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1、教学内容鸽巢问题（1） 教学目标1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。2. 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣和探究意识。、教学重难点教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单问题。教学难点：理解“抽屉原理”，建立基本的模型。教具准备课件教学方法教 学 设 计教学过程 二次备课教学过程一、创设身边的问题情境，揭示课题1、一
2、年有几个季节？师：我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：一个小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗？“总有”和“至少”表示什么意思？【学情预设】预设1：一定有一个季节里至少有2人出生。（教师追问：至少2人是什么意思呢？）预设2：最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。师：那老师的猜测对不对呢？请各小组现场统计一下。【学情预设】学生现场统计后，得到的结论都是每个小组中总有一个季节（春、夏、秋、冬）里至少有2人过生日。师：老师为什么猜得这么准呢？这里面藏着我们今天要学习的数学知识，下面就让我们到课堂上来揭晓这个秘密吧！二、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型1.呈现问题
3、，引出探究。课件出示教科书P68例1。师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）2.用枚举法研究问题。【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：预设2：我用摆一摆的方法来证明：预设3：我写出了8种放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。预设4：我写出了4种放法：（4，0，0）、（3，1，0
4、）、（2，2，0）、（2，1，1）。3.汇报交流。师：同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放
5、，教师演示课件。）根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。4.引导观察，初步感知模型。师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键
6、词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型1.课件出示习题。师：刚才我们通过不同的方法验证了“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。请你借助刚才的经验猜一猜，把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。【学情预设】学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。师：猜测正确吗？请大家验证一下。2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。
7、【学情预设】学生可能得出6种放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。教师根据学生发言板书。师：仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支铅笔”，你同意吗？【学情预设】学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最少放了2支铅笔，所以应该是总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。3.用假设法探究问题。师：经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进2支铅笔。现在我们回头看，刚才研究了把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法
8、来研究，枚举法是研究问题的一种基本方法。那么100支铅笔放进99个盒子，总有一个盒子至少要放进多少支铅笔呢？如果还用枚举法来研究，你有什么想法？我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢?引导学生观察黑板上板书的枚举法，提出问题：观察哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？【学情预设】学生会发现（2,1,1）和（2,1,1,1）这两种放法，教师进一步追问：这种分法,实际就是先怎么分的，引导学生说出“平均分”。师：为什么要先平均分?【学情预设】学生会说出：先平均分,余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支”。师：你能用算式来表示这一过
9、程吗？【学情预设】学生会说出：43=11，1+1=2；54=11，1+1=2；教师追问：除法算式中的两个1表示的意思相同吗？引导学生说出商“1”表示每个盒子里放1支，余数“1”表示平均分后剩下的1支。教师根据学生发言板书。师小结：在研究刚才的两个问题时，我们先是用枚举法把所有的放法都列举出来，得到总有一个盒子里至少放的铅笔支数。枚举的放法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又从所有的放法中找到了最简便的一种：假设每个盒子里都放一个，剩下的一个再任意放进其中的一个盒子中，这样就能很快地找到至少数。这种方法叫做假设法，它蕴含了平均分的思想。最后我们用算式简明地表示出了平均分的过程。教师板书：枚
