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1、现代现代(xindi)谱分析谱分析第一页，共48页。本章(bn zhn)主要内容一、概述一、概述(i sh)二、二、ARMA谱分析谱分析(Auto-Regressive Moving Average Model)自回归滑自回归滑动平均模型动平均模型1 ARMA模型模型2 ARMA模型的功率谱估计模型的功率谱估计3 AR模型谱的性质模型谱的性质4 AR模型的建立模型的建立第1页/共48页第二页，共48页。本章(bn zhn)主要内容三、其他三、其他(qt)形式谱分析形式谱分析1 最大熵谱最大熵谱2 最大似然谱最大似然谱3 特征分解法特征分解法第2页/共48页第三页，共48页。直接法（周期直接法（
2、周期图法）图法）经典谱分析经典谱分析 主要主要(zhyo)缺点：分辨率低，方差性缺点：分辨率低，方差性能不好能不好 （非参数化方法）（非参数化方法）间间接法（自相关法）接法（自相关法）谱分析谱分析（功率谱）（功率谱）ARMA谱分析谱分析 最大熵谱估计最大熵谱估计现代谱分析现代谱分析 最大似最大似然谱估计然谱估计 Pisarenko法法（参数化方法）（参数化方法）特特征分解法征分解法Prony法法 MUSIC法法第3页/共48页第四页，共48页。经典谱分析法不足的主要原因经典谱分析法不足的主要原因经典谱分析法不足的主要原因经典谱分析法不足的主要原因方差性能差：不能求取定义中的均值和极限值；方差性
3、能差：不能求取定义中的均值和极限值；方差性能差：不能求取定义中的均值和极限值；方差性能差：不能求取定义中的均值和极限值；分辨率低：计算数据（包括自相关分辨率低：计算数据（包括自相关分辨率低：计算数据（包括自相关分辨率低：计算数据（包括自相关(xinggun)(xinggun)函数）以函数）以函数）以函数）以外的值为零外的值为零外的值为零外的值为零现代谱分析方法现代谱分析方法现代谱分析方法现代谱分析方法改善谱分析的性能改善谱分析的性能改善谱分析的性能改善谱分析的性能代表的主要方法：代表的主要方法：代表的主要方法：代表的主要方法：ARMAARMA谱分析谱分析谱分析谱分析第4页/共48页第五页，共4
4、8页。2.1 ARMA模型(mxng)ARMAARMA模型模型模型模型(mxng)(mxng)定义定义定义定义 设设设设x(n)x(n)平稳、正态、零均值随机序列平稳、正态、零均值随机序列平稳、正态、零均值随机序列平稳、正态、零均值随机序列 式中式中式中式中 第5页/共48页第六页，共48页。特例特例特例特例 (1)(1)当当当当 称为称为称为称为ARAR模型模型模型模型 AR(n)AR(n)比较简单，建模方便，工程运用比较简单，建模方便，工程运用比较简单，建模方便，工程运用比较简单，建模方便，工程运用(ynyng)(ynyng)广泛广泛广泛广泛(2)(2)当当当当 称为称为称为称为MAMA模
5、型模型模型模型 MA(n)MA(n)第6页/共48页第七页，共48页。例例 AR(1)一阶一阶AR模型模型(mxng)AR(5)五阶五阶AR模型模型(mxng)ARMA(3,2)第7页/共48页第八页，共48页。从系统角度看从系统角度看从系统角度看从系统角度看 系统输入系统输入系统输入系统输入 -白噪声白噪声白噪声白噪声 系统输出系统输出系统输出系统输出(shch)(shch)h(n)-h(n)-系统单位抽样响应系统单位抽样响应系统单位抽样响应系统单位抽样响应第8页/共48页第九页，共48页。ARMAARMA模型就是离散系统的一般差分方程模型就是离散系统的一般差分方程模型就是离散系统的一般差分
6、方程模型就是离散系统的一般差分方程 对两式作对两式作对两式作对两式作 Z Z 变换变换变换变换(binhun)(binhun)，可得：（并假定，可得：（并假定，可得：（并假定，可得：（并假定 ）式中式中式中式中第9页/共48页第十页，共48页。系统的差分方程，系统的差分方程，Z变换得到的系变换得到的系统模型：统模型：系统函数系统函数H(z)是输入、输出是输入、输出等价等价(dngji)原则原则ARMA模型：模型：输出等价输出等价(dngji)原则原则基于基于x(n)建立，没有利用系统输建立，没有利用系统输入的任何信息入的任何信息本质上它是将白噪声本质上它是将白噪声(n)视为输视为输入入ARMA
