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1、绝密 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么.圆柱的
2、体积公式. 圆锥的体积公式.其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高. 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位，复数（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】此题区域不是封闭区域，属于陷阱题（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945【答案】B【解析】（4）函数的单调递增区间是（）（A） （B）（C） （D）【答案】D【解析】（5）已知双曲线
3、的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：平分；.则所有正确结论的序号是（）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】（7）设，则|“”是“”的（）（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件【答案】C【解析】（8）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】第卷注意事项：1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写
4、在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.【答案】 60【解析】（10） 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.【答案】【解析】（11） 设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.【答案】【解析】（12） 在中，内角所对
5、的边分别是.已知，则的值为_.【答案】【解析】（B） 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.【答案】3【解析】（C） 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】三、解答题（本题共6道大题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）已知函数，.（）求的最小正周期；（）求在闭区间上的最大值和最小值. 【答案】 （1） （2）【解析】（1）（2）（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同
6、的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）（2）x0123p（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.【答案】 （1） 省略（2） （3） 【解析】（1）（2）（2）（18）（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为
7、椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.【答案】 （1） （2）【解析】（1）（2）（19）（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中【答案】 （1） 0,1,2,3,4,5,67（2）省略【解析】 （1）（2） （20）（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.【答案】 （1） （2）省略（3）省略【解析】（1）（2）（3） 参考答案及解析一、选择题题号12345678答案ABBDADCC（
8、1）是虚数单位，复数（） （A） （B） （C） （D）解：A .（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5解：B 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945解：B 时，；时，；时，输出.（4）函数的单调递增区间是（）（A） （B）（C） （D）解：D ，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B）（C） （D）解：
9、A 依题意得，所以，双曲线的方程为.（6）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：平分；.则所有正确结论的序号是（）（A） （B） （C） （D）解：D 由弦切角定理得，又，所以，所以，即，排除A、C.又，排除B.（7）设，则|“”是“”的（）（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件解：C 设，则，所以是上的增函数，“”是“”的充要条件.（8）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则（ ）（A） （B） （C） （D）解：C 因为，所以.因为，所以，.因为，所以，即 同理可得
10、 ，+得.第卷注意事项：1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.解：60 应从一年级抽取名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_.解： 该几何体的体积为.（11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.
11、若成等比数列，则的值为_.解： 依题意得，所以，解得.（12）在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_.解： 因为，所以，解得，.所以.（13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.解：3 圆的方程为，直线为.因为是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得.（14）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_.解：或显然.（）当与相切时，此时恰有3个互异的实数根.（）当直线与函数相切时，此时恰有2个互异的实数根.结合图象可知或.解2：显然，所以.令，则.因为，所以.结合图象可得或.三、解答题（本题共6道大题，满分80分解答应写出文
12、字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）已知函数，.（）求的最小正周期；（）求在闭区间上的最大值和最小值.（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（）解：由已知，有 .所以，的最小正周期.（）解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.，.所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，
13、到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.（）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.所以，的最小正周期.（）解：随机变量的所有可能值为0，1，2，3.所以，随机变量的分布列是0123随机变量的数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，
14、点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，.由为棱的中点，得.（）证明：向量，故. 所以，.（）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为.（）解：向量，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，解得.即.设为平面的法向
15、量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.（方法二）（）证明：如图，取中点，连接，.由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以. 因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（）解：连接，由（）有平面，得，而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，因此. 所以，直线与平面所成角的正弦值为.（）解：如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在
16、底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值为.（18）（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率
17、.，所以，解得，.（）解：由（）知，.故椭圆方程为.设.由，有，.由已知，有，即.又，故有. 又因为点在椭圆上，故. 由和可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为.设圆的圆心为，则，进而圆的半径.设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.由与圆相切，可得，即，整理得，解得.所以，直线的斜率为或.（19）（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中，. 证明：若，则.（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（）解：当
18、，时，.可得，.（）证明：由，及，可得 . 所以，.（20）（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.（2）时， 由，得.当变化时，的变化情况如下表：0这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1；2存在，满足；3存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，. 对于任意的，设，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（）证明：由，可得，.故.设，则，且解得，.所以，. 令，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，由此可得，故在上单调递增.因此，由可得随着的增大而增大.而由（），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.