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1、20192019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 24 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（
2、本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 集合，则 |1| 2Axx1 |393xBxAB A(1,2)B( 1,2)C(1,3)D( 1,3)2设 Sn是公差为的无穷等差数列的前 n 项和，则“d 0”是“数列(0)d d na有最大项”的nSA充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3ABC 中，若，则角 C 为(cos ,sin)mAA(cos , sin)nBB1 2m nA3B2 3C6D5 64已知，则展开式中的常数项为 11eadxx61()xaxA20B-20C-15D155正三棱柱 ABC
3、A1B1C1的所有棱长都为 2，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为A1 2B1 4C2 3D6 46已知函数，其图象相邻的两条对( )sin()3cos()(0,|)2f xxx 称轴方程为与，则0x 2xA的最小正周期为，且在上为单调递增函数( )f x2(0, )B的最小正周期为，且在上为单调递减函数( )f x2(0, )C的最小正周期为，且在上为单调递增函数( )f x(0,)2D的最小正周期为，且在上为单调递减函数( )f x(0,)27一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A1 2B3 16C17 4D17 48过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物
4、线在第一象限的交点为 A，直线 l22(0)ypx p与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的摄影为 C，若，AFFB ，则抛物线的方程为36BA BC A26yxB23yxC212yxD22 3yx9阅读右面的程序框图，输出结果 s 的值为A1 2B3 16C1 16D1 810在平行四边形 ABCD 中，AEEB 2CFFB 连接 CE、DF 相交于点 M，若，则实数AMABAD 与 的乘积为A1 4B3 8C3 4D4 311已知函数的两个极值点分别为 x1，x2，且，32()1 32xmxmn xy1(0,1)x ，记分别以 m，n 为横、纵坐标的点表示的平面区域为 D，
5、若函数2(1,)x ( , )P m n的图象上存在区域 D 内的点，则实数 a 的取值范围为log (4)(1)ayxaA(1,3B(1,3)C (3,)D3,)12设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线上，则的最小值为xye11(0)yxx |PQA2(1)2eB2(1)eC2 2D2第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置上。）13若复数，则_。1zi z zi14已知双曲线的右焦点为 F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为22221(0,0)xyababP，若线段 PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线
6、率为_。15已知平面区域 =，直线 l:和曲线 C:20 ( , ) 4y x y yx2ymxm有两个不同的交点，直线 l 与曲线 C 围城的平面区域为 M，向区域 内随机24yx投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为，若，则实数 m 的取值范()P M2(),12P M 围是_。16已知 ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a = 1,2cosC + c = 2b，则ABC 的周长的取值范围是_。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）已知正项数列满足。24(1)nnSa（1）求数列的通项公
7、式；na（2）设，求数列的前 n 项和 Tn。11n nnba a nb18 （本小题满分 12 分）从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于 155cm 到 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组155,160)，第二组160,165)， ，第八组190,195。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队，在这 50
8、人中要选身高在 180cm以上（含 180cm）的三人作为队长，记 X 为身高在180,185)的人数，求 X 的分布列和数学期望。19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAAD，ABCD，CDAD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为 PC，CD 的中点，DE = EC。（1）求证：平面 ABE平面 BEF；（2）设 PA = a，若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角，求 a 的取值范围。,4 3 20 （本小题满分 12 分）已知椭圆过点，离心率，若点2222:1(0)xyCabab3( 3,)21 2e 在椭圆 C 上，则点称为点 M 的一个
