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1、20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一） 数 学（理工类） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式()( )( )P ABP AP B+=+24SRp= 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径R球的体积公式()( )( )P A BP A P B=A如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 Ap34 3VRp=在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR ( )(1)(0,1,2, )kknk nnP kC ppkn-=-= 第一部分 （选择题 共 60 分） 注意事项： 1、选择题必须使用 2B 铅笔将
2、答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、的展开式中的系数是（ ）7(1)x2xA、 B、 C、 D、423528212、复数（ ）2(1) 2i iA、 B、 C、 D、11ii3、函数在处的极限是（ ）29,3( )3 ln(2),3xxf xx xx 3x A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于630 4、如图，正方形的边长为 ，延长至，使，连接、则（ ）ABCD1BAE1AE ECEDsinCEDA、 B、 C、 D、3 10 1010 105 105 155
3、、函数的图象可能是（ ）1(0,1)xyaaaa6、下列命题正确的是（ ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）ab|ab ab A、 B、 C、 D、且ab /ab2ab/ab| |ab8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）xO0(2,)MyM3|OM A、 B、 C、 D
4、、2 22 342 5 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗原料 1 千克、原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗原料 2 千克，原料 1 千克。每ABAB 桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过 12 千克。通过合理安排AB 生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面ROOOAOCD45
5、相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）BP60BOPAPA、 B、 C、 D、2arccos4R4R3arccos3R3R11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）22ayb xc, , 3, 2,0,1,2,3a b c , ,a b c A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条12、设函数，是公差为的等差数列，则（ ）( )2cosf xxxna8125()()()5f af af a2 313 ()f aa aA、 B、 C、 D、021 1621 8213 16第二部分 （非选择题 共
6、 90 分） 注意事项：（1）必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。（2）本部分共 10 个小题，共 90 分。二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。 ）13、设全集，集合，则_。 , , , Ua b c d , Aa b , , Bb c d()()UUAB 14、如图，在正方体中，、分别是、的1111ABCDABC DMNCD1CC中点，则异面直线与所成角的大小是1AMDN_。15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、2
7、2 143xyFxmA，当的周长最大时，的面积是BFABFAB_。16、记为不超过实数的最大整数，例如， xx221.51。设为正整数，数列满足 0.31 anx，现有下列命题：1xa1 ()2n n naxxxnN 当时，数列的前 3 项依次为 5,3,2；5a nx对数列都存在正整数，当时总有；nxknknkxx当时，；1n 1nxa对某个正整数，若，则。k1kkxxnxa其中的真命题有_。 （写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17、(本小题满分 12 分) NMB1A1C1D1BDCA某居民小区有两个相
8、互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。ABAB1 10p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；49 50p（）设系统在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。AE18、(本小题满分 12 分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三2( )6cos3cos3(0)2xf xxABCxABC角形。（）求的值及函数的值域；( )f x（）若，且，求的值。08 3()5f x010 2(, )33x 0(1)f x 19、(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥中，P
9、ABC90APB，平面平面。60PABABBCCAPAB ABC （）求直线与平面所成角的大小；PCABC（）求二面角的大小。BAPC20、(本小题满分 12 分) 已知数列的前项和为，nannS且对一切正整数都成立。22nna aSSn（）求，的值；1a2a（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。10a 110lgna annTnnTnT21、(本小题满分 12 分) ABCP如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。M( 1,0)A (2,0)BMAB2MBAMAB MC（）求轨迹的方程；C（）设直线与轴交于点，与轨迹相2yxm yPC交于点，且，求的取值范围。QR、| |PQPR| |PR PQ22、(本小题满分 14 分)已知为正实数，为自然数，抛物线an 与轴正半轴相交于点，设为该抛物2 2nayx xA( )f n线在点处的切线在轴上的截距。Ay（）用和表示；an( )f n（）求对所有都有成立的的最小值；n33( ) 1 ( ) 11f nn f nna（）当时，比较与的大小，并说明理由。01a11 ( )(2 )nkf kfk27(1)( ) 4(0)(1)ff n ff AyxBAOM