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1、用拉氏变换法分析用拉氏变换法分析LTILTI常系数微分方程时，常系数微分方程时，其特点是：其特点是：(1)通过拉氏变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解化简。(2)系统的起始状态(条件)可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。(3)用拉氏变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。第1页/共24页解 对方程取拉氏变换，得整理得例例5-135-13 设有方程设有方程5.4.1 微分方程的拉普拉斯变换解法微分方程的拉普拉斯变换解法第2页/共24页取反变换，得完全响应 y(t
2、)=L1Y(s)=4.5et 4e2t+0.5e3t (t 0)解得解得故有故有第3页/共24页例5-14 设有二阶LTI系统方程 系统初始状态 ，输入 ，试求零输入响应、零状态响应和全响应。解 对方程取拉氏变换，得整理得代入初始状态和F(s)=1/s，得第4页/共24页对上式两边分别取反变换，得全响应为 由例5-14可知，在s域中求零输入响应、零状态响应可以用代数的方法简单求解，若只求全响应，可不必分出Yzi(t)和Yzs(t)，通过Y(s)一举反变换求得y(t)。第5页/共24页例5-15 对于图2所示电路，原已处于稳态，开关于t=0时由1端转向2端。已知R=10，L=1H，C=0.004
3、F，求换路后的电流i(t)。解 因换路前电路已达稳态，故可得 i(0_)=0 uc(0_)=2V换路后(t 0)，其KVL方程为令 i(t)I(s)，u(t)U(s)，则方程的拉氏变换为图图2 2L L第6页/共24页解出I(s)为代入已知数据，可得上式的反变换为 由此可以看出，用拉氏变换求解电路，电路的起始状态自动地包含在s域的代数方程中，从而一次确定电路的全响应，比时域法简便。如将电流响应的象函数表达式分开两项列写，即零状态响应零输入响应第7页/共24页用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质
4、求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解s域方程。域方程。，得到时域解答。，得到时域解答。第8页/共24页n 电路的S域模型电阻元件 5.4.2 电路的电路的 s 域模型域模型 对于具体的电路系统，即使不列写电路的微分方程也可以求解。方法是预先导出电路的 s 域模型，再列写 s 域代数方程，即可求解。下面先介绍基本元件的 s 域模型。时域复频域第9页/共24页电容元件 时域复频域电容s域阻抗或运算阻抗第10页/共24页电感元件电感元件 时域复频域电感的运算阻抗第11页/共24页电路定律的s域表示 应用上述定律
5、可以得到电路的运算阻抗的一般形式。对基尔霍夫定律的时域表示进行拉氏变换，得到基尔霍夫定律的s域表示形式：RCL串联电路 RCL串联电路对应的s域模型s 域阻抗电路第12页/共24页从而 式中，Z(s)称为RLC串联电路的运算阻抗。在形式上和正弦稳态阻抗 相似，只不过用 s 代替j而已。由右图可列出KVL方程即即第13页/共24页 运算阻抗的倒数称为运算导纳，用Y(s)表示，即 由上可知，在电网络系统中，当KCL、KVL和元件的VCR的时域模型用s域模型代替后，其定律和阻抗形式完全与正弦稳态时的形式一致。因此，用拉氏变换法分析电路时，只要将每个元件用s域模型代替，再将信号源用其象函数表示，就可以
6、作出整个电路的s域模型。然后应用数学的线性电路的各种分析方法和定理(如节点法、网孔法、叠加定理、戴维南定理等)，求解s域电路模型，得到待求响应的象函数，最后通过反变换获得响应的时域解。第14页/共24页正弦稳态与复频域分析的对比：第15页/共24页S域模型 图图6 6例5-17 图6(a)为某汽车点火系统的电路模型，12V电源为汽车蓄电池，L为点火线圈。当开关在t=0断开时，将在电感两端产生高压，由高压打火点燃汽油而发动。设R=2，L=1H，C=0.25F，试求t 0时的电压uL(t)及其最大值。第16页/共24页解 首先做电路的s域模型，如图6(c)所示。其中起始状态由网孔方程可得第17页/
7、共24页反变换得故有当 时，电感电压达最大值为第18页/共24页小结小结1.拉普拉斯变换是一种线性积分变换，是求解线性常系数微分方程的有力工具，应用非常普遍。函数f(t)的(单边)拉氏变换为2.拉氏变换的主要性质如下：线性性质延时性质频移性质微分性质第19页/共24页积分性质卷积定理3.求拉氏反变换时，经常使用部分分式展开法和查表法。若 为有理真分式，且D(s)=0只有单根，则有其中系数第20页/共24页n从而n若F(s)中D(s)=0只含m阶重根s1，则n则系数n若F(s)不是真分式，可把F(s)先做长除后写成一个s的多项式和一个余式之和，此余式必为真分式；若F(s)的分母既有单根又有重根，只要把上述两种展开方式结合使用即可。第21页/共24页4.系统的复频域分析对于用微分方程描述的系统，可通过拉氏变换转化为 s 域的代数方程，解方程并经反变换得到时域解。对于给定的线性电网络，可以首先转化为 s 域电路模型，然后利用线性电路的分析方法或定理求出响应的象函数，再反变换得到时域响应。为了方便，若用网孔法列方程时，应该使用电容和电感元件在 s 域的串联模型；若用节点方程分析时，应该使用电容和电感元件在 s 域的并联模型。第22页/共24页作业5-9(a)、(c)5-10(b)5-125-18第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页