10、举法 假设法（平均分） 算式【设计意图】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生观察各种分法，提出核心问题：“哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？”让学生体会平均分的思想，继而用算式来表示解决问题的过程。经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培养了学生的符号意识。4.类推与归纳。课件出示表格。师：同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？【学情预设】引导学生发现：只要铅笔的数量比盒子的数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2
11、支铅笔。【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。四、运用模型，解释应用1.知识链接。师：今天我们学习的知识就是“鸽巢问题”，“鸽巢原理”也叫“抽屉原理”。看到这个课题，你有什么疑问吗？板书课题：鸽巢问题（1）【学情预设】学生可能会问“鸽巢”是什么意思？也没有发现有“抽屉”。让学生自学教科书P70“你知道吗？”，然后进行交流。师：其实“抽屉原理”在生活中随处可见，它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的问题吗？我们班每个
12、小组有6名同学，总有一个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？2.运用“抽屉原理”解释生活中的现象。师：其实“抽屉原理”在生活中随处可见，它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的问题吗？我们班每个小组有6名同学，总有一个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？【学情预设】把6名同学看成“待分的物体”，4个季节看成“4个抽屉”，64=12，1+1=2，所以总有一个季节里至少有2人过生日。（教师可以追问：为什么不是总有一个季节里至少有3人过生日？学生可以用假设法来解释。）【设计意图】模型思想的培养需
13、要经历构建的过程，在学生理解了抽屉原理后，通过介绍“抽屉原理”的小知识，引导学生理解“抽屉”只是一个抽象的概念，让学生体会它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型，发展抽象能力、推理能力和应用能力。3.课件出示扑克牌问题。师：你能运用今天所学的知识进行解释吗？【学情预设】引导学生说出：一副扑克牌共54张，去掉两张王牌，剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张。我们把4种花色看成4个“抽屉”，把5张扑克牌放进4个“抽屉”中，必然有一个“抽屉”至少放进2张扑克牌，即至少有2张牌是同花色的。用算式表示为54=11,1+1=2。【设计意图】有趣的扑克游戏是学生比较认同的,以扑克牌的4种花色与抽牌
14、人数大于4的变化，让学生猜测、验证至少有几张是同种花色,学生有兴趣,体会生活中处处有数学。4.完成教科书P71“练习十三”第1题。学生独立完成后在小组内说一说。学情预设】把12个属相看成12个“抽屉”，把13位老师放进12个“抽屉”里，至少有2位老师在同一个“抽屉”，即至少有2位老师的属相相同。用算式表示为1312=11,1+1=2。【设计意图】在完成这道题后，指导学生分析时，要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。五、课堂小结师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？板书设计：鸽巢问题教学反思：教学内容
15、 鸽巢问题（2） 教科书P69例2，完成教科书P71“练习十三”中第2、3、6题。 教学目标1.经历“鸽巢原理”的探究过程，进一步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2.经历从直观到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力，渗透模型思想。3.在探究过程中，经历将具体数学问题数学化的过程，培养学生的模型思维。教学重难点教学重点：掌握“鸽巢原理”的一般形式，会运用除法算式来解决实际问题。教学难点：对“把多于kn（k是正整数）个物体任意分放入n个空抽屉，总有一个抽屉里至少有（k+1）个物体”形成一般性理解。教具准备课件教学方法教 学 设 计教学过程 二次备课一、
16、复习导入，揭示课题课件出示教科书P69“做一做”第2题。【学情预设】预设1：我们把4把椅子看成4个“鸽巢”，把5个人放进4个“鸽巢”中，总有1个“鸽巢”里至少有2个人，即总有一把椅子上至少坐2人。预设2：我用算式表示：54=11,1+1=2，所以总有一把椅子上至少坐2人。师：同学们研究了物体数比盛放物体的工具数多1的情况，得出了总有一个盛放物体的工具里至少放有两个物体。“鸽巢原理”真是这样吗?今天我们继续来研究相关问题。板书课题：鸽巢问题（2）【设计意图】通过复习，帮助学生回忆例1学习的有关知识，并直接揭示课题，为新课学习作准备。二、自主探究，建立模型1.课件出示教科书P69例2。师：请你试着
17、证明这个结论。（学生用自己的方式证明。）【学情预设】预设1：我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。预设2：我用假设法来思考，如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，最后的1本书一定会放到3个抽屉中的任何一个，可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。预设3：我用算式来证明：73=21，2+1=3。师：你能理解这道算式表示的意思吗？（板书算式：73=21，2+1=3）【学情预设】指导学生规范表达：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩一本。剩下的一本不管怎么放，总有1个抽屉至少放进3本书。师：其实用有余数的除法算式来证明的方法
18、，它的思路就是假设法，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！2.拓展建模。（1）运用有余数的除法算式解决问题。师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。如果有8本书会怎样呢？你能用算式来表达自己的想法吗？学生思考并汇报交流。【学情预设】预设1：83=22,2+2=4，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。预设2：83=22,2+1=3，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。师：你同意哪一种说法呢？为什么？【学情预设】引导学生分析并说出，虽然余数是2，但要求的是“至少数”，把8本书平均放进3个