7、模型的适用范围要广泛得模型的适用范围要广泛得多多第10页/共48页第十一页，共48页。对于对于对于对于ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型，用系统函数来表示模型，用系统函数来表示模型，用系统函数来表示模型，用系统函数来表示 可以证明，可以证明，可以证明，可以证明，H(z)H(z)可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为 -一个有限阶的一个有限阶的一个有限阶的一个有限阶的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型模型模型模型无限高阶的无限高阶的无限高阶的无限高阶的AR()AR()模型模型模型模型 实用中一般采用足够高阶的实用中一般采用足够高阶的实用中一般采用足够高阶的实用中一般采用足够高阶的A
8、RAR模型来取代模型来取代模型来取代模型来取代ARMAARMA模型，模型，模型，模型，以避免估计以避免估计以避免估计以避免估计ARMAARMA模型参数模型参数模型参数模型参数(cnsh)(cnsh)的困难。的困难。的困难。的困难。第11页/共48页第十二页，共48页。同样同样同样同样(tngyng)(tngyng)可证可证可证可证:-此外从系统的零极点分布上看此外从系统的零极点分布上看此外从系统的零极点分布上看此外从系统的零极点分布上看AR(n)AR(n)-全极点模型全极点模型全极点模型全极点模型IIRIIRMA(n)-MA(n)-零点模型零点模型零点模型零点模型FIRFIRARMA(p,q)
9、ARMA(p,q)-零极点模型零极点模型零极点模型零极点模型IIRIIR第12页/共48页第十三页，共48页。2.2 ARMA2.2 ARMA模型模型(mxng)(mxng)功率谱估计功率谱估计由随机信号的功率谱估计：由随机信号的功率谱估计：由随机信号的功率谱估计：由随机信号的功率谱估计：和白噪声和白噪声和白噪声和白噪声(zoshng)(zoshng)有有有有x(n)x(n)的功率谱的功率谱的功率谱的功率谱:式中式中式中式中分别为分别为分别为分别为ARMAARMA的模型参数的模型参数的模型参数的模型参数 第13页/共48页第十四页，共48页。特别特别特别特别(tbi)(tbi)的，对的，对的，
10、对的，对ARAR模型模型模型模型 -AR-AR谱谱谱谱 MAMA谱：谱：谱：谱：第14页/共48页第十五页，共48页。离散谱：离散谱：离散谱：离散谱：0202等间隔抽样等间隔抽样等间隔抽样等间隔抽样N N点点点点AR(n):AR(n):如用如用如用如用 代入：代入：代入：代入：FFTFFT计算计算计算计算(j sun)(j sun)只要求出只要求出只要求出只要求出ARAR模型参数模型参数模型参数模型参数 ，k=1,2,nk=1,2,n，就可就可就可就可以求出以求出以求出以求出x(n)x(n)的的的的ARAR谱。谱。谱。谱。第15页/共48页第十六页，共48页。2.3 AR2.3 AR模型模型模
11、型模型(mxng)(mxng)谱的性质谱的性质谱的性质谱的性质ARAR模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于(yuy)AR(yuy)AR模型具有滤波意义模型具有滤波意义模型具有滤波意义模型具有滤波意义1 1、白化过程、白化过程、白化过程、白化过程2 2、x(n)=-a1x(n-1)-a2x(n-2)-+(n)x(n)=-a1x(n-1)-a2x(n-2)-+(n)白噪声白噪声白噪声白噪声3 3、a1,a2,apa1,a2,ap实际：实际：实际：实际：第16页/共48页第十七页，共48页。第
