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1、绝密本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A=x|2x1，B=x|x1或x3，则AB=（A）x|2x1 （B）x|2x3（C）x|1x1 （D）x|1x3【答案】A【解析】试题分析：，故选A.（2）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（，1） （B）（，1）
2、（C）（1，+） （D）（1，+）【答案】B（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B） （C） （D）【答案】C（4）若x，y满足 则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.（5）已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （
3、D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073
4、（D）1093【答案】D【解析】试题分析：设 ，两边取对数，所以，即最接近，故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_.【答案】2【解析】试题分析： ，所以 ，解得 .（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_.【答案】1（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为_.【答案】1【解析】 ，所以（12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】（13）能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假
5、命题的一组整数a，b，c的值依次为_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）解析】（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_.【答案】；【解析】作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大，所以第一位选 分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选 三、解答题共6小题，共8
6、0分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】解：（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面
7、，所以.因为是正方形，所以.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试判断这100名
8、患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.所以的分布列为012 故的期望.（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线段BM的中点.【答案】解：（）由抛物线C：过点P（1，1），得.所
9、以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.（19）（本小题13分）已知函数f（x）=excosxx.（）求曲线y= f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值.【答案】解：（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（20）（本小题13分）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列解：（），.当时，所以关于单调递减.所以.所以对任意，于是，所以是等差数列.当时，取正整数，则当时，因此.此时，是等差数列.当时，对任意，此时，是等差数列.当时，当时，有.所以 对任意正数，取正整数，故当时，.