19、抽屉，每个抽屉里放2本，还剩2本。剩下的2本再平均分，所以总有1个抽屉里至少放进3本书。（教师根据学生的汇报板书算式：83=22，2+1=3）（2）概括规律，建立模型。师：如果我们把9本书、10本书放到3个抽屉里，你能快速说出总有一个抽屉里至少放的书的本数吗？学生独立完成后在小组内交流，再集体汇报。【学情预设】预设1：93=3,如果把9本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。预设2：103=31,3+1=4，如果把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。（教师根据学生的汇报板书算式:93=3103=31，3+1=4）师：听了大家的汇报，认真观察这些算式，
20、想一想，至少数都是怎么求出来的？【学情预设】预设1：用书本数除以抽屉数，要是有余数，就用所得的商加1。预设2：至少数=商+1。师：同学们的发现真了不起。把书本放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有1个抽屉里至少放“商+1”本书，如果没有剩余，至少数等于商。而且当余数等于1时,至少数为商加1；当余数大于1时，至少数仍为商加1。引导学生小结：an=bc（c0），至少数=b+1。（板书）师：想一想，每个抽屉的书本数一直到什么时候至少数还是4？什么时候至少数变成5？本环节是本节课的难点，利用有余数除法解决几个具体的问题后，要注意引导学生总结归纳解决这一类“抽屉问题”的一般方法。允许学生用“至少数=商+
21、1”的公式，也可以用“an=bc，总有一个抽屉至少可以放（b+1）个物体”的抽象形式来表现。【学情预设】引导学生讨论后得出，每个抽屉的书本数一直到12本的时候至少数还是4，书本数到13本的时候至少数变成5。【设计意图】“鸽巢原理”规律性强，具有建模的必要性。此环节引导学生进行辨析、观察、思考，强化学生对新知的深刻认识，并建立正确的计算模式，有利于提高学生解决问题的能力。三、综合运用，利用模型解决问题1.完成教科书P68“做一做”第1题和P69“做一做”第1题。学生独立思考后，汇报交流。【学情预设】学生会用算式53=12，1+1=2；114=23，2+1=3来解释。如果学生出现“商+余数”的错误
22、解答，可以让学生讨论后订正。2.小组内完成教科书P71“练习十三”第2、3、6题。完成后集体订正，教师注意收集错例进行展示。【学情预设】第2题：因为415=81，所以张叔叔至少有一镖不低于8+1=9（环）。第3题：把两种颜色看成两个“抽屉”，把正方体的6个面看成6个“物体”。62=3，所以不论怎么涂，至少有3个面涂的颜色相同。注意提示学生，如果没有余数，商就是至少数。第6题：如果给每个格子涂上红色或蓝色，每列的涂法共有8种。如下所示：把这8种涂法看成8个“抽屉”,把9列格子看成9个要分放的“物体”,98=11，所以无论怎么涂，至少有1+1=2（列）的涂法相同。如果只涂两行，每列的涂法共有4种。
23、如下所示：同理，把这4种涂法看成4个“抽屉”,把9列格子看成9个要分放的“物体”,94=21,所以无论怎么涂，至少有2+1=3（列）的涂法相同。【设计意图】运用数学知识解释生活现象，在解决实际问题的过程中发展应用能力。四、课堂小结师：通过本节课的学习，你有哪些新的收获？板书设计教学反思：教学内容鸽巢问题（3）教学目标1.进一步理解“抽屉原理”，运用“抽屉原理”进行逆向思考，掌握“抽屉原理”的反向求法。2.经历运用“抽屉原理”解决问题的过程，体验观察猜想、实践操作的学习方法。3.培养学生自己动手操作、动脑思考的习惯，体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值。教学重难点重点：引导学生把具体问题转化
24、为“抽屉原理”，找出“抽屉”有几个，再利用“抽屉原理”进行逆向推理。难点：理解“抽屉问题”中的一些基本原理，正确辨析“鸽巢问题”中被分的物品。教具准备投影仪，课件教学方法教 学 设 计教学过程 二次备课一、创设生活情境，导入新课课件出示有趣的生活情境。【学情预设】学生有的猜2只，有的猜3只、5只、7只师：同学们通过思考，都有了自己比较满意的答案，但正确的答案只有一个，只要认真学习今天的知识，相信你一定能找到正确的答案。下面就让我们一起来继续研究“鸽巢问题”吧！板书课题：鸽巢问题（3）二、合作探究，学习新知1.呈现问题，引出探究。大家来猜测一下答案是什么？因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种
25、“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，把“摸球问题”转化成“抽屉问题”，即“只要分的物体个数比抽屉个数多1，就能保证有一个抽屉至少有2个球”。师：你能用这种方法解决小红取袜子的问题吗？说说自己怎么想的?【学情预设】引导学生分析并说出，把两种颜色看作2个“抽屉”，要保证一个“抽屉”里至少有2只袜子，要分的物体数必须比“抽屉”数多1，所以当颜色数为2时，分的物体就应该为2+1=3（只），所以至少摸出3只袜子，就能保证有一双相同颜色的袜子。（教师板书算式：2+1=3）3.拓展思维。师：同学们总结了“鸽巢原理”反向解决问题的方法，试一试，下面这个问题你能解决吗?课件出示习题。小
26、组讨论后汇报交流。【学情预设】学生说出：把3种颜色看作3个“抽屉”，要使至少一个“抽屉”里有2个球，所分的球应为3+1=4（个），所以至少要摸出4个球，就能保证至少有2个球同色。（教师板书算式：3+1=4）师小结：我们在用“抽屉原理”反向解决问题时，最重要的就是确定“抽屉”数，要保证至少一个“抽屉”放2个物体，所分的物体数就应是“抽屉”数+1。（板书）三、巩固运用，促进内化1.完成教科书P70“做一做”第1、2题。学生独立思考后，汇报交流。2.小组内完成教科书P71“练习十三”第4、5题。四、课堂小结师：通过本节课的学习，你有哪些收获？说一说解决“鸽巢问题”要注意什么？【学情预设】引导学生小结：解决这一类问题，确定什么是“抽屉”，“抽屉”有几个是关键。板书设计鸽巢问题教学反思：