12、17页/共48页第十八页，共48页。ARAR谱的分辨率谱的分辨率谱的分辨率谱的分辨率经典法：抽样间隔经典法：抽样间隔经典法：抽样间隔经典法：抽样间隔(jin g)(jin g)，数据长度，数据长度，数据长度，数据长度N N，则频率分辨率则频率分辨率则频率分辨率则频率分辨率:而而而而ARAR谱的分辨率可以不受此限制，这是因为对给定的数谱的分辨率可以不受此限制，这是因为对给定的数谱的分辨率可以不受此限制，这是因为对给定的数谱的分辨率可以不受此限制，这是因为对给定的数据据据据xN(n),n=0,1,N-1xN(n),n=0,1,N-1，虽然求模型参数时需估计出的，虽然求模型参数时需估计出的，虽然求模
13、型参数时需估计出的，虽然求模型参数时需估计出的自相关函数也是有限的，即自相关函数也是有限的，即自相关函数也是有限的，即自相关函数也是有限的，即m=-(N-1)(N-1)m=-(N-1)(N-1)，但实质上，但实质上，但实质上，但实质上隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度。给定的长度。给定的长度。给定的长度。第18页/共48页第十九页，共48页。ARAR谱实际上对应的是一个无穷长的自相关函数谱实际上对应的是一个无穷长的自相关函数谱实
14、际上对应的是一个无穷长的自相关函数谱实际上对应的是一个无穷长的自相关函数(hnsh)(hnsh)，若记为若记为若记为若记为Ra(m)Ra(m)即即即即由外推产生的自相关函数由外推产生的自相关函数由外推产生的自相关函数由外推产生的自相关函数(hnsh)Ra(m)(hnsh)Ra(m)与真实的自相关函与真实的自相关函与真实的自相关函与真实的自相关函数数数数(hnsh)Rx(m)(hnsh)Rx(m)有以下关系：有以下关系：有以下关系：有以下关系：第19页/共48页第二十页，共48页。经典法谱估计的自相关法经典法谱估计的自相关法经典法谱估计的自相关法经典法谱估计的自相关法:它是把它是把它是把它是把|
15、m|N-1|m|N-1以外的自相关函数都视为零，其分辨以外的自相关函数都视为零，其分辨以外的自相关函数都视为零，其分辨以外的自相关函数都视为零，其分辨率当然不可避免地要受到窗函数宽度的限制率当然不可避免地要受到窗函数宽度的限制率当然不可避免地要受到窗函数宽度的限制率当然不可避免地要受到窗函数宽度的限制(xinzh)(xinzh)。ARAR模型谱对应的自相关函数：模型谱对应的自相关函数：模型谱对应的自相关函数：模型谱对应的自相关函数：在在在在|m|p|m|p后并不等于零，它可以有上式外推，因此还后并不等于零，它可以有上式外推，因此还后并不等于零，它可以有上式外推，因此还后并不等于零，它可以有上式
16、外推，因此还避免了窗函数的影响。这就是避免了窗函数的影响。这就是避免了窗函数的影响。这就是避免了窗函数的影响。这就是ARAR模型谱的分辨率高的模型谱的分辨率高的模型谱的分辨率高的模型谱的分辨率高的一个主要原因。一个主要原因。一个主要原因。一个主要原因。第20页/共48页第二十一页，共48页。ARAR谱的匹配性质谱的匹配性质谱的匹配性质谱的匹配性质对于对于对于对于x(n)n=0,1,x(n)n=0,1,功率谱：功率谱：功率谱：功率谱：ARAR谱：谱：谱：谱：Rx(m)Rx(m)与与与与Ra(m)Ra(m)的关系的关系的关系的关系(gun x)(gun x)由前面给出。由前面给出。由前面给出。由前
17、面给出。若增大若增大若增大若增大ARAR模型的阶数模型的阶数模型的阶数模型的阶数p p，则等效的增加了，则等效的增加了，则等效的增加了，则等效的增加了Ra(m)Ra(m)中和中和中和中和Rx(m)Rx(m)相等的部分，这样相等的部分，这样相等的部分，这样相等的部分，这样第21页/共48页第二十二页，共48页。表示谱意义上的匹配，而非时域上的匹配。表示谱意义上的匹配，而非时域上的匹配。表示谱意义上的匹配，而非时域上的匹配。表示谱意义上的匹配，而非时域上的匹配。估计值估计值估计值估计值ARAR模型所对应的模型所对应的模型所对应的模型所对应的H(z)H(z)是一个全极点是一个全极点是一个全极点是一个
