当标准形条件：设系统的特征值为 1.若 互不相同：定理：线性
24、定常系统，若其特征值互不相同，则必存在一非奇异矩阵P P，通过线性变换，使A A阵化为对形。即：注：A A 阵转化为 对角形以后。状态方程 中，各状变量间的耦合关系即随之消除，称之为状态解耦。由定理知，将A A阵化为对角形的关键就是求转化阵P P。下面介绍两种求P P 阵的方法：例：设系统的状态方程为：试求将A A阵变换为对角阵后的状态方程.3.由各特征矢量构成P P阵：解方法二：对正则形式下矩阵A的变换阵 定理：线性定常系统，若A阵具有以下形式：2例：例：系统状态空间表达式为：试变换为对角线标准形。特征值为：系统矩阵A为友矩阵，则变换阵P可取范德蒙阵，即：,解解：系统特征方程为：经线性变换后
25、系统状态空间表达式为：2.A阵有相重特征值：（P444.）若A阵具有重特征值，又可分为两种情况来讨论：*1）A阵有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量，此时仍可把A化为对角形，方法同情形1。例：已知矩阵将A化为对角形或约当形。可等效为方程组：*2）A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n，此时A不能转化为对角形。但一定可以转化为以下约当标准形：化约当标准形的问题比较负，复杂，下面只讨论一种最简单的情况：定理：若A阵具有特征值，且对应于每个互异的特征值的独立特征矢量的个数为1时，则必存在一非奇异矩阵Q，可使A阵化为约当标准形，即 确定变换阵Q的方法：方法一：例：1.，2 为2重根，即
26、代数重数为2，独立特征向量个数(几何重数)为：，必存在广义特征向量。见见P45式式2-51 方法二：若A阵具有如下标准式：并且对应于重特征值只能求得一个独立的特征向量，则化为约当标准形的变换为Q阵的规律可表示为：例：例：已知系统矩阵试化A为约当标准形。解：解：求特征值得：取Q阵为：所以，A的约当形为：1.8多变量系统的传递函数阵 一.传递矩阵的概念 1.传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单入、单出线性定常系统输入输出间的传递特性。其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。即 或 对于双输入双输出系统(见下页图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出。
27、如：u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。表示成矩阵形式：则G G(s)称为系统的传递函数阵或称传递矩阵。对于多输入，多输出线性定常系统，也可把传递函数阵的概念如上推广。设系统有r个输入变量，m个输出变量。则传递矩阵的形式为：即U(s):输入矢量.Y(s):输出矢量E(s):误差矢量G0(s):前向通道的传递矩阵H(s):反馈通道的传递矩阵F(s)2.闭环传递函数矩阵：系统闭环传递函数的概念也可推广到多输入多输出系统中，称为闭环传递矩阵。设多输入多输出闭环系统如下：由结构图知：而所以闭环传递矩阵为：故左乘逆阵 得表示第i个输出其
28、中：2).传递矩阵是一个mr 阶矩阵，其一般形式为：1).传递矩阵是传递函数在多变量系统中的推广。它描述了输入矢量与输出矢量之间的传递特性。注意矢量不能写成 的比值形式。也不能任意交换运算顺序。如：几点讨论：可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。3).若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为对角形，称为传递矩阵的解耦形式。与第j个输入之间的传递函数。显然：一般情况下第i个输出要由r个输入共同作用下，通过叠加得到，这是一种交叉耦合关系。例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。输入：F1,F2 输出：Y1,Y2求传递矩阵。二.传递函数的
29、求法：1.由微分方程的拉氏变式求传递矩阵.解：写微分方程写成矩阵形式：设初始条件为零，取拉氏变换：得设零初始条件，取拉氏变换.2.由状态空间表达式求传递函数阵：S-E T-M 已知多输入多输出线形定常系统的状态空间表达式为:可见 是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统的特征多项式，故A的特征值就是 G(s)的极点。代入输出解：求传递函数。例：已知标量系统：例：1.求出每个输出与各个输入的传递函数 2.将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传递形式.3.按图中输入输出关系写传递矩阵.3.由系统结构图求传递函数阵：-即定理：线性变换不改变系统得传递矩阵.三.传递矩阵的性质：则变换后：取线性变换P
30、：证明：设原系统的传递矩阵为：小结：三种数学模型的相互关系：复域传递函数（阵）微分方程(组）时域状态空间表达式可任选N个状态变量.结论：传递矩阵对应确定输出输入关系.（唯一）2.5.3 组合系统的状态空间模型和传递函数阵组合系统的状态空间模型和传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联、串联和反馈3种基本组合联结形式表示。下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵。1.并联联结并联联结图图2-15 并联联接组合系统方块结构图并联联接组合系统方块结构图设对应于图2-15示的并联联结的组合系统的两个子系统
31、的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为从图2-15可知u1=u2=u y1+y2=y 故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此,并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。2.串联联结串联联结图图2-16 串联联接组合系统方块结构图串联联接组合系统方块结构图设图2-16所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。从图2-16可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可导出
