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1、类型一类型一:面积、体面积、体(容容)积有关的最值问题积有关的最值问题【典例典例1 1】如图如图,四边形四边形ABCDABCD是一块边长为是一块边长为4km4km的正方形地的正方形地域域,地域内有一条河流地域内有一条河流MD,MD,其经过的路线是以其经过的路线是以ABAB的中点的中点M M为为顶点且开口向右的抛物线顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计河流宽度忽略不计).).新长城公新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,PQCN,问如何施工才能问如何施工才能使游乐园的面积最大使游乐园的面积最大?并求出最大面积并求出最大面积.第1页/共60页第2页/共6
2、0页【解题指南解题指南】首先依据图形建立合适的坐标系首先依据图形建立合适的坐标系,设出点设出点的坐标的坐标,引入变量构建与面积有关的函数关系式引入变量构建与面积有关的函数关系式,再利再利用导数求最值用导数求最值.第3页/共60页【解析解析】以以M M为原点为原点,AB,AB所在直线为所在直线为y y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,则则D(4,2).D(4,2).第4页/共60页设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2px.=2px.因为点因为点D D在抛物线上在抛物线上,所以所以2 22 2=8p,=8p,解得解得p=.p=.所以抛物线方程为所以抛物线方程为y y2 2=x(0 x4).
3、=x(0 x4).设设P(yP(y2 2,y)(0y2),y)(0y2)是曲线是曲线MDMD上任一点上任一点,第5页/共60页则则|PQ|=2+y,|PN|=4-y|PQ|=2+y,|PN|=4-y2 2.所以矩形游乐园的面积为所以矩形游乐园的面积为S=|PQ|PN|=(2+y)(4-yS=|PQ|PN|=(2+y)(4-y2 2)=8-y)=8-y3 3-2y-2y2 2+4y.+4y.求导得求导得S=-3yS=-3y2 2-4y+4,-4y+4,令令S=0,S=0,得得3y3y2 2+4y-4=0,+4y-4=0,解得解得y=y=或或y=-2(y=-2(舍舍).).当当yy 时时,S0,S
4、0,函数函数S S为增函数为增函数;当当y y 时时,S0,S0,函数函数S S为减函数为减函数.第6页/共60页所以当所以当y=y=时时,S,S有最大值有最大值,得得|PQ|=2+y=2+=,|PQ|=2+y=2+=,|PN|=4-y|PN|=4-y2 2=4-=4-所以游乐园最大面积为所以游乐园最大面积为S Smaxmax=(km=(km2 2),),即游乐园的两邻边分别为即游乐园的两邻边分别为 km,kmkm,km时时,面积最大面积最大,最最大面积为大面积为 kmkm2 2.第7页/共60页【规律总结规律总结】利用导数解决实际问题中的基本流程利用导数解决实际问题中的基本流程第8页/共60
5、页【巩固训练巩固训练】(2016(2016广州高二检测广州高二检测)有一块边长为有一块边长为a a的的正方形铁板正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形方形,做成一个长方体形的无盖容器做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少截下的小正方形边长应为多少?第9页/共60页【解析解析】设截下的小正方形边长为设截下的小正方形边长为x,x,容器容积为容器容积为V(x),V(x),则则做成的长方体形无盖容器底面边长为做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,a-2x,高为高为x,x,第10页/共60页V(x)=(a
6、-2x)V(x)=(a-2x)2 2x,0 x .x,0 x .即即V(x)=4xV(x)=4x3 3-4ax-4ax2 2+a+a2 2x,0 x .x,0 x .实际问题归结为求实际问题归结为求V(x)V(x)在区间在区间 上的最大值点上的最大值点.为为此此,先求先求V(x)V(x)的极值点的极值点.在开区间在开区间 内内,第11页/共60页V(x)=12xV(x)=12x2 2-8ax+a-8ax+a2 2.令令V(x)=0,V(x)=0,得得12x12x2 2-8ax+a-8ax+a2 2=0.=0.解得解得x x1 1=a,x=a,x2 2=a(=a(舍去舍去).).x x1 1=a
