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1、算法设计与分析p 复习题目及答案详解分治法 1、二分搜索算法是利用分治策略实现的算法。9.实现循环赛日程表利用的算法是分治策略 27、Strassen矩阵乘法是利用分治策略实现的算法。34实现合并排序利用的算法是分治策略 。实现大整数的乘法是利用的算法分治策略 。17实现棋盘覆盖算法利用的算法是分治法 。29、使用分治法求解不需要满足的条件是子问题必须是一样的 。不可以使用分治法求解的是0/1背包问题 。动态规划 以下不是动态规划算法根本步骤的是 构造最优解 以下是动态规划算法根本要素的是子问题重叠性质 。以下算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是动态规划法备忘录方法是那种算法的变形。 动态
2、规划法 最长公共子序列算法利用的算法是动态规划法 。矩阵连乘问题的算法可由动态规划算法B设计实现。实现最大子段和利用的算法是动态规划法 。贪心算法 能解决的问题：单最短途径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题， 不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题 是贪心算法的根本要素的是贪心选择性质和最优子构造性质。回溯法 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是 排列树 。剪枝函数是回溯法中为防止无效搜索采取的策略 回溯法的效率不依赖于以下哪些因素 确定解空间的时间分支限界法 最大效益优先是分支界限法 的一搜索方式。分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是最大堆 。分支限界法解旅行售货
3、员问题时，活结点表的组织形式是 最小堆 优先队列式分支限界法选取扩展结点的原那么是 结点的优先级 在对问题的解空间树进展搜索的方法中,一个活结点最多有一次时机成为活结点的是( 分支限界法 ).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法 )之外都是最常见的方式.1队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出FIFO原那么选取下一个节点为扩展节点。2优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。最优子构造性质是贪心算法与动态规划算法的共同点。贪心算法与动态规划算法的主要区别是贪心选择性质 。回溯算法和分支限界法
4、的问题的解空间树不会是( 无序树 ).14哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为B 。A、On2nB、OnlognC、O2nD、On21、下面关于NP问题说法正确的选项是B A NP问题都是不可能解决的问题 B P类问题包含在NP类问题中 C NP完全问题是P类问题的子集 D NP类问题包含在P类问题中 40、背包问题的贪心算法所需的计算时间为B A、On2n B、Onlogn C、O2n D、On420-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为A A、On2nB、OnlognC、O2nD、On.47.背包问题的贪心算法所需的计算时间为B 。A、On2nB、OnlognC、O2nD、On53采用贪心
5、算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法的时间复杂度为 ( B ) 。A、On2nB、OnlognC、O2nD、On56、算法是由假设干条指令组成的有穷序列，而且满足以下性质 D 1输入：有0个或多个输入 2输出：至少有一个输出 3确定性：指令明晰，无歧义 4有限性：指令执行次数有限，而且执行时间有限 A (1)(2)(3) B(1)(2)(4) C(1)(3)(4) D (1) (2)(3)(4) 57、函数32n+10nlogn的渐进表达式是( B ).A.2n B.32n C.nlogn D.10nlogn 59、用动态规划算法解决最大字段和问题，其时间复杂
6、性为( B ).A.logn B.n C.n2 D.nlogn 61、设f(N),g(N)是定义在正数集上的正函数,假如存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)Cg(N),那么称函数f(N)当N充分大时有下界g(N),记作 f(N)(g(N),即f(N)的阶( A )g(N)的阶.A.不高于 B.不低于C.等价于 D.逼近 二、 填空题 2、程序是 算法用某种程序设计语言的详细实现。3、算法的“确定性”指的是组成算法的每条 指令 是明晰的，无歧义的。6、算法是指解决问题的 一种方法 或 一个过程 。7、从分治法的一般设计形式可以看出，用它设计出的程序一般是 递归算法 。11、计算一
7、个算法时间复杂度通常可以计算 循环次数 、 根本操作的频率 或计算步。14、解决0/1背包问题可以使用动态规划、回溯法和分支限界法，其中不需要排序的是 动态规划 ，需要排序的是 回溯法 ，分支限界法 。15、使用回溯法进展状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目的函数的界，N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目的函数的界进展裁剪的是 0/1背包问题 ，只使用约束条件进展裁剪的是 N皇后问题 。30.回溯法是一种既带有 系统性 又带有 跳跃性 的搜索算法。33回溯法搜索解空间树时，常用的两种剪枝函数为 约束函数 和 限界函数 。34.任何可用计算机求解的