9、“椭点” ，直线 l 交椭圆 C 于00(,)M xy00(,)xyNabA、B 两点，若点 A、B 的“椭点”分别是 P、Q，且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O。（1）求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的右顶点为 D，上顶点为 E，试探究 OAB 的面积与 ODE 的面积的大小关系，并证明。21 （本小题满分 12 分）已知函数。2( )ln (0)f xaxxxx a（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数 b 的取值范(1)2f2( )2f xbxx围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；( )f x（3）当时，试比较与的大小。11xyey x1 ln
10、1 lny x 选考题：请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示，已知 PA 与O 相切，A 为切点，过点 P 的割线交圆于 B、C 两点，弦CDAP，AD、BC 相交于点 E，F 为 CE 上一点，且 DE2 = EFEC。（1）求证：CEEB = EFEP；（2）若 CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求 PA 的长。23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为，圆 C 的圆心是sin()124 ，半径为。( 2
11、,)4C2（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数。( ) |21|3|f xxx（1）解不等式；( )0f x （2）已知关于 x 的不等式恒成立，求实数 a 的取值范围。3( )af x2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案BABBBCCDCBBD二、填空题：13. 1 14. 2 15. 1 , 0 16. 3 , 2 三、解答题： 17. ()整理得21nnaa 4 分又11a 得12 nan 6 分()由
12、（1）知 )121 121(21 nnbn 8 分所以12 nnTn 12 分18. 解: () 第六组08. 0p 2 分第七组06. 0p 4 分估计人数为180 6 分() X可能的取值为 0,1, 2, 3. 7 分425)0(3 93 5CCxP 4220) 1(3 92 51 4CCCxP4215)2(3 91 52 4CCCxP 422)3(3 93 4CCxP所以X的分布列 10 分)(XE=34. 12 分19.(),/CDAB,ADCD 22ABCDAD，F分别为CD的中点，ABFD为矩形，BFAB 2 分EFDCECDE,又EFABCDAB,/AEEEFBF,面BEF,A
13、E面ABE,平面ABE平面BEF 4 分() EFDCECDE,又EFPD/，PDABCDAB,/又PDAB ,所以AB面PAD,PAAB 6 分法一：建系AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴,)0 , 2 , 0(),0 , 0 , 1 (DB), 0 , 0(aP，)0 , 2 , 2(C,)2, 1 , 1 (aE平面BCD法向量1(0,0,1)n ，平面EBD法向量)2,2(2aan9 分X0123P425 2110 145 21122,21 452cos 2 a，可得5152,552a . 12 分法二：连AC交BF于点K,四边形ABCF为平行四边形，所以K为AC的中点，连EK,则PA
14、EK /,EK面ABCD,EKBD ,作BDKH 于H点，所以BD面EKH,连EH,则EHBD ,EHK即为所求 9 分在EHKRt中，5152 21HK ,3, 1 25512tanaa解得5152,552a12 分20. ()由已知21143322222accbaba解得42a，32b，方程为13422 yx3 分() 设),(),(2211yxByxA，则)3,2(),3,2(2211yxQyxP（1）当直线l的斜率存在时，设方程为mkxy13422yxmkxy联立得：0)3(48)43(222mkmxxk有22212212243)3(44380)43(48kmxxkkmxxmk 由以P
15、Q为直径的圆经过坐标原点 O 可得：0432121yyxx整理得：04)(4)43(2 21212mxxkmxxk将式代入式得：22243mk, 6 分048, 0, 043222mmk又点O到直线mkxy的距离21kmd 2222 222 2 21223414334143433411mmkkmkkmkkxxkAB 8 分所以3232 2122 mmdABSOAB 10 分(2) 当直线l的斜率不存在时，设方程为mx （22m）联立椭圆方程得：4)4(32 2my代入0432121yyxx得到04)4(332 2mm 即552m ，5152y321 2121yymdABSOAB综上：OAB的面
16、积是定值3又ODE的面积33221 ，所以二者相等. 12 分21. () 由原式bxx xln11， 1 分令xx xxgln11)(，可得)(xg在1 , 0上递减，在, 1上递增，所以0) 1 ()(min gxg即0b 3 分（）)0( ,ln2)(xxaxxfxxaxfln2, 0)(令令，xxxhln)(令，令令ex exh1)(maxea21令时，函数)(xf在), 0( 单调递增 5 分ea210令，xaxgxxaxxg12)(),0( ,ln2)(axxg21, 0)( ，0)(),21(, 0)(),21, 0(/xgaxxgaxax21令令令令令令令令令令令令令ea210
17、021ln1)21(aag，令令令0)(/xf，)(xf必有极值，在定义域上不单 调8 分ea219 分（）由(I)知xxxgln11)(在(0,1)上单调递减11yxe时，)()(ygxg即yy xxln1ln1 10 分而11yxe时，0ln1, 0ln1xxxy xy ln1ln1 12 分22.（I）ECEFDE2，CEDF，又CP，PEDF，EDFPAEEPEFEDEA又EBCEEDEA，EPEFEBCE5分（II）3BE，29CE，415BPPA是O的切线，PCPBPA2，4315PA 10 分23.（）圆C的极坐标方程为：)4sin(225 分（）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为2 10 分24.（）0)(xf的解集为：),32()4,( 5 分（）213a 10 分