18、全极点(jdin)(jdin)模型模型模型模型易于表示谱峰易于表示谱峰易于表示谱峰易于表示谱峰不易表现谱谷不易表现谱谷不易表现谱谷不易表现谱谷因此在整频率范围内，因此在整频率范围内，因此在整频率范围内，因此在整频率范围内，所表示的峰点要比所表所表示的峰点要比所表所表示的峰点要比所表所表示的峰点要比所表示的谷点的精度示的谷点的精度示的谷点的精度示的谷点的精度(准确性准确性准确性准确性)要好。要好。要好。要好。第22页/共48页第二十三页，共48页。第23页/共48页第二十四页，共48页。ARAR谱的统计特征谱的统计特征谱的统计特征谱的统计特征ARAR谱的方差反比与数据谱的方差反比与数据谱的方差反
19、比与数据谱的方差反比与数据x(n)x(n)的长度的长度的长度的长度N N和信噪比和信噪比和信噪比和信噪比SNRSNR。ARAR谱的不足谱的不足谱的不足谱的不足与模型本身有关与模型本身有关与模型本身有关与模型本身有关与求解方法与求解方法与求解方法与求解方法(fngf)(fngf)有关有关有关有关(建模算法建模算法建模算法建模算法)第24页/共48页第二十五页，共48页。2.4 AR2.4 AR模型模型(mxng)(mxng)的建立的建立建模建模建模建模-求解模型参数：求解模型参数：求解模型参数：求解模型参数：由于由于由于由于ARMAARMA和和和和MAMA模型建模涉及到非线性方程，而模型建模涉及
20、到非线性方程，而模型建模涉及到非线性方程，而模型建模涉及到非线性方程，而ARAR模型建模型建模型建模型建立相对简单立相对简单立相对简单立相对简单(jindn)(jindn)，且可用，且可用，且可用，且可用,工程应用中一般采用工程应用中一般采用工程应用中一般采用工程应用中一般采用ARAR模型。模型。模型。模型。第25页/共48页第二十六页，共48页。信号信号信号信号(xnho)(xnho)的预处理：的预处理：的预处理：的预处理：采样：满足采样：满足采样：满足采样：满足NaquistNaquist定理，数据长度应考虑频率分辨率定理，数据长度应考虑频率分辨率定理，数据长度应考虑频率分辨率定理，数据长
21、度应考虑频率分辨率数据特性的检验数据特性的检验数据特性的检验数据特性的检验:)平稳性检验平稳性检验平稳性检验平稳性检验(有趋势项时应提取有趋势项时应提取有趋势项时应提取有趋势项时应提取););均值、相关系数均值、相关系数均值、相关系数均值、相关系数)正态性检验正态性检验正态性检验正态性检验 三阶矩三阶矩三阶矩三阶矩 四阶矩四阶矩四阶矩四阶矩)零均值零均值零均值零均值)标准化标准化标准化标准化 第26页/共48页第二十七页，共48页。最小二乘法最小二乘法 直接法直接法 基于基于(jy)自相关函数的最小二乘法自相关函数的最小二乘法 解解Yale-Walker U-C法法AR模型参数模型参数估计方法
22、估计方法 Levinson法法 参数递推法参数递推法 Burg法法 Marple法法 递推法递推法 LUD法法 矩阵递推法矩阵递推法 BSMF法法第27页/共48页第二十八页，共48页。本课程介绍：本课程介绍：最小二乘法最小二乘法(chngf)(chngf)基于自相关函数的最小二基于自相关函数的最小二乘法乘法(chngf)(chngf)解解Yale-WalkerYale-Walker法法LevinsonLevinson法法模型的适用性检验模型的适用性检验第28页/共48页第二十九页，共48页。AR(p)AR(p)模型模型模型模型 数据数据数据数据x(1),x(2),x(N)Npx(1),x(2
23、),x(N)Np由于由于由于由于只要求只要求只要求只要求(yoqi)(yoqi)出出出出 ai ai 就可由上式估计出就可由上式估计出就可由上式估计出就可由上式估计出 ，因此建模求：因此建模求：因此建模求：因此建模求：ai ai，(i=1,2,3p)(i=1,2,3p)第29页/共48页第三十页，共48页。最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法 将序列将序列将序列将序列x(n)x(n)x(n)x(n)直接代入直接代入直接代入直接代入ARARARAR模型，得下列模型，得下列模型，得下列模型，得下列(xili)(xili)(xili)(xili)方程组方程组方程组方程组注：数据注：数据注：数据注
