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1、第第1010章章 矩阵位移法矩阵位移法第1页/共116页10-1 概述10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤及算例10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析10-9 桁架结构的整体分析主要内容第2页/共116页10-1 10-1 概述概述 1、结构分析方法 1）传统方法前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。2）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以
2、矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。第3页/共116页2 2、基本思路、基本思路 1）手算位移法（1）取基本体系构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；（2）写出杆端弯矩表达式建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；3）矩阵位移法它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。10-1 概述第4页/共116页（3）根据结点、截面的平衡条件建立力的平衡方程，即位移法方程。2）矩阵位移法（1）结构离散化划分单元；（2）单元分析建立单元的杆端力与杆
3、端位移间的关系，形成单元刚度矩阵；（3）整体分析建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。10-1 概述第5页/共116页下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。用位移法解该题：2、杆端弯矩：1、未知量：M1M3M2i1i210-1 概述132第6页/共116页3、建立方程：4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩M1M3M2i1i210-1 概述132 第7页/共116页把以上解题过程写成矩阵形式：1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）1-2杆单元刚度方程M1M3M2i1i210-1 概述132写成矩阵形式1 212第8页
4、/共116页2-3杆单元刚度方程M1M3M2i1i210-1 概述132写成矩阵形式2 3233、位移法方程：第9页/共116页位移法方程写成矩阵形式：整体刚度矩阵4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩 以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。M1M3M2i1i210-1 概述1321 2 3 123结点荷载列阵结点位移列阵第10页/共116页10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵 1、单元划分及编号 在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个单元，并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。2、结点编号及未知量确定结点编号的作用：用于单元定位确定未知量结点编号的方法
5、：先处理法后处理法第11页/共116页 因此一个刚结点就有3个位移：，而且支 座位移也要作为未知量。在确定未知量时：不忽略轴向变形；所有单元都是两端固定的。先处理法：是直接给未知量编号。后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第12页/共116页后处理法：结点编号如图所示，先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：因此未知量为6个。结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移为零编“0”号。由于：10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下
6、的单元刚度矩阵阵第13页/共116页后处理法：单元编号如图所示，先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：单元编号如图所示，单元两头的结点号为：“1”、“2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。单元两头的结点号为：“1,2,3”、“4,5,6”，如果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第14页/共116页后处理法：结点编号如图所示，1,2,34,5,60,0,70,0,0例2：1234由于：因此未知量为7个。先处理法：结点编号如图所示，7个未知量，号就编到7。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩
7、局部坐标下的单元刚度矩阵阵第15页/共116页先处理法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：结点编号如图所示，由于：因此未知量为8个。结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第16页/共116页先处理法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：单元编号如图所示，单元编号如图所示。单元 “1”、“2”对应单元 “1”、“4”对应单元 “3”、“5”对应单元 “123”、“456”对应单元 “123”、“008”对应单元 “457”、“000”对应10-
8、2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第17页/共116页后处理法：12341,23,40,00,5例4：结点编号如图所示，桁架一个结点2各线位移，由于：因此未知量为5个。先处理法：结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第18页/共116页后处理法：例4：1234单元编号如图所示，1,23,40,00,5先处理法：单元编号如图所示，单元 “1”、“2”对应单元 “1”、“4”对应单元 “1,2”、“3,4”对应单元 “1,2”、“0,5”对应10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元
9、刚度矩阵阵第19页/共116页 3、建立坐标坐标系：局部坐标整体坐标1）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴 不标出。单元的起始点是“1”，终点是“2”。1234ABFAXFBXFBYFAYMABMBA10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第20页/共116页后处理法：例4：局部坐标如图所示，1234单元 “1”、“2”对应单元 “4”、“1”对应单元定位向量：123142344132先起始点后终点10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第21页/共116页例4：先处理法：局部坐标如图所示，
10、单元 “1,2”、“3,4”对应1,23,40,00,5单元 “0,5”、“1,2”对应单元定位向量：12340012053400050512003410-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第22页/共116页2）整体坐标作用：用于建立位移法方程方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。1234XYXYOx 表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第23页/共116页4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩
11、阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第24页/共116页单元形式 两端固定单元杆端位移 每端各三个位移，杆端力 每端各三个杆力，正负号规定 与局部坐标一致为正，相反为负。eE，A，Il122u2v1ue211v1q2qx2Fy2F2Mx1F1My1Fe1210-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第25页/共116页121212EALEI,EAEALEI,EA6EIL21
