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1、多元函数微分学其他题型2其它题型（共 70 小题）1、求椭圆的长半轴与短半轴之长。_ y _ y z 225236+=+=-?2、求椭球面上距离平面的最近点和最远点。_ y z 2222470+=236105_ y z -+=3、求平面和柱面交线上与平面距离最短点的坐标。_ y z +=236_ y 225+=_y 4、利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面到平面的最短Z _ y =+222_ y z +-=232距离。5、利用拉格朗日乘数法，试在椭球面上，求距离平面21222_ y z +=的最近点和最近距离、最远点和最远距离。26_ y z +-=6、将分成三个正数的和，使它们的正弦值之和取最大
2、值。7、求函数在条件下的极大值，并证u _y z =2_ y z R _ y z 22224000+=,明对任意正数成立。其中。a b c ,ab c a b c 24164+R 08、在空间直角坐标系原点处有一单位正电荷，设另有一单位负电荷在椭圆p 上移动，问两电荷间的引力何处最大及何处最小？z _ y _ y z =+=-?2219、求函数在条件下的u _ y z =+ln ln ln 23_ y z R _ y z 22226000+=,极大值，从而证明对任意正数成立。其中。a b c ,ab c a b c 2361432+R 010、在平面上求一点，使它到三条直线的_y M _ y
3、(,)_ y _ y _ +=-=-24242,距离平方和为最小。11、在空间找一点，使它到三个平面P _ y z (,)的距离平方和为最小。_ y z _ y z y z +=-+=-=111,12、作一个容积为立方米的圆柱形无盖容器，应如何选择尺寸，方能使用料最省。V 13、作一个容积为立方米的长方体有盖容器，应如何选择尺寸，方能使用料最省。V 14、求棱长之和为，且具有最大体积的长方体体积。120l l 15、横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于，当容器的断面半径与长S 度各为多大时，容器具有最大容积？16、求内接于半径为R 的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。17、在旋转抛物面
4、和平面所围成的立体内，求底面平行于平面的z _ y =+22z h =_y 最大长方体的体积（）。h 018、用拉格朗日乘数法求解下面的问题：隧道截面的上部为半圆，下部为矩形，若隧道截面的周界长L 固定，问矩形的边长各为多少时，隧道截面的面积最大？19、求外切于半径为R 的圆，且具有最小面积的三角形的尺寸。20、求体积为常数V ，且棱长之和为最小的长方体的尺寸。21、求内接于椭圆且边平行于坐标轴，并具有最大面积的长方形的面_ y 22416+=积。22、在椭球体位于第一卦限的部分内，作各侧面平行于坐标面的内_ a y b z c2222221+接长方体，问长方体的尺寸如何，方能使其体积为最大？
5、（）a b c 000,23、在圆的部分上找点 ，使其到点 的距离为_ y 221+=_ y 00,P M (,)21最小。24、求表面积为S ，而体积为最大的圆柱体的体积。25、求表面积为而体积为最大的长方体的尺寸。a 2a 026、已知平面上两点，试在椭圆的部分上找A B (,),(,)1342_ y 22491+=_ y 00,点 ，使得 的面积为最大。C ?ABC 27、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？28、造一容积为V 形状为圆柱体的煤气罐，已知其顶部和侧壁每单位面积的造价分别是底部每单位面积造价
6、的2倍和3倍，问如何设计，方能使其造价最低？29、修建一座容积为V ，形状为长方体的厂房，已知屋顶每单位面积的造价是墙壁每单位面积造价的两倍，地面造价不计，问如何设计，可使其造价最低？30、计划作一批形状为圆柱体的油桶，每只油桶造价定为元，已知油桶侧壁每单位a 面积的造价是其上下两面每单位面积造价的1.5倍，问如何设计油桶的尺寸，才能使每只油桶的容积达到最大？31、修建一座容积为V 形状为长方体的地下仓库，已知仓库顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的4倍和3倍，问如何设计可使其造价最低？32、某厂生产容积为立方米形状为圆柱体的盒子，其顶部，底部和侧面用不同0176.的材料制成，它
7、们每平方米的价格分别为4元，1.5元和2元，问应如何设计才能使盒子成本最小？33、修建一座形状为长方体的仓库，已知仓库顶每平方米造价为300元，墙壁每平方米造价为20_元，地面每平方米造价为100元，其它的固定费为2万元，现投资14万元，问如何设计方能使仓库的容积最大？34、沿厂房的后墙修建一座容积为V 形状为长方体的仓库，已知仓库的屋顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的2倍和1.5倍，厂房后墙的长和高足够，因而这一面墙壁的造价不计，问如何设计，方能使仓库的造价最低？35、现投资万元修建一座形状为长方体的厂房，已知每单位面积征地费用为a 元，设厂房的长、宽、高分别为 单位，则其造
8、价，其中常数b _ y z ,2k_yz C =，问如何设计厂房的长、宽、高，方能使其容积最大？0k 36、已知函数在点处带余项的一阶泰f _ y _ _ y y _ (,)=+-+3222345)0,0(勒公式是，试用拉格朗日型的余项表达 。f _ y _ R (,)=-+5411R 37、已知函数在点处带余项的一阶泰勒公式是f _ y _ y (,)ln=+122)0,0(，试用拉格朗日型的余项表达 。f _ y y R (,)=+211R 38、若同1相比是很小的量，试利用关于的二次多项式_ y -12,_ y -12来近似表示函数。f _ y _ y (,)=39、设函数对各变元具有一