7、=a在区间在区间 内内,且且当当0 xx0 x0;,V(x)0;当当x x1 1x x 时时,V(x)0.,V(x)0,f(r)0,得得2r ;2r ;令令f(r)0,f(r)0,得得0r2,0r0,y0,得得2r ;2r ;令令y0,y0,得得0r2,0r2,故当故当r r 时时,函数单调递减函数单调递减,故当故当r=r=时时,y,yminmin=第24页/共60页【规律总结规律总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤步骤(1)(1)分析实际问题中各量之间的关系分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的列出实际问题的数学模型数学模型,写出实际问题中变量
8、之间的函数关系写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).y=f(x).(2)(2)求函数的导数求函数的导数f(x),f(x),解方程解方程f(x)=0.f(x)=0.第25页/共60页(3)(3)比较函数在区间端点和使比较函数在区间端点和使f(x)=0f(x)=0成立的点的数值成立的点的数值的大小的大小,最大最大(小小)者为最大者为最大(小小)值值.(4)(4)写出答案写出答案.第26页/共60页【巩固训练巩固训练】现有一批货物由海上从现有一批货物由海上从A A地运往地运往B B地地,已知已知轮船的最大航行速度为轮船的最大航行速度为3535海里海里/时时,A,A地至地至B B地之间的航地之
9、间的航行距离约为行距离约为500500海里海里,每小时的运输成本由燃料费和其每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比正比(比例系数为比例系数为0.6),0.6),其余费用为每小时其余费用为每小时960960元元.第27页/共60页(1)(1)把全程运输成本把全程运输成本y(y(元元)表示为速度表示为速度x(x(海里海里/时时)的函的函数数.(2)(2)为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶轮船应以多大速度行驶?第28页/共60页【解析解析】(1)(1)依题意得依题意得y=(960+
10、0.6xy=(960+0.6x2 2)=)=+300 x,+300 x,且由题意知且由题意知,函数的定义域为函数的定义域为(0,35,(0,35,即即y=+300 x(0 x35).y=+300 x(0 x35).第29页/共60页(2)(2)由由(1)(1)知知,y=-+300,y=-+300,令令y=0,y=0,解得解得x=40 x=40或或x=-40(x=-40(舍去舍去).).因为函数的定义域为因为函数的定义域为(0,35,(0,35,所以函数在定义域内没有所以函数在定义域内没有极值点极值点.又当又当0 x350 x35时时,y0,y0,所以所以y=+300 xy=+300 x在在(0
11、,35(0,35上单调递减上单调递减,第30页/共60页故当故当x=35x=35时时,函数函数y=+300 xy=+300 x取得最小值取得最小值.故为了使全程运输成本最小故为了使全程运输成本最小,轮船应以轮船应以3535海里海里/时的速时的速度行驶度行驶.第31页/共60页类型三类型三:利润最大问题利润最大问题【典例典例3 3】某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明,该商品每该商品每日的销售量日的销售量y(y(单位单位:千克千克)与销售价格与销售价格x(x(单位单位:元元/千克千克)满足关系式满足关系式y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6
12、,a为常数为常数.已已知销售价格为知销售价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该商品每日可售出该商品1111千克千克.第32页/共60页(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定销售价格试确定销售价格x x的值的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大使商场每日销售该商品所获得的利润最大.第33页/共60页【解题指南解题指南】(1)(1)利用条件销售价格为利用条件销售价格为5 5元元/千克时千克时,每每日可售出该商品日可售出该商品1111千克代入求解千克代入求解.(2)(2)建立利润的函数关系式建立利润的函数关系式,对函数式求导
13、对函数式求导,利用导数求利用导数求最值最值.第34页/共60页【解析解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6.,3x6.第35页/共60页从而从而,f(x)=10(x-6),f(x)=10(x-6)2 2+2(
