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1、条件条件(tiojin)概率全概公式贝叶斯公式概率全概公式贝叶斯公式第一页，共49页。在解决许多概率问题时，往往需要求在解决许多概率问题时，往往需要求(yoqi)在有某些附加信息在有某些附加信息(条件条件)下事件发生的概率。下事件发生的概率。一、条件一、条件(tiojin)概率概率1.条件概率条件概率(gil)的概念的概念通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生的概发生的概率为率为P(A|B)。一般情况下，一般情况下，P(A|B)P(A)。第一章第三节 条件概率第1页/共49页第二页，共49页。P(A)=1/6，例如例如(lr)：掷一颗均匀骰子，：掷一颗均匀骰子，A=掷出
2、掷出2点点，B=掷出偶数掷出偶数(u sh)点点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合结果构成的集合(jh)就是就是B。于是，于是，P(A|B)=1/3。B中共有中共有3个元素，每个元素出现个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有是等可能的，且其中只有1个个(2点点)在集合在集合A中。中。容易看到：容易看到：P(A|B)第2页/共49页第三页，共49页。P(A)=3/10，又如：又如：10件产品中有件产品中有7件正品件正品(zhngpn)，3件次品件次品;7件正品件正品(zhngpn)中有中有3件一等品件一等品,4件二等品
3、。现从这件二等品。现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记B=取到正品取到正品(zhngpn)，A=取到一等品取到一等品，P(A|B)第3页/共49页第四页，共49页。P(A)=3/10，B=取到正品取到正品(zhngpn)，P(A|B)=3/7。本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据时，依据(yj)前提条件是前提条件是10件产品中件产品中一等品的比例。一等品的比例。A=取到一等品取到一等品，计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是时，这个前提条件未变，只是(zhsh)加上加上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件。这个新的条件。这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我
4、们得以，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。在某个缩小了的范围内来考虑问题。第4页/共49页第五页，共49页。若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使 A也发生也发生,试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又在中又在A中的样本中的样本(yngbn)点点,即此点必属于即此点必属于AB。由于我们已经知道由于我们已经知道B已已发生发生,故故B就变成了新的样本就变成了新的样本(yngbn)空间空间,于是于是 就有就有(1)。设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，则称，则称 (1)2.条件概率条件概率(gil)的定义的定义为在事件为在事件(shjin)B发生条件下，事件发生条件下
5、，事件(shjin)A的条件概率。的条件概率。第5页/共49页第六页，共49页。3.条件条件(tiojin)概率的概率的性质性质设设B是一事件是一事件(shjin)，且，且P(B)0,则则1.对任一事件对任一事件(shjin)A，0P(A|B)1;2.P(|B)=1P(|B)=1；3.设设A1,An,互不相容，则互不相容，则 P(A1+An+)|B=P(A1|B)+P(An|B)+而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。适用于条件概率。第6页/共49页第七页，共49页。例如例如(lr)(lr)：对任意事件：对任意事件A1A1和和A2,A2,有
6、有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)P(A1A2|B)等。等。其他性质其他性质(xngzh)请同学们自请同学们自行写出。行写出。第7页/共49页第八页，共49页。2)从加入从加入(jir)条件后改变了的情况去算条件后改变了的情况去算 4.条件概率条件概率(gil)的计算的计算1)用定义用定义(dngy)计算计算:P(B)0。掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A
7、所含样本点所含样本点个数个数第8页/共49页第九页，共49页。例例1：掷两颗均匀骰子：掷两颗均匀骰子(tu z),已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法(ji f)1:解法解法(ji f)2:解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10，B=第一颗掷出第一颗掷出6点点。应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算第9页/共49页第十页，共49页。例例2:设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率概率(gil)为为0.8，活到，活到25年以上的概率
8、年以上的概率(gil)为为0.4。问现年。问现年20岁的这种动物，它能岁的这种动物，它能活到活到25岁以上的概率岁以上的概率(gil)是多少？是多少？解解:设设A=能活能活20年以上年以上(yshng),B=能能活活25年以上年以上(yshng),依题意依题意(t y)，P(A)=0.8,P(B)=0.4，所求为所求为P(B|A)。第10页/共49页第十一页，共49页。条件条件(tiojin)概率概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机每一个随机(su j)试验都是在一定条件下进行的，试验都是在一定条件下进行的，设设A是随机是随机(su j)试验的一个事件，则试验的一个事件，则P(
9、A)是在该是在该试验条件下事件试验条件下事件A发生的可能性大小。发生的可能性大小。P(A)与与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们它们是两个不同的概念是两个不同的概念,在数值在数值(shz)上一般也不同。上一般也不同。而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。仍是概率。第11页/共49页第十二页，共49页。由条件由条件(tiojin)概概率的定义：率的定义：即即 若若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2)而而 P(
10、AB)=P(BA)，二、二、乘法乘法(chngf)公式公式在已知在已知P(B),P(A|B)时时,可反解出可反解出P(AB)。将将A、B的位置的位置(wi zhi)对调，有对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)。(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)，(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。第12页/共49页第十三页，共49页。例例3:甲、乙两厂共同甲、乙两厂共同(gngtng)生产生产1000个零件，其个零件，其中中300件是乙厂生产的。而在这件是乙厂生产的。而
11、在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准件，现从这个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为所求为P(AB)。甲、乙共生产甲、乙共生产(shngchn)1000 个个189个是个是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产(shngchn)设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产，A=是标准件是标准件，第13页/共49页第十四页，共49页。所求为所求为P(AB)。设设B=零件零件(ln jin)是乙是乙厂生产厂生产，A=是标准件是标准件，若改为若改为(i wi)“发现它是乙厂生产的发现