12、2EIL26EIL212EIL24EIL6EIL22EIL6EIL2EI,EA10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第26页/共116页121212EI,EAEALEALEI,EA12EIL212EIL22EIL6EIL24EIL6EIL2EI,EA6EIL26EIL210-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第27页/共116页 当两端固定单元的两端同时发生六个位移时，六个杆端力可利用叠加原理求出：1号杆端 2号杆端10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第28页/共116页把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵
13、形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 2=10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第29页/共116页EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24E
14、IL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 2=可缩写成:-单元刚度方程10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第30页/共116页单元刚度方程：其中：-单元杆端力列阵-单元杆端位移列阵FX1FY1FX2Fy2M2M1=u 2u 1v 2v 2=10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第31页/共116页EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL2
15、4EIL-6EIL2=-单元刚度矩阵也可写成：122110-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第32页/共116页单元刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。=ijkjik 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端 位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：，因此单元刚度矩阵是对称矩阵。第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个 杆端力分量。一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。，不 存在逆矩阵。10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第33页/共116页EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000
16、000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1221 由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，得到特殊情况下的单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第34页/共116页EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 例如：
17、已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第35页/共116页 两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：4EIL2EIL2EIL=1 2 124EIL10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第36页/共116页EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-
18、6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第37页/共116页 两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 123410-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第38页/共116页EA
19、L-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第39页/共116页 轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成44的。-EAL0EAL00=1 2 3 4 12340000-EAL0EA
20、L000010-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩局部坐标下的单元刚度矩阵阵第40页/共116页10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。第41页/共116页yx10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxyx局部坐标系中的杆端力x1Fy1F1Mx2Fy2F2M整体坐标系中的杆端力yx第42页/共116页yxy
21、x局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxx1Fy1F1Mx2Fy2F2Myx局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第43页/共116页其中：T单元坐标转换矩阵同理：0000100000000100000000000000可缩写成：写成矩阵形式10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第44页/共116页T单元坐标转换矩阵；0000100000000100000000000000T=其中：是一正交矩阵,T-1=TT。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第45页/共116页整体坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度方程：
22、将、式代入式，有：与 比较，令：杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：等式两边前乘 ，得：10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第46页/共116页与 同阶，性质类似：一般单元的 是奇异矩阵。是对称矩阵。表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引 起的第i个杆端力。整体坐标下的单元刚度矩阵：10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第47页/共116页计算步骤：计算步骤：1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。2）对每个单元按式写出局部坐标下的单元刚度矩阵。3）对每个单元按式写出坐标转换矩阵。4）对每个单元按
23、式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第48页/共116页例1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。解：1）编号、建立坐标如图所示。1231,2,30,0,00,0,4yx2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第49页/共116页3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵 单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，即：kk单元：=900，转换矩阵为：T113556223446xy10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第50页/共116页kkTT1 2 3 0 0 01 2 3 0
24、0 0k10 4122110-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第51页/共116页例2：求整体坐标下的单元刚度矩阵A=0.5m2,I=1/24m4,E=3107Mpa。yx1231,2,30,0,00,0,06m8m6m解：编号建立坐标如图所示。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第52页/共116页kk由于单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第53页/共116页单元：=36.870转换矩阵为：T10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第54页/共116页kTTk10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第55页/共116页123426123456xy10-3 整体坐标下的单元刚
