考研数学两个重要极限.pptx

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1、第1页/共64页v预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识 以e为底的指数函数y=ex的反函数 y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y=ln x.数 e 是一个无理数，它的前八位数是：e=2.718 281 8 第2页/共64页3.有关指数运算的知识4.无穷小量定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.第3页/共64页5.极限的运算法则第4页/共64页X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999

2、998X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998v第一个重要极限第5页/共64页OxBACD证第6页/共64页解这个结果可以作为公式使用例 1求第7页/共64页例 2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：第8页/共64页 练习1.求下列极限:第9页/共64页第10页/共64页 例 3解例 4解第11页/共64页思考题第12页/共64页练习3：下列等式正确的是（）练习4：下列等式不正确的是（）第13页/共64页练习5.下列极限计算正确的是（）练习6.已知当（）时，为无穷小量.第14页/共64页，当 时，为无穷

3、小量 练习7.已知练习8.练习9.第15页/共64页 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828 X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827v第二个重要极限第16页/共64页第17页/共64页第18页/共64页解因为所以，有例 1第19页/共64页例 2 解方法一令 u=-x，因为 x 0 时 u 0，所以第20页/共64页方法二掌握熟练后可不设新变量第21页/共64页例3解第22页/共64页练习1.解第23页/共64页练习2.解第24

4、页/共64页练习3.解第25页/共64页两个重要极限:v小结第26页/共64页练 习 题第27页/共64页第28页/共64页思考题解因为所以令 u=x -3，当 x 时 u ，因此第29页/共64页两个重要极限的证明第30页/共64页OxRABC证 AOB 面积 扇形AOB 面积 AOC 面积,即例两个重要极限的证明第31页/共64页因为 所以再次运用定理 6 即可得第32页/共64页重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sin x=BD，tan x=AC，第33页/共64页第34页/共64页这就证明了不等式(7).从而有第35页

5、/共64页第36页/共64页重要极限2证第37页/共64页第38页/共64页这是重要极限2常用的另一种形式.第39页/共64页分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题(一)第40页/共64页第41页/共64页例3 求下列极限：第42页/共64页解：当x从0的左侧趋于0时，当x从0的右侧趋于0时,第43页/共64页例5 求下列极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零

6、因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。第44页/共64页解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。第45页/共64页求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有第46页/共64页分析：当x0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1个重要极限。第47页/共64页第48页/共64页解法2：第49页/共64页分析：当 x0时，分式中分子分母的极限

7、均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。第50页/共64页解：因当x时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到 第51页/共64页第52页/共64页解1.求极限:极限综合练习题(二)第53页/共64页 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 2.求下列极限：第54页/共64页解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即3.求下列极限：第55页/共64页分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结

8、论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有 第56页/共64页=2 2+1=5 解5.求第57页/共64页解6.求极限第58页/共64页 解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以7.求极限第59页/共64页8.求极限第60页/共64页9.设函数问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续；（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；（3）当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。处右连续。在时，。故当，从而，又右连续，须有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(=+xxfaaaxxxaffxfxxxf第61页/共64页根据f(x)x=0处极限存在的充分必要条件：即a=1,故当a=b=1时，f(x)在x=0处连续第62页/共64页解:利用第二重要极限计算，即 10.求下列极限第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页