24、：数据x(n)Nx(n)Nx(n)Nx(n)N个；模型参数个；模型参数个；模型参数个；模型参数aiaiaiai为为为为p p p p个，通常个，通常个，通常个，通常Np Np Np Np 第30页/共48页第三十一页，共48页。用矩阵用矩阵用矩阵用矩阵(j zhn)(j zhn)表示表示表示表示第31页/共48页第三十二页，共48页。参数参数(cnsh)(cnsh)矩阵矩阵A A的最小二乘估计为的最小二乘估计为特点：算法简单，估计精度高，但计算量特点：算法简单，估计精度高，但计算量(次数次数)与与Np2Np2成正成正比。模型阶数比。模型阶数p p增高时，运算量急剧增加。增高时，运算量急剧增加。
25、第32页/共48页第三十三页，共48页。基于基于基于基于(jy)(jy)(jy)(jy)自相关系数的最小二乘法自相关系数的最小二乘法自相关系数的最小二乘法自相关系数的最小二乘法对对对对两边乘以两边乘以两边乘以两边乘以 x(n-k)x(n-k)x(n-k)x(n-k)并取均值，得并取均值，得并取均值，得并取均值，得:Eu(n)x(n-k)=0Eu(n)x(n-k)=0Eu(n)x(n-k)=0Eu(n)x(n-k)=0令令令令 有有有有第33页/共48页第三十四页，共48页。分别分别分别分别(fnbi)(fnbi)令令令令k=1,2,m,k=1,2,m,并注意并注意并注意并注意R(-k)=R(k
26、)=(-k)=(k)R(-k)=R(k)=(-k)=(k)可得线性方程组可得线性方程组可得线性方程组可得线性方程组:第34页/共48页第三十五页，共48页。写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式(xngsh)(xngsh)：A A同前，用最小二乘法：同前，用最小二乘法：同前，用最小二乘法：同前，用最小二乘法：-不是由数据不是由数据不是由数据不是由数据x(n)x(n)构成，而是由自相关系数构成，而是由自相关系数构成，而是由自相关系数构成，而是由自相关系数 构成构成构成构成主要特点：主要特点：主要特点：主要特点：不易出病态，即矩阵中元素的绝对不易出病态，即矩阵中元素的绝对不易出病态，即矩
27、阵中元素的绝对不易出病态，即矩阵中元素的绝对值可能相差悬殊。值可能相差悬殊。值可能相差悬殊。值可能相差悬殊。x(n)x(n)多次使用多次使用多次使用多次使用(k),(k),信息提取充分，数据利用率高。信息提取充分，数据利用率高。信息提取充分，数据利用率高。信息提取充分，数据利用率高。第35页/共48页第三十六页，共48页。若上述方法中，取若上述方法中，取若上述方法中，取若上述方法中，取k=1,2,pk=1,2,p，即方程个数等于参数，即方程个数等于参数，即方程个数等于参数，即方程个数等于参数个数，则个数，则个数，则个数，则=TA -Yale-Walker=TA -Yale-Walker方程方程
28、方程方程T T为为为为p p阶方阵，称为阶方阵，称为阶方阵，称为阶方阵，称为ToeplitzToeplitz矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)可方便求出可方便求出可方便求出可方便求出A:A:特点：算法简单，运算量小，但是精度低特点：算法简单，运算量小，但是精度低特点：算法简单，运算量小，但是精度低特点：算法简单，运算量小，但是精度低第36页/共48页第三十七页，共48页。模型的适用性检验模型的适用性检验模型的适用性检验模型的适用性检验从理论从理论从理论从理论(lln)(lln)(lln)(lln)上来说，上来说，上来说，上来说，ARMAARMAARMAARMA模型成立的根本条件是模型
29、成立的根本条件是模型成立的根本条件是模型成立的根本条件是(n)(n)(n)(n)为白噪声。为白噪声。为白噪声。为白噪声。模型适用性的最根本的检验准则：模型适用性的最根本的检验准则：模型适用性的最根本的检验准则：模型适用性的最根本的检验准则：检验检验检验检验(n)(n)(n)(n)是否为白噪声是否为白噪声是否为白噪声是否为白噪声实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真值偏离往往很大，影响准确性，因此在实际应用中发展值偏离往往很大，影响准确性，因此