12、它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B)。B发生发生,在在P(AB)中作为中作为(zuwi)结结果果;在在P(A|B)中作为中作为(zuwi)条件。条件。甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产第14页/共49页第十五页，共49页。当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)。推广到多个推广到多个(du)事件的乘法公式事件的乘法公式:第15页/共49页第十六页，共49页。解解:例例 4:4:一批灯泡(dngpo)共100只
13、,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。设Ai=第i次取到正品(zhngpn),i=1,2,3。A=第三次才取到正品(zhngpn)。则:第16页/共49页第十七页，共49页。解解:例例5:袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球(hi qi)，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c个。若B=第一，第三次取到红球,第二次取到黑球(hi qi)，求P(B)。设设A Ai i=第第i i次取到红球次取到红球,i=1,2,3,i=1,2,3,则则:第17页/共49页第十八页，共49页。一一场场精精彩彩的的足足球球赛
14、赛将将要要举举行行,但但5个个球球迷迷只只搞搞到到一一张张球球票票，但但大大家家都都想想去去。没没办办法法，只只好好用用抽抽签签(chu qin)的方法来确定球票的归属。的方法来确定球票的归属。球票球票5张同样张同样(tngyng)的卡片，只有一张上写有的卡片，只有一张上写有“球票球票”，其余的什么也没写，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让 5个人依次抽取。个人依次抽取。先抽的人比后抽的人抽到球票的机会先抽的人比后抽的人抽到球票的机会(j hu)大吗？大吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？请回答：请回答：第18页/共49页第十九页，共49页。
15、到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们(w men)用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的的概概率率到到底底有多大有多大?“大家大家(dji)不必争，你们一个一个按次序来，不必争，你们一个一个按次序来，谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都一样大。的机会都一样大。”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”第19页/共49页第二十页，共49页。我们用Ai表示(biosh)“第i个人抽到入场券”，i1,2,3,4,5。显然，显然，P(A1)=1/5，P()4/5，第第1个人个人(grn)抽到入场券的概率是抽
16、到入场券的概率是1/5。也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”，第20页/共49页第二十一页，共49页。因为因为(yn wi)若第若第2个人抽到个人抽到入场券时，第入场券时，第1个人个人肯定没抽到。肯定没抽到。也就是要想第也就是要想第2个人个人(grn)抽到入场券，必抽到入场券，必须第须第1个人个人(grn)未抽到，未抽到，由于由于由乘法由乘法(chngf)公式，公式，得得 计算得：计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5。第21页/共49页第二十二页，共49页。这就是有关抽签这就是有关抽签(chu qin)顺序问题的正确解顺序问题的正确解答答 同
17、理，第同理，第3个人个人(grn)要抽到要抽到“入场券入场券”，必，必须第须第1、第、第2个人个人(grn)都没有抽到。因此，都没有抽到。因此，=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，继续做下去继续做下去(xi q)就会发现就会发现,每个人抽到每个人抽到“入入场券场券”的概率都是的概率都是1/5。抽签不必争先恐后。抽签不必争先恐后。第22页/共49页第二十三页，共49页。全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上是加法它们实质上是加法(jif)公式和乘法公式的综合运用。公式和乘法公式的综合运用。综合综合(zngh)运运
18、用用加法加法(jif)公式公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0 三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式第23页/共49页第二十四页，共49页。例例6:有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱号箱装有装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得从中任意摸出一球，求取得(qd)红球的概红球的概率。率。解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=
19、取取得得(qd)红红球球。即即 B=A1B+A2B+A3B，且且 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。B发生发生(fshng)总是伴随着总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生之一同时发生(fshng)，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123第24页/共49页第二十五页，共49页。将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广(tugung)到到一一般般的的情情形形，就就得得到到在在概概率率计计算算中中常常用用的的全全概概率率公式。公式。对求和中的每一项运用(ynyng)乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据代入数据(shj)计
20、算得：计算得：P(B)=8/15。第25页/共49页第二十六页，共49页。设A1,A2,An 是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,An之一同时(tngsh)发生，则 全概率全概率(gil)公式公式:第26页/共49页第二十七页，共49页。称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为完备为完备(wnbi)事件组。事件组。则对任一事件则对任一事件(shjin)B，有，有在一些在一些(yxi)教科书中，常将全概率公式叙述为：教科书中，常将全概率公式叙述为：设设 为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是是两两互斥的事件，且有两两
21、互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,n,第27页/共49页第二十八页，共49页。在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易,但但总可以适当总可以适当(shdng)地构造一组两两互斥地构造一组两两互斥的的Ai，使，使B伴随着某个伴随着某个Ai的出现而出现，且的出现而出现，且每个每个 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 之和之和计算计算P(B)。由上式不难看出由上式不难看出:“全部全部(qunb)”概率概率P(B)可分成许多可分成许多“部分部分”概率概率 之和。之和。它的理论和实用它的理论和实用(shyng)意意义在于义在于:第28页/共49页第二十九页，共49页
