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1、2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式0的解为 .【答案】 【解析】2.在等差数列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3= 15 .【答案】 15【解析】 3.设mR,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，
2、则m= .【答案】 -2【解析】 4.已知=0，=1，则y= 1 .【答案】 1【解析】 5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .【答案】 【解析】6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 .【答案】 78【解析】 7.设常数aR.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .【答案】 -2【解析】8.方程的实数解为 .【答案】 【解析】9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .【答案】 【解析】
3、10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= .【答案】 【解析】 11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。DBAC12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .【答案】 【解析】 如右图所示。13.设常数a0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .【答案】 【解析】 考查均值不等式的应用。14.
4、已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、.若i,j,k,l且ij,kl，则的最小值是 -5 .【答案】 -5【解析】 根据对称性，。二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.函数（x0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）（A）（B）（C）1+（D）1【答案】 A【解析】 选A16.设常数aR，集合A=，B=.若AB=R，则a的取值范围为（ B ）（A）（，2） （B）（，2 （C）（2，
5、+） （D）2，+）【答案】 B【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，综上，选B标准解法如下: .选B17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）（A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【答案】 A【解析】 选A当点（x,y）分别在，上时，x+y的最大值分别是M1,M2,，则=( D )（A）0 （B） （C）2 （D）【答案】 D【解析】 选D三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O
6、-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。【答案】 【解析】 所以，20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每小时可获得的利润是100元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【答案】 （1） 见下（2）当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。【解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时，所获得的利润所以，生产a千克该产品所获得的利
7、润为100a元；（证毕）（2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润由二次函数的知识可知，当=，即x=6时，所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数0.（1）令=1，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像.对任意aR，求y=g(x)在区间a，a+10上零点个数的所有可能值.【答案】 （1） （2） 20,21【解析】 （1）（2）=2，将函数y=f(x)的图
8、像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x).所以y=g(x)在区间a, a+10、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，an成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【答案】 （1） （2）（3）【解析】 （1） （2）分情况讨论如何：（3）讨论如下:.,故不符合题意。23.
9、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；（3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”.【答案】 （1） （2） 见下.（3） 见下.【解析】 （1） 显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.在曲线图像上取点P(0,1),则直线。这
10、时直线方程为所以，C1的左焦点是“C1-C2型点”.过该焦点的一条直线方程是.（2） 先证明“若直线y=kx与有公共点，则1”.双曲线.所以，若直线y = kx 与有公共点，则1 . （证毕）。所以原点不是“C1-C2型点”；（完）（3）设直线过圆内一点，则斜率不存在时直线与双曲线无交点。设直线方程为：y = kx + m，显然当k=0时直线与双曲线不相交。经计算，圆内所有点均在曲线的延长线所围成的区域内，所以当时，直线与曲线不相交。若直线与曲线相交， 则下面讨论时的情况。圆心到直线的距离假设直线与曲线相交，联立方程：， 由得：所以，过圆内任意一点做任意直线，均不存在与曲线和同时相交。即圆内的点都不是“C1-C2型点”.(证毕)