8、问题所需的时间都与其 规模 有关。35.快速排序算法的性能取决于 划分的对称性 。36.Prim算法利用 贪心 策略求解 最小生成树 问题，其时间复杂度是 O(n2) 。37.图的m着色问题可用 回溯 法求解，其解空间树中叶子结点个数是 mn ，解空间树中每个内结点的孩子数是 m 。4.假设序列_=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，请给出序列_和Y的一个最长公共子序列 BABCD或CABCD或CADCD。5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含一个最优解 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_o(n_2n)_,用动态规划算法所需
9、的计算时间为_o(minnc,2n_。二、综合题50分1.写出设计动态规划算法的主要步骤。问题具有最优子构造性质；构造最优值的递归关系表达式；3最优值的算法描绘；构造最优解；2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。令N1=i|ai=bi；将N1中作业按ai的非减序排序得到N1，将N2中作业按bi的非增序排序得到N2；N1中作业接N2中作业就构成了满足Johnson法那么的最优调度。3.假设n=4，在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最
10、优值。步骤为：N1=1，3，N2=2，4；N1=1，3， N2=4，2；最优值为：38 4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间从根出发，左1右0，并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。解空间为(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1), (1,1,0),(1,1,1)。解空间树为：A B C F E D G K J I H O N M L 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 该问题的最优值为：16 最优解为：1
11、，1，05.设S=_1，_2，_n是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素_，返回的结果有两种情形，1在二叉搜索树的内结点中找到_=_i，其概率为bi。2在二叉搜索树的叶结点中确定_i，_i+1，其概率为ai。在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素_i的结点深度为Ci；叶结点_i，_i+1的结点深度为di，那么二叉搜索树T的平均路长p为多少？假设二叉搜索树Tij=_i，_i+1，_j最优值为mij，Wij= ai-1+bi+bj+aj，那么mij(1j) 6.描绘0-1背包问题。一个背包的容量为C，有n件物品，物品i的重量为Wi，价值为Vi，求应如
12、何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。三、简答题30分1.流水作业调度中，有n个作业，机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，请写出流水作业调度问题的johnson法那么中对ai和bi的排序算法。函数名可写为sort(s,n)2.最优二叉搜索树问题的动态规划算法设函数名binarysearchtree)1.void sort(flowjope s,int n) int i,k,j,l; for(i=1;in) break;/-没有ai，跳出 else for(j=k+1;jsj.a) k=j; swap(si.inde_,sk.inde_); swap(si.t
13、ag,sk.tag); l=i;/-记下当前第一个bi的下标 for(i=l;i=0;r-) /自底向上递归计算 for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1ctr+1c+1) 2 ；else 3 ；3、Hanoi算法 Hanoi(n,a,b,c) if n=11 ；else 2 ；3 ；Hanoi(n-1,b, a, c); 4、Dijkstra算法求单最短途径 du:s到u的间隔 pu:记录前一节点信息 Init-single-source(G,s) for each verte_ vVG do dv=; 1 ds=0 Rela_(u,v,w) if dvdu+w(u,v) then
14、dv=du+wu,v; 2 dijkstra(G,w,s) 1.Init-single-source(G,s) 2.S= 3.Q=VG 4.while Q do u=min(Q) S=Su for each verte_ 3 do 4 四、算法理解题此题10分根据优先队列式分支限界法，求以下图中从v1点到v9点的单最短途径，请画出求得最优解的解空间树。要求中间被舍弃的结点用标记，获得中间解的结点用单圆圈框起，最优解用双圆圈框起。五、算法理解题此题5分设有n=2k个运发动要进展循环赛，现设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次；每个选手一天至多只能赛一次；循环赛
15、要在最短时间内完成。1假如n=2k，循环赛最少需要进展几天；2当n=23=8时，请画出循环赛日程表。六、算法设计题此题15分分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计0-1背包问题。要求：说明所使用的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析p 算法的时间。七、算法设计题此题10分通过键盘输入一个高精度的正整数n(n的有效位数240)，去掉其中任意s个数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n 和s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。【样例输入】 178543 S=4 【样例输出】 13 二、简答题此题25分，每题5分6、 分治法的根本思想是将一个规模为n的问题分解为