25、度矩阵第56页/共116页1、编号、建立坐标如图所示。2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。M1M3M2i1i213210-4 连续梁的整体刚度矩阵重做一下概述中的例题：3、位移法方程整体刚度方程这是目前会做的第57页/共116页由前面得到的位移法方程：10-4 连续梁的整体刚度矩阵写成矩阵形式：可以缩写成：整体刚度方程第58页/共116页10-4 连续梁的整体刚度矩阵整体刚度方程：其中：整体刚度矩阵结构位移列阵结构荷载列阵本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。1 2 3 12312212233第59页/共116页整体刚度矩阵形成步骤：整体刚度矩阵形成步骤：把单元的定位向量标在整体坐标
26、下的单元刚度矩阵边上；把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去；整体刚度矩阵K的阶数等于结构未知量数，若未知量为n，K就是nn的方阵；把各单元刚度矩阵ke按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成K。10-4 连续梁的整体刚度矩阵第60页/共116页例1：2）单元刚度矩阵1234510-4 连续梁的整体刚度矩阵解：1）编号及建立坐标123456i1i5i4i3i21 2122 3233 4344 5455 656第61页/共116页3）整体刚度矩阵 2 3 4 5 6 2 3 4 5 64i1+4i22i22i24i2+4i32i32i34i3+4i42i42i44i4+4i52i52i54i5
27、10-4 连续梁的整体刚度矩阵000000000000第62页/共116页6EI1L24EI1L12EI1L3-6EI1L22EI1L-12EI1L36EI1L26EI1L26EI1L24EI1L2EI1L-6EI1L212EI1L3-6EI1L2-6EI1L2-12EI1L3例2：单元刚度矩阵：121230,00,12,00 0 0 1 0001=121210-4 连续梁的整体刚度矩阵第63页/共116页整体刚度矩阵：6EI2L24EI2L12EI2L3-6EI2L22EI2L-12EI2L36EI2L26EI2L26EI2L24EI2L2EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2-
28、6EI2L2-12EI2L3=0 1 2 0 01203223=10-4 连续梁的整体刚度矩阵4EI1L4EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2+1221第64页/共116页10-5 10-5 刚架的整体刚度矩刚架的整体刚度矩阵阵 刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的基本相同，步骤如下：1）编号、建立坐标。2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。第65页/共116页例1：求图示结构各单元的整体刚度矩
29、阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。解：1）编号、建立坐标如图所示。1231,2,30,0,00,0,4yx2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。10-5 10-5 刚架的整体刚度矩刚架的整体刚度矩阵阵第66页/共116页1231,2,30,0,00,0,4yx1 2 3 0 0 4123004131 3104300 0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 1001041 2 3 4123410-5 10-5 刚架的整体刚度矩刚架的整体刚度矩阵阵第67页/共116页kkTT1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 01221k10
30、 410-5 10-5 刚架的整体刚度矩刚架的整体刚度矩阵阵第68页/共116页1 2 3 1 2 3k10 4 12 0 30 0 300 030 0 100拼装整体刚度矩阵：K10 4300 0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 1001 2 3 41234+100+12-30+300-3010-5 10-5 刚架的整体刚度矩刚架的整体刚度矩阵阵第69页/共116页 整体刚度矩阵的特点：整体刚度矩阵的特点：1）整体刚度系数（ki j）的意义 表示当第j个结点位移分量1=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi；2）整体刚度是对称矩阵（反力互等
31、定理）；3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。10-5 刚架的整体刚度矩阵第70页/共116页例2 2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。10-5 刚架的整体刚度矩阵1421,2,3yx杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。34,5,64,5,70,0,00,0,05解：1）编号、建立坐标2）整体坐标下的单元刚度矩阵104300 0 0 -300 0 0 0 12 30 0 -12 30 0 30 100 0 -30 50-300 0 0 3
32、00 0 0 0 -12 -30 0 12 -30 0 30 50 0 -30 1001 2 3 4 5 6 12 3 4 5 6 1122第71页/共116页10-5 刚架的整体刚度矩阵 12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1001 2 3 0 0 0 12 3 0 0 0 1144104第72页/共116页10-5 刚架的整体刚度矩阵 12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30
33、 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1004 5 7 0 0 0 45 7 0 0 0 3355104第73页/共116页10-5 刚架的整体刚度矩阵 1 2 3 4 5 6 7K300+12 0 0-30 -300 0 0 0 0 12+300 30 0 -12 30 0 0-30 30 100+100 0 -30 50 0-300 0 0 300+12 0 0 -30 0 -12 -30 0 12+300 -30 0 0 30 50 0 -30 100 0 0 0 0 -30 0 0 10010 41234567第74页
34、/共116页10-6 荷载列阵把位移法方程写成矩阵形式：-结点荷载列阵一列n行，n未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0。-等效结点荷载列阵-整体刚度方程其中 F -荷载列阵 荷载列阵通常有两部分组成:1）结点荷载列阵第75页/共116页10-6 荷载列阵例：例：FpMFpx12453yFp2MFp1x1234y1,2,34,5,60,0,00,0,01,2,34,5,64,5,70,0,00,0,0第76页/共116页由节间荷载组成：例：（a）内力=（b）内力+（c）内力（b）内力：固端力可查表（c）内力：用矩阵位移法求解2）
35、等效结点荷载列阵 Fp原结构（a）FpFp（b）（c）=+等效结点荷载10-6 荷载列阵第77页/共116页 把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。等效结点荷载求解方法：=+FpqqFp1320,0,00,0,01,2,3FPe1FPe2FPe31320,0,00,0,01,2,310-6 荷载列阵第78页/共116页qFp132取出“1”号结点qL2qL212FP2FPL8FP2qL2qL212FPL8132FP2qL2qL212FPL8等效结点荷载 下一步的工作是如何把以上的计算过程用矩阵形式来表示。10-6
36、荷载列阵xy第79页/共116页qFp132 取、单元，求出固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元固端力列阵。qqL2qL2qL212qL2120FP0qL2qL212qL2qL212=FPFP2FPL8FP2FPL80FP0=FP2FPL8FP2FPL810-6 荷载列阵第80页/共116页 把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。FP=TTFP单元：=900，转换矩阵为：TFP00=FP2FPL8FP2FPL8FPFP=10-6 荷载列阵第81页/共116页 把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。FP00=FP2FPL