32、串联组合系统的状态空间方程为相应的输出方程为即有因此,由上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为因此,串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。3.反馈联结反馈联结图图2-17 反馈联接组合系统方块结构图反馈联接组合系统方块结构图设对应于图2-17所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为从图2-17可知u1=
33、u-y2 u2=y1=y 因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为即有 故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s)故I+G0(s)F(s)Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)由反馈联结组合系统的联结图2-17可知U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=I+F(s)G0(s)U1(s)=I+F(s)G0(s)Y(s)
34、故 Y(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数又可写为G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1按图2-17,还可作如下推导2.6.2 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述在经典控制理论中,离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：y(k+n)+a1y(k+n-1)+any(k)=b0u(k+n)+bnu(k)式中：k表示第k次采样的kT时刻；T为采样周期；y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量;ai和bi为表征系统特性的常系数。考虑初始条件为零时的变换关系 对上述差分方程
35、模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函数(z域传递函数)q上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模型。在状态空间法中,采用以下的离散状态方程和离散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空间模型对离散系统进行描述,即 其中x(kT)、u(kT)和和y(kT)分别分别为n维的状态向量、r维的 输入向量和m维的输出向量;G(T)、H(T)、C(T)和和D(T)分别分别为nn维的系统矩阵、nr维的输入矩阵、mn维的输出矩阵和mr维的直联矩阵。离散系统状态空间模型的意义:状态方程状态方程为
36、一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x(k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去,于是有与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。图2-21 线性定常离散系统状态空间模型的结构图还记得线性连续系统的结构图?与线性定常
37、离散系统类似,对于线性时变离散系统,其状态空间模型可记为从线性连续系统和线性离散系统的状态空间模型和相应的结构图,以及传递函数模型可以看出,线性连续系统和线性离散系统在模型结构上极为相似,这种相似性可以总结如下表所示:线性连续系统线性离散系统状态方程微分方程前向差分方程结构图中算子积分单位延迟(反向差分)动态模型中算子拉氏变换s算子z变换z算子还有其他对应关系?2.6.3 离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模 与连续时间系统的通过系统机理来建立状态空间模型方法一样,对已掌握系统机理的离散时间系统也可以通过机理分析建立状态空间模型。人口分布问题是一个典型的社会系统。通过对人口分布问题建立
38、状态空间描述模型,可以分析和预测人口分布的发展态势。下面讨论一个经过适当简化的城乡人口分布问题,并以此人口模型的状态空间描述为例,讨论如何通过系统机理建立离散系统的状态空间描述。例例2-13 假设某个国家普查统计结果如下。2001年城乡人口的分布是,城市人口为1千万,乡村人口为9千万。人口的自然流动情况是,每年有2%上一年城市人口迁移去乡村,同时有4%上一年乡村人口迁移去城市。人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会导致5万乡村人口流向城市。试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输
39、入变量,全国人口数为输出变量的状态空间描述模型。解解 符号和约定。记k为离散时间变量,取k=0代表2001年。设x1(k)和x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口;u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段;y(k)为第k年的全国人口数。选取变量。考虑到问题中城市人口x1和乡村人口x2的极大线性无关性,可取城市人口x1和乡村人口x2为状态变量。建立状态变量方程。基于问题给出的参量,即第k+1年相比于第k年的人口迁移、自然增长和政策控制等关系,可以定出反映第k+1年城市人口和乡村人口的分布的状态变量方程为其中k=0,1,2,.建立输出变量方程。反映全国人口变化态势的输出变量方程为y(k)=x1(
40、k)+x2(k)导出向量方程形式的状态空间描述。将方程表为向量方程形式的描述,就得到人口分布问题的状态方程和输出方程:记成矩阵形式为其中上述建立人口分布的离散状态空间模型是以地区(区域)人口分布及自然增长率来建立的。实际上也可以采用年龄段人口数及育龄妇女生育率来建立人口分布的离散状态空间模型,或者结合两种方法建立更精确、完善的人口分布模型。以所建立的模型为基础,就可以进行人口分布演变的计算机仿真、分析与控制(制订与实施人口政策)。基于Matlab工具,读者可自行完成人口演变的计算机仿真。2.6.4 由离散系统的输入输出关系建立状态空由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型 由于线性离散系