16、k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题一样；对这k个子问题分别求解。假如子问题的规模仍然不够小，那么再划分为k个子问题，如此递归的进展下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。7、 “最优化原理”用数学化的语言来描绘：假设为理解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，Dn，如假设这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 c) break; _i=1; c-=wi; if (i=wn_/ mnj=vn; for (i=n-1;i1;i-) int jMa_=min(wi-1,c); f
17、or (j=0;j=wn_/ mij=ma_(mi+1j,mi+1j-wi+vi); m1c=m2c; if(c=w1) m1c=ma_(m1c,m2c-w1+v1); 3回溯法 O(2n) cw:当前重量 cp:当前价值 bestp：当前最优值 voidbacktrack(inti) /回溯法 i初值1 if(in) /到达叶结点 bestp=cp; return; if(cw+wibestp) /搜索右子树 backtrack(i+1); 七、算法设计题此题10分为了尽可能地逼近目的，我们选取的贪心策略为：每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，假设各位数字递
18、增，那么删除最后一个数字，否那么删除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上述规那么再删除下一个数字。重复以上过程s次，剩下的数字串便是问题的解了。详细算法如下：输入s, n; while s 0 i=1; /从串首开场找 while (i 1) (n1=0) delete(n,1,1); /删去串首可能产生的无用零 输出n; 三、算法填空 1.背包问题的贪心算法 void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float _) Sort(n,v,w); int i; for (i=1;ic) break; _i=1; c - =wi; if (i0)
19、 b+= aj ；else b=ai; ；/一旦某个区段和为负，那么从下一个位置累和 if(bsum) sum=b; return sum； 3.快速排序 template void QuickSort (Type a, int p, int r) if (p void perm(Type list, int k, int m ) /产生listk:m的所有排列 if(k=m) /只剩下一个元素 for (int i=0;i int BinarySearch(Type a, const Type _, int l, int r) while (l void Mergesort(Type a ,
20、 int left, int right) if (left0) y=y_; (return y); 四、问答题 1.用计算机求解问题的步骤：1、问题分析p 2、数学模型建立3、算法设计与选择4、算法指标5、算法分析p 6、算法实现7、程序调试8、结果整理文档编制 2.算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 3.算法的三要素 1、操作2、控制构造3、数据构造 13.分治法与动态规划法的一样点是：将待求解的问题分解成假设干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。两者的不同点是：合适于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相
21、独立的。而用分治法求解的问题，经分解得到的子问题往往是互相独立的。回溯法中常见的两类典型的解空间树是子集树和排列树。22.请表达动态规划算法与贪心算法的异同。共同点：都需要最优子构造性质，都用来求有优化问题。不同点：动态规划：每一步作一个选择依赖于子问题的解。贪心方法：每一步作一个选择不依赖于子问题的解。动态规划方法的条件：子问题的重叠性质。可用贪心方法的条件：最优子构造性质；贪心选择性质。动态规划：自底向上求解；贪心方法：自顶向下求解。可用贪心法时，动态规划方法可能不适用；可用动态规划方法时，贪心法可能不适用。23.请说明动态规划方法为什么需要最优子构造性质。答：最优子构造性质是指大问题的最
22、优解包含子问题的最优解。动态规划方法是自底向上计算各个子问题的最优解，即先计算子问题的最优解，然后再利用子问题的最优解构造大问题的最优解，因此需要最优子构造.24.请说明：(1)优先队列可用什么数据构造实现？ (2)优先队列插入算法根本思想？ (3)优先队列插入算法时间复杂度？ 答：1堆。2在小根堆中，将元素_插入到堆的末尾， 然后将元素_的关键字与其双亲的关键字比拟， 假设元素_的关键字小于其双亲的关键字， 那么将元素_与其双亲交换，然后再将元素_与其新双亲的关键字相比，直到元素_的关键字大于双亲的关键字，或元素_到根为止。3O( log n) 26.在算法复杂性分析p 中，O、这三个记号的