30、在实际应用中发展值偏离往往很大，影响准确性，因此在实际应用中发展值偏离往往很大，影响准确性，因此在实际应用中发展了一系列准则以检验模型的适用性。了一系列准则以检验模型的适用性。了一系列准则以检验模型的适用性。了一系列准则以检验模型的适用性。第37页/共48页第三十八页，共48页。自相关系数准则自相关系数准则自相关系数准则自相关系数准则计算计算计算计算(n)(n)(n)(n)的自相关系数：的自相关系数：的自相关系数：的自相关系数：满足满足满足满足(mnz)(mnz)(mnz)(mnz)上式，模型适合上式，模型适合上式，模型适合上式，模型适合-白噪声准白噪声准白噪声准白噪声准则则则则第38页/共4
31、8页第三十九页，共48页。残差平方和检验准则残差平方和检验准则残差平方和检验准则残差平方和检验准则比较，比较，比较，比较，的变化大小来判断模的变化大小来判断模的变化大小来判断模的变化大小来判断模型型型型(mxng)(mxng)(mxng)(mxng)是否合适。是否合适。是否合适。是否合适。第39页/共48页第四十页，共48页。信息准则信息准则信息准则信息准则(zhnz)(zhnz)(zhnz)(zhnz)最小值最小值最小值最小值 对应的对应的对应的对应的)p p p p 第40页/共48页第四十一页，共48页。三、其他三、其他三、其他三、其他(qt)(qt)(qt)(qt)形式的谱分析形式的谱
32、分析形式的谱分析形式的谱分析1 1、最大熵谱、最大熵谱、最大熵谱、最大熵谱(Maximum Entropy Spectrum)(Maximum Entropy Spectrum)最大熵谱是最大熵谱是最大熵谱是最大熵谱是BurgBurg与与与与19671967年提出年提出年提出年提出熵的概念熵的概念熵的概念熵的概念最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计与与与与ARAR谱关系谱关系谱关系谱关系设信源是由属于集合设信源是由属于集合设信源是由属于集合设信源是由属于集合X=x1,x2,xMX=x1,x2,xM的的的的MM个事件个事件个事件个事件(shjin)(shjin)所组所组所组所组成。成
33、。成。成。信源产生事件信源产生事件信源产生事件信源产生事件(shjin)xj(shjin)xj的概率为的概率为的概率为的概率为P(xj),P(xj),则则则则第41页/共48页第四十二页，共48页。定义在集合定义在集合定义在集合定义在集合X X中事件中事件中事件中事件xjxj的信息量为的信息量为的信息量为的信息量为:（单位（单位（单位（单位natnat）定义整个信源定义整个信源定义整个信源定义整个信源MM个事件的平均信息量为：个事件的平均信息量为：个事件的平均信息量为：个事件的平均信息量为：则称则称则称则称H(X)H(X)为信源为信源为信源为信源X X的熵的熵的熵的熵熵的下界熵的下界熵的下界熵
34、的下界-对应于没有对应于没有对应于没有对应于没有(mi yu)(mi yu)任何不确定性任何不确定性任何不确定性任何不确定性 上界上界上界上界-对应于最大的不确定性对应于最大的不确定性对应于最大的不确定性对应于最大的不确定性第42页/共48页第四十三页，共48页。若信源若信源若信源若信源X X是一个是一个是一个是一个(y)(y)连续随机变量，其概率密度连续随机变量，其概率密度连续随机变量，其概率密度连续随机变量，其概率密度p(x)p(x)是连续函是连续函是连续函是连续函数。则熵定义为：数。则熵定义为：数。则熵定义为：数。则熵定义为：与信源与信源与信源与信源X X熵的定义类似，熵的定义类似，熵的
35、定义类似，熵的定义类似，定义随机信号定义随机信号定义随机信号定义随机信号X X的功率谱的功率谱的功率谱的功率谱 的熵为：的熵为：的熵为：的熵为：可以证明可以证明可以证明可以证明H(x)H(x)正比于正比于正比于正比于 ，达到最大达到最大达到最大达到最大=H(x)=H(x)最大最大最大最大使使使使 达到最大的功率谱就称为最大熵谱达到最大的功率谱就称为最大熵谱达到最大的功率谱就称为最大熵谱达到最大的功率谱就称为最大熵谱第43页/共48页第四十四页，共48页。BurgBurg的最大熵谱法：的最大熵谱法：的最大熵谱法：的最大熵谱法：求功率谱求功率谱求功率谱求功率谱 ，使，使，使，使 在约束条件：在约束