14、x-3)(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).=30(x-4)(x-6).于是于是,当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x x(3,4)(3,4)4 4(4,6)(4,6)f(x)f(x)+0 0-f(x)f(x)单调递增单调递增极大值极大值4242单调递减单调递减第36页/共60页由上表可得由上表可得,x=4,x=4是函数是函数f(x)f(x)在区间在区间(3,6)(3,6)内的极大值点内的极大值点,也是最大值点也是最大值点.所以所以,当当x=4x=4时时,函数函数f(x)f(x)取得最大值取得最大值,且最大
15、值等于且最大值等于42.42.答答:当销售价格为当销售价格为4 4元元/千克时千克时,商场每日销售该商品所商场每日销售该商品所获得的利润最大获得的利润最大.第37页/共60页【规律总结规律总结】利润问题中的等量关系利润问题中的等量关系解决此类有关利润的实际应用题解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有常见的基本等量关系有:利润利润=收入收入-成本成本;利润利润=每件产品的利润每件产品的利润销售件数销售件数.第38页/共60页【巩固训练巩固训练】(2016(2016沈阳高二检测沈阳高二检测)某商品每件成本某商品
16、每件成本9 9元元,售价为售价为3030元元,每星期卖出每星期卖出432432件件,如果降低价格如果降低价格,销售销售量将会增加量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值降低值x(x(单位单位:元元,0 x30),0 x30)的平方成正比的平方成正比,已知商品已知商品单价降低单价降低2 2元时元时,一星期将多卖出一星期将多卖出2424件件.第39页/共60页(1)(1)将一个星期的商品销售利润表示成将一个星期的商品销售利润表示成x x的函数的函数.(2)(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?第40
17、页/共60页【解题指南解题指南】(1)(1)先求出比例系数先求出比例系数,再依据题设求出多再依据题设求出多卖的商品数卖的商品数,再根据销售利润再根据销售利润=销售收入销售收入-成本成本,列出函列出函数关系式数关系式,即可得到答案即可得到答案.(2).(2)根据根据f(x)f(x)的解析式的解析式,用导用导数求最值数求最值.第41页/共60页【解析解析】(1)(1)设商品降价设商品降价x x元元,则多卖出的商品件数为则多卖出的商品件数为kxkx2 2,若记商品一个星期的获利为若记商品一个星期的获利为f(x),f(x),则依题意有则依题意有f(x)=(30-x-9)f(x)=(30-x-9)(43
18、2+kx(432+kx2 2)=(21-x)(432+kx)=(21-x)(432+kx2 2).).又由已知条件又由已知条件,24=k2,24=k22 2,于是有于是有k=6.k=6.所以所以f(x)=-6xf(x)=-6x3 3+126x+126x2 2-432x+9072,x0,30.-432x+9072,x0,30.第42页/共60页(2)(2)根据根据(1)(1)有有f(x)=-18xf(x)=-18x2 2+252x-432+252x-432=-18(x-2)(x-12),=-18(x-2)(x-12),当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表
19、的变化情况如下表:x x0,2)0,2)2 2(2,12)(2,12)1212(12,30(12,30f(x)f(x)-0 0+0 0-f(x)f(x)单调递单调递减减极极小小值值单调递单调递增增极大极大值值单调递减单调递减第43页/共60页故当故当x=12x=12时时,f(x),f(x)取到极大值取到极大值,因为因为f(0)=9072,f(12)=f(0)=9072,f(12)=11664,11664,所以定价为所以定价为30-12=18(30-12=18(元元)时能使一个星期的商品销售时能使一个星期的商品销售利润最大利润最大.第44页/共60页类型四类型四:效率最高问题效率最高问题【典例典
20、例4 4】我们知道我们知道,汽油的消耗量汽油的消耗量w(w(单位单位:L):L)与汽车的与汽车的速度速度v(v(单位单位:km/h):km/h)之间有一定的关系之间有一定的关系,汽油的消耗量汽油的消耗量w w是汽车速度是汽车速度v v的函数的函数.通过大量的统计数据通过大量的统计数据,并对数据进并对数据进行分析、研究行分析、研究,人们发现人们发现,汽车在行驶过程中汽车在行驶过程中,汽油平均汽油平均第45页/共60页消耗率消耗率g(g(即每小时的汽油消耗量即每小时的汽油消耗量,单位单位:L/h):L/h)与汽车行与汽车行驶的平均速度驶的平均速度v(v(单位单位:km/h):km/h)之间有如图所