23、意义是什么？在忽略常数因子的情况 下，O、分别提供了算法运行时间的什么界？ 答：假如存在两个正常数c和N0,对于所有的NN0，有|f(N)|C|g(N)|，那么记作：f(N)= O(g(N)。这时我们说f(N)的阶不高于g(N)的阶。假设存在两个正常数C和自然数N0，使得当N N0时有|f(N)|C|g(N)|，记为f(N)=(g(N)。这时我们说f(N)的阶不低于g(N)的阶。假如存在正常数c1，c2和n0，对于所有的nn0，有c1|g(N)| |f(N)| c2|g(N)| 那么记作 f(N)= (g,(N) O、分别提供了算法运行时间的上界、下界、平均 五、算法设计与分析p 题 1用动态
24、规划策略求解最长公共子序列问题：1给出计算最优值的递归方程。2给定两个序列_=B,C,D,A，Y=A,B,C,B，请采用动态规划策略求出其最长公共子序列，要求给出过程。答：1 (2) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 1 2 2 最长公共子序列： 2对以下各组函数f (n) 和g (n)，确定f (n) = O (g (n) 或f (n) =(g (n)或f(n) =(g(n)，并简要说明理由。(1) f(n)=2n；g(n)=n! (2) f(n)=；g (n)=log n2 (3) f(n)=100；g(n)=log100 (4) f(n)=n
25、3；g(n)= 3n (5) f(n)=3n；g(n)=2n 答：(1) f(n) = O(g(n) 因为g(n)的阶比f(n)的阶高。(2) f(n) = (g(n) 因为g(n)的阶比f(n)的阶低。(3) f(n) = (g(n) 因为g(n)与f(n)同阶。(4) f(n) = O(g(n) 因为g(n)的阶比f(n)的阶高。(5) f(n) = (g(n) 因为g(n)的阶比f(n)的阶低。3对以下图所示的连通网络G，用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法求G的最小生成树T,请写出在算法执行过程中，依次参加T的边集TE中的边。说明该算法的贪心策略和算法的根本思想，并简要分析p 算法的时间
26、复杂度。1 2 3 4 5 6 18 11 17 15 19 21 26 6 7 9 答：TE=(3,4), (2,3),(1,5),4,64,5 贪心策略是每次都在连接两个不同连通分量的边中选权值最小的边。根本思想：首先将图中所有顶点都放到生成树中，然后每次都在连接两个不同连通分量的边中选权值最小的边，将其放入生成树中，直到生成树中有n-1条边。时间复杂度为：O(eloge) 4.请用分治策略设计递归的归并排序算法，并分析p 其时间复杂性要求：分别给出divide、conquer、bine这三个阶段所花的时间，并在此根底上列出递归方程，最后用套用公式法求出其解的渐进阶。答 ：Template
27、 void MergeSort (Type a , int left, int right) if (left2；T(2)=1。因为 n=2 kk 为正整数，所以， T(n)= T(2 k)= 2T(2 k-1)+2= 22T(2 k-2)+ 22+2 = 2k-1T(2)+ 2k-2+23+22+2 = 2k-1+23+22+2。因此，T(n)=Q(n)。8.考虑使用动态规划方法求解以下问题：01背包数据如下表，求：可以放入背包的最有价值的物品集合。物品 i 重量 wi 价值 vi 承重量 W 1 w1=2 v1=12 W=5 2 w2=1 v2=10 3 w3=3 v3=20 4 w4=2
28、 v4=15 如设：V(i, j) 前 i 个物品中可以装入承重量 j 的背包中的最大总价值。请将如下递推式填写完好：V(0, j) = 00个物品，V(i, 0) = 0承重量0V(i, j) = V(i-1, j) 第 i 个物品不能装入， j wi 不超重i在最优子集中 i不在最优子集中 自底向上：按行或列填写下表。V j=0 1 2 3 4 5 i=0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 V j=0 1 2 3 4 5 i=0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 答：V(0, j) = 00个物品，V(i, 0) = 0承重量0V(i, j) =
29、 V(i-1, j) 第 i 个物品不能装入， j wi 不超重i在最优子集中 i不在最优子集中 V j=0 1 2 3 4 5 i=0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 V j=0 1 2 3 4 5 i=0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 12 12 12 12 2 0 10 12 22 22 22 3 0 10 12 22 30 32 4 0 10 15 25 30 37 9.请画出用回溯法解4皇后问题的解空间树和搜索空间树：解空间树：用回溯法的搜索空间树：10.考虑用分支限界解0-1背包问题 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为
30、C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 例如：n=3, C=30, w=16, 15, 15, v=45, 25, 25 求：1、问题的解空间树 2、约束条件 2、如何剪枝？ 解：问题的解空间树：约束条件：如何剪枝？：设r是当前尚未考虑的剩余物品价值总和；Cv是当前价值；bestv是当前最优价值。当rCvbestv时，可剪去右子树。11，请画出用回溯法解n=3的0-1背包问题的解空间树和当三个物品的重量为20, 15, 10，价值为20, 30, 25，背包容量为25时搜索空间树。答：解空间树：1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 7 8 11 12 14 15 3 10 6 9 搜索空间树：1 不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 8 11 12 14 15 13 10 6 9 第 14 页 共 14 页