41、统与线性连续系统的状态空间模型、传递函数以及高阶微分方程和差分方程之间具有结构形式上的一致性,故建立线性定常离散系统的状态空间模型时可借助于在线性定常连续系统中运用的方法。在具体运用时,可将 微分差分 拉氏变换算子Z变换算子 相对应,直接利用在2.3节由连续系统的输入输出关系建立状态空间模型的方法,来建立线性离散系统的状态空间模型。下面举例说明。例2-14 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型:y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k+2)+2u(k+1)+u(k)解解 1.根据节中方法求解。对本例a1=5 a2=6 b0=1 b1=2 b2=1 故由中式(2-26)可得0=b0=
42、11=b1-a10=-32=b2-a11-a20=10因此,与式(2-24)和(2-25)相类似,可写出如下线性离散系统的状态空间模型:2.根据节中方法求解。对本例,有将G(z)展开成部分分式之和,则有故与节中式(2-34)和(2-35)相类似,可得如下线性离散系统的状态空间模型:2.6.5 由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵与线性定常连续系统相类似,对MIMO线性定常离散系统,也可引入描述输入输出动态关系的z域中的传递函数阵如下:其中G(z)中每个元素为标量传递函数。下面讨论如下线性定常离散系统的状态空间模型所对应的传递函数阵:q令状态变量向量x(k)的
43、初始值为0,则对状态方程两边求z变换可得 zX(z)=GX(z)+HU(z)其中X(z)和U(z)分别为x(k)和u(k)的z变换。由上式有X(z)=(zI-G)-1HU(z)因此有 Y(z)=C(zI-G)-1H+DU(z)其中Y(z)为y(k)的z变换。故,传递函数阵为G(z)=C(zI-G)-1H+D可以看出,离散系统状态空间模型对应的传递函数阵与连续系统状态空间模型的传递函数阵形式与结构完全一致。例2-15 求如下系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)。解 由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有第一章总结一、几个重要概念 状态状态 表征系统的运动状况，是一些确定系统动态行为的信息
44、的集合，即一组变量的集合。状态变量状态变量 确定系统状态的一个最少变量组中所含的变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。状态向量状态向量 以状态变量为元素构成的向量。状态空间状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间，系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。状态轨迹状态轨迹 在状态空间中，状态点随时间变化的轨迹。状态方程状态方程 由状态变量构成的一阶微分方程组，表示每个状态变量的一阶导数与各状态变量及输入变量的关系式。输出方程输出方程 输出变量与状态变量和输入变量之间的代数方程组，表示每个输出变量与内部状态变量和输入变量的组合关系。完全描述完全描述 指对系统运动规律的全面确定。当状态
45、初值和输入确定之后，系统的零输入响应和零状态响应就唯一确定了。状态方程输出方程二、线性定常系统状态空间表达式的一般形式：状态空间模型把系统从输入到输出的响应过程划分为两个阶段来分别描述，第一阶段是输入到状态变量之间的动态微分方程组，描述状态响应输入的变化过程。第二阶段是状态变量到输出的代数方程，描述状态到输出的转换和组合关系。即：状态空间表达式的特点：1）模型的型式统一，任意阶次的系统，都用简单的四联矩阵表示，即。2）独立状态变量的个数等于系统的阶次 。3）状态变量的选取是非唯一的。4)模型是时域的，但可用信号流图或结构图画出系统的状态变量图，直接进行模拟仿真。三、状态空间表达式的建立方法 1
46、 1）直接建模法）直接建模法：直接建模法是一种分析法，建立的模型往往具有较明显的物理意义，由于状态的初值根据系统储能元件的初始状态确定比较容易，一般在分析法中直接取储能元件所对应的变量做为状态变量，且这种方法对多输入多输出系统也同样适用。2 2）系）系统实现统实现法法（仅讨论单变量系统）a)能控标准形实现 情况1：输入不含导数项状态变量图如图所示。状态变量取等价输出相变量，即：则情况2：微分方程输入含有导数项，即：则传递函数含有零点对应的系统矩阵为：注：由此选择的状态变量不再具有明显的物理意义，这是存在的不足之处。从能控标准形实现的状态图可以看出，各积分环节是串联在一起的，故称这种结构为串联实
47、现串联实现。b)对角形和约当形实现（部分分式法）情况1：传递函数无重极点 则有对角形实现为：，状态变量图如图所示。情况2：传递函数有重极点 则有约当形实现为：3)3)结构图分解法a)一阶环节的分解b)二阶环节的分解c)闭环系统的结构分解 原则1.将结构图中每个方框分解成一阶、二阶典型状态图形式，然后从输出端依次向前顺序设置状态变量，一般设在每个积分环节输出端，即可按结构图关系写出状态方程。原则2.可将结构图各单元分解成无零点的一阶环节的组合，然后在每个一阶环节输出端设置状态变量。如图。多变量系统的传递函数阵是单变量系统传递函数的推广，对应于线性定常系统，用拉氏变换在复数域建立多变量系统的数学模
48、型。四、传递函数阵 1）直接法求传递函数阵步骤：a)直接列写原始方程组。b)取拉氏变换化为代数方程。c)消中间变量，仅保留输入和输出变量。d)写成矩阵方程即得传递函数阵。2）由结构图及梅逊公式求传递函数阵原则：根据结构图，利用叠加原理，写出每对输入输出间的传递函数 ，最后按顺序组成传递函数阵。多输入多输出系统如图所示。3）由状态空间表达式求传递函数阵a)独立系统：b)组合系统：可分别求出各子系统的传递函数阵，然后按以下法则进行运算，得出系统总的传递函数阵，见下页图 子系统组合图五、状态向量的线性变换a)状态变换的定义：或 b)四联矩阵变换关系:c)基本性质：状态变换不改变系统的特征值及传递函数阵，即：d)一类重要线性变换-化A为对角形或约当形。对对角形角形：A的特征值互异，有变换阵 ，使其中Pi为特征向量，满足约约当形当形：A有相重特征值，有变换阵 ,使其中，Qi为特征向量和广义特征向量，而广义特征向量应满足：结 束