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1、ESC 一.曲线凹凸与拐点的定义 案 例 请问:“耐用消费品的销售曲线大致呈什么形状?”进一步 分析 在某一地区,一种耐用消费品的销售数量 与销售时间 之间有函数关系 ,其销售情况如图所示.在时间段 内,曲线 向上弯曲,称曲线是凹的.在时间段 内,曲线 向下弯曲,称曲线是凸的.曲线凹凸改变的分界点,称为 曲线的拐点.单调上升 切线在下,曲线在上.切线在上,曲线在下.第1页/共28页ESC 一.曲线凹凸与拐点的定义 曲线凹凸与拐点的定义 在区间 内,定义3.1 若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则称曲线在该区间内是凸的.若曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线在该区间内是凹的;上弦月下弦月每个
2、月的农历15之前的月亮为上弦月，月牙朝上，下半月为下弦月，月牙朝下。第2页/共28页ESC 一.曲线凹凸与拐点的定义 定理3.4设函数 在区间 内存在二阶导数，(1)若时，恒有，则曲线 在内是凹的；(2)若时，恒有，则曲线在内是凸的第3页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 假设 表示曲线的切线倾角.函数 在区间 内二阶可导,当 时,导函数 单调增加,从而切线斜率 随 增加而由小变大.切线在下,曲线在上,曲线凹.切线在下,曲线在上,曲线凹.是锐角 是钝角 凹,增 凹,减 第4页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 假设 表示曲线的切线倾角.函数 在区间 内二阶可导,当 时,导函数
3、单调增加,从而切线斜率 随 增加而由小变大.切线在下,曲线在上,曲线凹.是锐角 是钝角 单调增加上述三条曲线增减性不同,但都是凹的,共同特点是:凹,非单调 第5页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 假设 表示曲线的切线倾角.函数 在区间 内二阶可导,当 时,导函数 单调减少,从而切线斜率 随 增加而由大变小.切线在上,曲线在下,曲线凸.切线在上,曲线在下,曲线凸.是锐角 是钝角 凸,增 凸,减 第6页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 假设 表示曲线的切线倾角.函数 在区间 内二阶可导,切线在上,曲线在下,曲线凸.是锐角 是钝角 单调减少上述三条曲线增减性不同,但都是凸的,共同
4、特点是:当 时,导函数 单调减少,从而切线斜率 随 增加而由大变小.凸,非单调 第7页/共28页ESC 拐点存在 的必要条件 二.曲线凹凸与拐点的求法 由于拐点是曲线 上,凹与凸的分界点,则必然有 若点 是曲线的拐点,且 存在,凹凸 凹与凸 分界点 凹凸 凹与凸 分界点 定理3.5第8页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 指出：在 存在的前提下 仅是拐点存在的必要条件，而不是充分条件。例如函数 在 处有时但（0，0）点并不是曲线 的拐点，因在 两侧，曲线 都是凹的。第9页/共28页ESC(1)确定函数的连续区间;二.曲线凹凸与拐点的求法 对二阶可导函数判定曲线 的凹凸区间并求曲线的拐点
5、的程序:(2)求二阶导数 解方程 求其 根.其根将函数连续区间 分成若干个部分区间;(3)判定:在各个部分区间内讨论导 数 的符号:设 是 的一个 部分区间,当 时,若 则曲线在区间 内凹;若 则曲线在区间 内凸.又假设 且有 若在 点 的左右邻近 的符号相反,则曲线上的点 是曲线的拐点;若在点 的左右邻近 的符号相同,则在 处,曲线没有拐点.第10页/共28页ESC解(2)由于 由得例1 确定曲线的凹凸区间与拐点.(1)函数 的连续区间是(3)判定:在区间 内,因 ,所以曲线凸;在区间 内,因 ,所以曲线凹.将函数的连续区间分成两个部分区间 由于在 的左右两侧,的符号相反,且当 时,故曲线上
6、的点 是曲线的拐点 二.曲线凹凸与拐点的求法 第11页/共28页ESC例1 确定曲线的凹凸区间与拐点.由于在 的左右两侧,的符号相反,且当 时,故曲线上的点 是曲线的拐点.也可用列表的方法判定:故曲线上的点 是曲线的拐点.二.曲线凹凸与拐点的求法 第12页/共28页ESC解试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.例2设一消费品的需求 是消费者的收入 的函数 又因 因收入 非负,故所给需求收入函数的定义域是由 在区间 内,因 ,故曲线凹;在区间 内,因故曲线凸;得 当 时,故曲线的拐点是 二.曲线凹凸与拐点的求法 第13页/共28页ESC结论:试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.例2(续)设一消
7、费品的需求 是消费者的收入 的函数 在区间 内,曲线凹;在区间 内,曲线凸;曲线的拐点是 拐点 凹凸 二.曲线凹凸与拐点的求法 第14页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 例3求曲线的凹凸区间与拐点.令，解得，解 函数的连续区间为第15页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 曲线在及两个区间是凹的，在区间是凸的，和是它的两个拐点.例4求曲线的凹凸区间与拐点.拐点拐点第16页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 只要，恒有，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线 没有拐点，它在整个是凹的，；令，解得；解 函数的连续区间为第17页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 例5
8、求曲线的凹凸区间与拐点.解 函数的连续区间为，在内恒不为零，但时，不存在在4的左侧邻近时，；在4的右侧邻近时，.即在两侧异号，所以是曲线的拐点.第18页/共28页ESC 二.曲线凹凸与拐点的求法 曲线的凹区间是 ，凸区间是1、求曲线 的拐点。2、确定曲线的凹凸区间与拐点.练习：第19页/共28页ESC 内容小结 本节重点讲了：一.曲线凹凸与拐点的定义 二.曲线凹凸与拐点的求法 求拐点的一般步骤：求函数的二阶导数；令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；求函数定义域；第20页/共28页ESC 内容小结 对步骤求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该
9、点不是曲线的拐点第21页/共28页ESC 课堂练习 1、设点（-1，5）是曲线 的拐点，求 的值。2、设曲线 ，在 处取得极大值，点（0，3）是拐点，求 的值。3、求曲线 的拐点。4、讨论曲线 的凹凸性与拐点。第22页/共28页ESC课堂练习5、求下列函数的凹凸区间和拐点。第23页/共28页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第24页/共28页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第25页/共28页使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第26页/共28页ESC 布置作业 P55 习题3.2 1（2）（4）（6）2第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页