37、8FP2FPL80FP0qL2qL212qL212=qL210003221000310-6 荷载列阵第82页/共116页 按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。1320+0FPL8FP2+qL2qL212P=1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。等效结点荷载的求解步骤：10-6 荷载列阵第83页/共116页例：求图示结构的等效结点荷载P。解:1）求单元单元4.8kN/m8kNyx5m2.5m2.5m10-6 荷载列阵1,2,30,0,40,0,02）求1 2 3 0 0 4 第84页/共116页123000P=123410
38、-6 荷载列阵 0 +4 12 +0 10 510 +0 4 12 5 10 =第85页/共116页1）编号及建立坐标；3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 ；5）求出结构的荷载列阵 ；10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例6）解方程 ，求出结点位移。7）按公式：求出各杆杆端内力。计算步骤：2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 ；4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ；第86页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例例1：求图示结构的内力。横梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m。解:1)编号、建立坐标000 xy6m12m1kN/m000123
39、456第87页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例2）局部坐标下的单元刚度矩阵梁的原始数据：柱的原始数据：第88页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例103第89页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例103第90页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例3)整体坐标下的单元刚度矩阵单元、(=90o)坐标转换矩阵为：T第91页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例转换后单元、在整体坐标下的刚度矩阵为：1031 2 3 0 0 01230004 5 6 0 0 0456000第92页/
40、共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例103单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。1 2 3 4 5 6123456第93页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 三个单元的定位向量如下：把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。第94页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例103 52.5+2.31-52.5 0.58+83.3-0.583.473.473.47-3.473.47-3.47-3.47-3.47-0.58 0.58+83.3 52.5+2.31-52.513.9 27.8
41、+27.813.9 27.8+27.8-6.94-6.94-6.94-6.940000000000001 2 3 4 5 6123456第95页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例5）求荷载列阵 （1）固端力列阵 局部坐标下的（2）固端力列阵 整体坐标下的（3）等效结点 荷载列阵123000123456 由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点荷载列阵。第96页/共116页10-7 10-7 计算步骤和算例计算步骤和算例6）解方程由方程解得结点位移如下：第97页/共116页10-7 计算步骤和算例7）求杆端力单元：第98页/共116页10-7 计算步骤和算例单元：第9
42、9页/共116页10-7 计算步骤和算例单元：第100页/共116页10-7 计算步骤和算例8）根据杆端力绘制内力图 第101页/共116页1.240.430.438.492.093.044.38M图(kN.m)FQ图(kN)FN图(kN)4.761.240.43 1.241.2410-7 计算步骤和算例 1.24第102页/共116页 对图示刚架进行分析时忽略轴向变形。2）单元定位向量10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析2012 因此，1、2、3号点的竖向位移等于零，并且水平位移相等。1）编号及建立坐标1031 245340,0,00,0,0第103页/共116页10 4300 0 0 -
43、300 0 0 0 12 30 0 -12 30 0 30 100 0 -30 50-300 0 0 300 0 0 0 -12 -30 0 12 -30 0 30 50 0 -30 1001 0 2 1 0 3 10 2 1 0 3 11223）整体坐标下的单元刚度矩阵10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析第104页/共116页 12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1001 0 2 0 0 0 10 2 0 0 0 114410
44、410-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析第105页/共116页 12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1001 0 4 0 0 0 10 4 0 0 0 335510410-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析第106页/共116页 1 2 3 4 K123410 4 0+12+12 0-30 0 -30 0-30 100+100 50 0 50 100 -30 100 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析第107页/共116页 1 2
45、 3 4 5 6 7K300+12 0 0-30 -300 0 0 0 0 12+300 30 0 -12 30 0 0-30 30 100+100 0 -30 50 0-300 0 0 300+12 0 0 -30 0 -12 -30 0 12+300 -30 0 0 30 50 0 -30 100 0 0 0 0 -30 0 0 10010 4123456710-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉，把已知位移相等的行和列相加。1212-3012+12-30第108页/共116页局部坐标下的单元刚度方程：
46、10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析坐标转换矩阵：第109页/共116页10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析例：求图示桁架内力(EA=常数)。解：1）编号及坐标如图：2）局部坐标下的单 元刚度矩阵e=e=10kN10kNll 1,23,40,00,0 xy第110页/共116页10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析3）整体坐标下的单元刚度矩阵ke单元、=90单元、=90第111页/共116页10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析单元=45单元=135第112页/共116页10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析4）整体刚度矩阵K5）结点荷载列阵1 2 3 412341 2 3 4第113页/共116页10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析6）解方程 解得：第114页/共116页10-9 桁架结构的整体分析7）杆端力计算其它杆件的计算省略了第115页/共116页感谢您的观看！第116页/共116页