21、示的函数关之间有如图所示的函数关系系g=f(v).g=f(v).且点且点(90,5)(90,5)为直线为直线y=kxy=kx与函数与函数g=f(v)g=f(v)相切时相切时的切点的切点,那么汽车平均速度为多少时那么汽车平均速度为多少时,汽油使用率最高汽油使用率最高,此时的每千米耗油量大约是多少此时的每千米耗油量大约是多少L?L?第46页/共60页第47页/共60页【解题指南解题指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值与汽车行驶路程的比值.如果用如果用G G表示每千米平均的表示每千米平均的汽油消耗量汽油消耗量,那么那么G=,G=,其中其中,w
22、,w表示汽油消耗量表示汽油消耗量(单单位位:L),s:L),s表示汽车行驶的路程表示汽车行驶的路程(单位单位:km).:km).从图中不能直从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题接解决汽油使用效率最高的问题.因此因此,我们首先需要我们首先需要第48页/共60页将问题转化为汽油平均消耗率将问题转化为汽油平均消耗率g(g(即每小时的汽油耗量即每小时的汽油耗量,单位单位:L/h):L/h)与汽车行驶的平均速度与汽车行驶的平均速度v(v(单位单位:km/h):km/h)之间的之间的关系的问题关系的问题.然后利用图象中的数据信息然后利用图象中的数据信息.解决汽油使解决汽油使用效率最高的问题用效率最高的
23、问题.第49页/共60页【解析解析】设设G G表示每千米平均的汽油消耗量表示每千米平均的汽油消耗量,s,s表示汽车表示汽车行驶的路程行驶的路程(单位单位:km).:km).因为因为G=G=这样这样,问题就转化为求问题就转化为求 的最小值的最小值.从图象上看从图象上看,表示表示经过原点与曲线上点的直线的斜率经过原点与曲线上点的直线的斜率,进一步发现进一步发现,当直当直线与曲线相切时线与曲线相切时,其斜率最小其斜率最小.在此切点处速度约为在此切点处速度约为90km/h.90km/h.第50页/共60页因此因此,当汽车行驶距离一定时当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率要使汽油的使用效率最高最高,
24、即每千米的汽油消耗量最小即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为此时的车速约为90km/h,90km/h,从数值上看从数值上看,每千米的耗油量就是图中的切线每千米的耗油量就是图中的切线的斜率的斜率,即即f(90),f(90),约为约为 (L/km).(L/km).第51页/共60页【规律总结规律总结】1.1.效率最高效率最高单位时间内完成任务量最多单位时间内完成任务量最多总任务与总任务与完成任务的总时间的比最大完成任务的总时间的比最大.2.2.效率最高问题的解题途径效率最高问题的解题途径第52页/共60页【巩固训练巩固训练】如图如图,一海岛驻一海岛驻扎一支部队扎一支部队,海岛离岸边最近海岛离岸
25、边最近点点B B的距离是的距离是150km,150km,在岸边距在岸边距点点B300kmB300km的点的点A A处有一军需品仓库处有一军需品仓库,有一批军需品要尽有一批军需品要尽快送达海岛快送达海岛,A,A与与B B之间有一铁路之间有一铁路,现有海陆联运方式现有海陆联运方式第53页/共60页运送运送.火车时速为火车时速为50km,50km,船时速为船时速为30km,30km,试在岸边选一点试在岸边选一点C,C,先将军需品用火车送到点先将军需品用火车送到点C,C,再用轮船从点再用轮船从点C C运到海岛运到海岛,问点问点C C选在何处可使运输时间最短选在何处可使运输时间最短?第54页/共60页【
26、解析解析】设点设点C C与点与点B B的距离是的距离是xkm,xkm,则运输时间则运输时间T(x)=(0 x300),T(x)=(0 x300),因为因为所以所以T(x)=T(x)=第55页/共60页令令T(x)=0,T(x)=0,则有则有5x-3 =0,5x-3 =0,5x=3 ,5x=3 ,即即25x25x2 2=9(150=9(1502 2+x+x2 2),),解此方程解此方程,得得x=112.5,x=112.5,舍去负值舍去负值,取取x x0 0=112.5.=112.5.第56页/共60页因为因为T(0)=11,T(300)11.2,T(0)=11,T(300)11.2,T(112.5)=10,T(112.5)=10,则则1010是三数中最小者是三数中最小者,所以选点所以选点C C在与点在与点B B距离为距离为112.5km112.5km处处,运输时间最小运输时间最小.第57页/共60页第58页/共60页第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页