9、阶连续偏导数，试用和的一次项近f u v (,)_ +3y -2似表示函数。z f _ y _ y =+(,)2240、若同1相比是很小的量，试将函数用的二次多项式y _ ,f _ y e_ y(,)=+3y _ ,来近似表达。41、设由方程确定函数，且，试写出函数z _y y z 32423-=z z _ y =(,)z (,)111-=在点（1，1）处的二阶泰勒多项式。z _ y (,)42、设由方程确定函数，且，将函数e _ y z z+-=2230z z _ y =(,)z (,)010=在点处展开为二阶带拉格朗日型余项的泰勒公式。z _ y (,)(,)0143、设函数在点处的一阶泰
10、勒多项式为f _ y _ y (,)ln=+23(,)-11，试写出其拉格朗日型余项。2131_ y +-R 144、设函数的二阶麦克劳林多项式为f _ y _ y (,)ln=+1，试写出其拉格朗日型余项。_ y _ _y y +-12222!R 245、设函数的二阶麦克劳林多项式为，试写f _ y e y _(,)ln=+1y _y y +-1222出其拉格朗日型的余项。R 246、设，用的多项式近似代替函数_ y +12_ y ,!_ y _ y _ y +-+131535，能否使其误差不超过 ，试说明。f _ y _ y (,)sin=+510-47、设，用的多项式近似代替函数，要求使
11、其_ y +1_ y ,f _ y _ y (,)cos=+误差不超过0.01。48、在点根据泰勒公式展开函数到二次项为止，并利用结果计算(,)12f _ y _ y(,)=的近似值。102201.49、写出函数的二阶麦克劳林多项式，并由此计算f _ y e y _(,)ln=+1的近似值。e 003098.ln .50、设由方程确定函数，且，在点e _ y z z+-=2230z z _ y =(,)z (,)010=根据泰勒公式展开函数到二次项为止，并利用结果计算的近似(,)01z _ y (,)z (.,.)-003102值。51、已知坐标平面上两点，在此平面上找点，使其到点A _ yB
12、 _ y (,),(,)1122M A,B 的距离平方和为最小。52、已知坐标平面上三点，在此平面上找点，A _ yB _ yC _ y (,),(,),(,)112233M 使其到点A,B,C 的距离平方和为最小。53、已知坐标平面上个点，在此平面上找点，使其n M _ y i n i i i (,),=-?12M 到点 的距离平方和为最小。M i 54、设在上连续，试利用最小二乘法的思想，以直线段拟合曲f _ ,01b a_ y +=线段，即使最小，求常数 的值。y f _ _ =01?-102d )(_ b a_ _ f b a ,55、在椭圆的第一象限部分上求一点使椭圆在该点的切线、椭
13、圆在第一_ a y b22221+=象限的部分及坐标轴所围成的图形的面积最小，其中。a b 00,56、在椭圆的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴293622_ y +=所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。57、在椭圆的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线位于两坐标_ y 2294+=轴之间的一段长度为最短，并求最短长度。58、在椭圆的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线在坐标轴_ y 226464+=上的截距之和最小。59、惠更斯问题：设，在之间插入个数，0 a _ _ _b n 取最大值，问应满足什么条件？u _ _ _ a _ _ _ _ b nn =-?+-
14、?+12112_ _ _ n 12,-?60、求周长为且对角线最短的矩形面积。2p 61、周长为的矩形绕其一边旋转一周生成旋转体，求最大旋转体的体积。2p 62、求周长为且面积最大的三角形的面积。2p 63、在椭球面的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的_ y z 22241616+=切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小。64、在椭球面的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点2823222232/_ y z +=+处的切平面在三个坐标轴上截距之和为最小。65、在椭球面的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平_ a y b z c2222221+=面在三个坐标轴上的截距之平方和为最
15、小，其中。a b c 000,66、求过点（2，3，6）的平面，使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数，且平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小，并求最小四面体的体积。67、求过点（2，4，2）的平面，使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数，且截距之平方和为最小。68、在椭球面的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平_ y z 22239+=面在三个坐标轴上的截距之积为最小。69、在椭球面的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平_ a y b z c2222221+=面、椭球面及三个坐标面在第一卦限部分所围成的立体体积为最小，并求最小体积，其中。a b c 000,70、在周长为的三角形中，求这样的三角形，使它绕自己的一边旋转所得旋转体2P 的体积最大。第 9 页 共 9 页