36、条件：在约束条件：在约束条件：下，利于下，利于下，利于下，利于LagrangeLagrange乘子法，使乘子法，使乘子法，使乘子法，使 最大。最大。最大。最大。得到得到得到得到(d do)(d do)最大熵功率谱最大熵功率谱最大熵功率谱最大熵功率谱 ，即：，即：，即：，即：式中式中式中式中 ,a1,a2,ap ,a1,a2,ap 就是就是就是就是AR(p)AR(p)模型参数模型参数模型参数模型参数上式表示：上式表示：上式表示：上式表示：ARAR谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号）谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号）谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号）谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号）第44页/共48
37、页第四十五页，共48页。2 2 2 2、最大似然谱、最大似然谱、最大似然谱、最大似然谱也称也称也称也称CaponCaponCaponCapon谱，由谱，由谱，由谱，由CaponCaponCaponCapon与与与与1969196919691969年提出年提出年提出年提出基本思想：设计一组基本思想：设计一组基本思想：设计一组基本思想：设计一组(理论上的无穷理论上的无穷理论上的无穷理论上的无穷(wqing)(wqing)(wqing)(wqing)多个多个多个多个)窄带滤窄带滤窄带滤窄带滤波器，每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止波器，每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止波器，
38、每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止波器，每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差(即功即功即功即功率率率率)，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。第45页/共48页第四十六页，共48页。窄带滤波器组在最小方差(fn ch)条件下求出ak-窄带滤波器系数可以证明，最大似然谱与AR谱的关
39、系为上式的意义是，p阶最大似然谱的倒数是从0阶与p阶所有AR谱倒数的和。由于倒数和相当于一个平均，因此MV谱的分辨率小于AR谱。第46页/共48页第四十七页，共48页。3 3 3 3、非有理式谱分析方法、非有理式谱分析方法、非有理式谱分析方法、非有理式谱分析方法(fngf)(fngf)(fngf)(fngf)对于正弦随机信号，其谱密度出数为线谱，不具有对于正弦随机信号，其谱密度出数为线谱，不具有对于正弦随机信号，其谱密度出数为线谱，不具有对于正弦随机信号，其谱密度出数为线谱，不具有有理式的形式，不能用前面讨论的方法有理式的形式，不能用前面讨论的方法有理式的形式，不能用前面讨论的方法有理式的形式，不能用前面讨论的方法(fngf)(fngf)(fngf)(fngf)进进进进行分析。非有理谱分析的主要方法行分析。非有理谱分析的主要方法行分析。非有理谱分析的主要方法行分析。非有理谱分析的主要方法(fngf)(fngf)(fngf)(fngf)有：有：有：有：Pisarenko Pisarenko Pisarenko Pisarenko 谐波分析法谐波分析法谐波分析法谐波分析法Prony Prony Prony Prony 法法法法MUSIC MUSIC MUSIC MUSIC 法法法法第47页/共48页第四十八页，共48页。