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1、九年级数学中考复习 二次函数性质1（2021南京）已知二次函数的图象经过，两点（1）求的值；（2）当时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 （3）设是该函数的图象与轴的一个公共点当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围2（2021秋福州期中）已知二次函数的图象经过，两点（1）求的值；（2）当时，求该函数图象的顶点纵坐标的最小值；（3）设是该函数的图象与轴的一个公共点，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围3（2018秋思明区校级期中）二次函数的图象与轴有两个公共点（1）求的取值范围；（2）若取满足条件的最小的整数，当时，函数值的取值范围是，求的值4（2022西城区校级模拟）在平面直角坐标系
2、中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出关于的方程的解；（3）当时，求的取值范围5（2022秋沭阳县校级期末）已知二次函数是常数）的图象是抛物线（1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值；（2）为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标；（3）若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 6（2022秋雄县期末）已知关于的二次函数的图象过点，（1）求这个二次函数的解析式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出的取值范围7（2022秋西湖区期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（1）
3、求的值（2）若二次函数的顶点为，求的最大值8（2022秋滨江区期末）二次函数的图象经过，两点（1）当时，判断与的大小（2）当时，求的取值范围（3）若此函数图象还经过点，且，求证：9如果一个二次函数的二次项系数与顶点纵坐标相等，那么称该二次函数为“一致函数”（1）下列函数：；其中，是一致函数的是 （填序号）（2）求证：一致函数的图象与轴没有公共点（3）已知函数是一致函数，直接写出的取值范围10（2022秋潜江期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）请判断抛物线与轴是否有交点，并说明理由；（2）填空：抛物线的对称轴是 （用含的代数式表示），抛物线经过的定点坐标是 ；（3）若当时，二次函数有最大值
4、为8，求该函数的解析式11（2022秋上城区期末）二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点（1）若，两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图象的对称轴；（2）若函数的图象经过点，且时，求的最大值；（3）若一次函数，是常数，它的图象与的图象都经过轴上同一点，且当函数的图象与轴仅有一个交点时，求的值12（2022赛罕区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为（1）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；（2）当时，若函数的最小值为3，求的值；（3）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点，当抛物线与四边形的边有两个交点时，将这两个交
5、点分别记为点，点，且点的纵坐标大于点的纵坐标若点到轴的距离与点到轴的距离相等，则的值是多少？13（2022秋保山期末）已知关于的二次函数（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试求此抛物线的解析式；（3）若点，与，在（2）中抛物线上（点，不重合），且，求代数式的值答案版：1. 【解答】解：（1）把，代入中，得：，两式相减得，；（2）把代入得：，顶点的纵坐标，下面证明对于任意的正数，都有，当时取等号，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1解法二：，抛物线开口向下，抛物线顶点纵坐标就是抛物线最高点，抛物线又必过，顶点纵坐标不可能比1小就是顶
6、点纵坐标最小值（3）方法一、由题意得：，且，若，则经过，的二次函数的图象开口向下，且，解得，若，则经过，的二次函数的图象开口向上，且，解得，方法二、由题意可得：或，解得：或，综上或2【解答】解：（1）把，代入中，得：，两式相减得，；（2）把代入得：，顶点的纵坐标，下面证明对于任意的正数，都有，当时取等号，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由题意得：，且，当时，若，则当时，解得，不符合题意；若时，则当时，解得当时，若，则当时，解得，不符合题意；若时，则当时，解得则综上：或3 【解答】解：（1）二次函数的图象与轴有两个公共点，关于的方程有两个不相等的实数根，解得：且（2）且，取其内的最
7、小整数，二次函数的解析式为抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小又时，函数值的取值范围是，解得：或（舍去），故的值为4【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点，点，反比例函数的表达式为；（2）当时，则点是的中点，点为原点，方程为：，；（3）如图，过点作轴，过点作于，过点作于，当时，将点代入，根据图象可知，当且时，5 【解答】解：（1），抛物线与轴只有一个公共点，解得，；（2）为该抛物线上一点，当取得最大值时，当，；（3）抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，当时，不符合题意，当，时可得，解得，当，时，符合题意故答案为：6 【解答】解：（1）由题意，得，解得，这个
8、二次函数的解析式为；（2），当时，有最小值，当时，；当时，当时，的最大值与最小值的差为；（3）在上，令，可得，解得：或，的图象开口向上，的取值范围为或7 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，；（2）二次函数的顶点为，的最大值为8 【解答】解：（1）当时，；（2），又，；（3）二次函数的对称轴为直线，二次函数经过，两点，得，即，9 【解答】（1）解：函数的二次项系数为1，顶点纵坐标为1，该二次函数是“一致函数”函数的二次项系数为，顶点纵坐标为，该二次函数是“一致函数”函数的二次项系数为3，顶点纵坐标为，该二次函数不是“一致函数”函数二次项系数为2，顶点纵坐标为，该二次函数不是“一致函数”函数
9、的二次项系数为1，顶点纵坐标为，该二次函数是“一致函数”是一致函数的是；故答案为：；（2）证明：方法一：设“一致函数”的表达式为，根据题意得：，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程无实数根， “一致函数”的图象与轴没有公共点；方法二：设“一致函数”的表达式为，令得：，化简得：，该方程无实数根，一致函数的图象与轴没有公共点；（3）解：函数是一致函数，10 【解答】解：（1）抛物线与轴有两个交点，理由如下：当时，抛物线与轴有两个交点；（2）对称轴为直线，二次函数经过的定点坐标为；（3）由知：二次函数图象的对称轴为直线，分两种情况：当时，在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小，当时，函数值最大，
10、而当时，所以此种情况不成立；当时，当，时，即时，函数有最大值，当时，二次函数的最大值为，此时二次函数的解析式为；当，时，即时，在自变量的值满足的情况下，取不到最大值8，所以此种情况不成立；综上，此时二次函数的解析式为；11 【解答】解：二次函数，二次函数经过，解得：，函数的表达式为，函数的对称轴为直线；（2）函数的图象经过点，当时，有最大值为2的最大值为2；（3）由题意：二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点，若两函数的图象都经过轴上同一点，函数的图象与轴仅有一个交点，即，整理得：，；若两函数的图象都经过轴上同一点，函数的图象与轴仅有一个交点，即，整理得：，综上，当函数的图象与轴仅有一个交点时
11、，的值为4或12 【解答】解：（1）点在第一象限，且，且，解得：，抛物线的解析式为，当时，函数值随的增大而减小；（2）当时，若函数的最小值为3，分两种情况：，即时，或，即时，当时，解得：（舍或，当时，解得：，综上所述，的值为或；（3）、，抛物线，当时，如图1，抛物线与四边形的边没有交点；当时，如图2，抛物线的顶点在边边上，即抛物线与四边形的边只有一个交点；当时，如图3，、，抛物线与四边形的边有两个交点，若点在边上，点在边上，令，则，或（不合题意，应舍去），根据题意得：，解得：或（不合题意，应舍去）；当时，如图4，点在边上，点在边上，则，解得：，当时，如图5，点在边上，点在边上，则，当时，得，该方程无解；当时，得，解得：或，当时，不符合题意，舍去，综上所述，的值为或或14 【解答】（1）证明：函数为二次函数，方程总有实数根；（2）解：令，解得，抛物线与轴的交点为，抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，抛物线为；（3）解：点，与，在抛物线上，整理得，点，不重合，学科网（北京）股份有限公司