22、。某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因Ai(i=1,2,n)，如如果果(rgu)B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起(ynq)B发发生概率的总和，即全概率公式。生概率的总和，即全概率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)全概率全概率(gil)公式。公式。我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解第29页/共49页第三十页，共49页。由此可以形象地把全概率公式看成是由此可以形象地把全概率公式看成是“由由原原因因推推结结果
23、果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关。全全概概率率公公式式表达了因果表达了因果(yngu)之间的关系之间的关系。A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因(yunyn)B是结果是结果第30页/共49页第三十一页，共49页。例例 7:甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击(shj),三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞。飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概
24、率为被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机被击落求飞机被击落的概率。的概率。设设B=飞机飞机(fij)被击落被击落，Ai=飞机飞机(fij)被被i人击中人击中,i=1,2,3。由全概率由全概率(gil)公式，公式，得得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则则 B=A1B+A2B+A3B，解解:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1。第31页/共49页第三十二页，共49页。可求得可求得 为求为求P(Ai),设设 Hi=飞机飞机(fij)被第被第i
25、人击中人击中,i=1,2,3。将数据将数据(shj)代入计算，得代入计算，得P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14。第32页/共49页第三十三页，共49页。于是于是(ysh)，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458，=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落即飞机被击落(jlu)的概率为的概率为0.458。第33页/共49页第三十四页，共49页。该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性性大些大些?实际中还有下面一类实际中还有下面一类(y li)问题问题已知结果求原已知结果求原因因 这一类问
26、题在实际这一类问题在实际(shj)中更为常见，它中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。下，求各原因发生可能性大小。某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球一球,发现发现(fxin)是红球是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率。号箱的概率。1231红红4白白或者问或者问:第34页/共49页第三十五页，共49页。接下来我们介绍解决接下来我们介绍解决(jiju)这类问题的这类问题的贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)第35页/共49页第三十六页，共49页。有三个箱子，编号分别为有三个箱子，编号分别为1,2,3
27、，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现球，发现(fxin)是红球是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概号箱的概率率。1231红红4白白?第36页/共49页第三十七页，共49页。某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意(rny)摸出摸出一球，发现是红球，求该一球，发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率。号箱的概率。记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得取得(qd)红球红球。求求P(A1|B)。运用运用
28、(ynyng)全概率公式全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?第37页/共49页第三十八页，共49页。该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出。给出。它是它是在观察到事件在观察到事件(shjin)B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找导致导致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)：设A1,A2,An是两两互斥的事件(shjin)，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件(shjin)B，它总是与 A1,A2,An 之一同时发生，则 第38
29、页/共49页第三十九页，共49页。贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)在实际中有很多应用，在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因.第39页/共49页第四十页，共49页。例例 8:某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对，患者对一种试验反应是阳性一种试验反应是阳性(yngxng)的概率为的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性，正常人对这种试验反应是阳性(yngxng)的的概率为概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳，现抽查了一个人，试验反应是阳性性(yngxng)，问此人是癌症患者的
30、概率有多，问此人是癌症患者的概率有多大大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.求解求解(qi ji)如下如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验试验(shyn)结果是阳性结果是阳性，求求P(C|A)。已知已知:P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,第40页/共49页第四十一页，共49页。现在来分析现在来分析(fnx)一下结果的意一下结果的意义义由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 代入数据代入数据(shj)，计算得计算得 P(CA)=0.1066。2.检出阳性是否一定检出阳性是否一定(ydng)患有癌症患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试
31、验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？第41页/共49页第四十二页，共49页。如果不做试验如果不做试验(shyn),抽查一人抽查一人,他是患者他是患者的概率的概率 P(C)=0.005。患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反，若试验后得阳性反应，则根据试验得来应，则根据试验得来(d li)的信息，此人是患的信息，此人是患者的概率为者的概率为 P(CA)=0.1066。说明这种试验说明这种试验(shyn)对于诊断一个人是否患有癌对于诊断一个人是否患有癌症有意义。症有意义。从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍。倍。1.这种试验对
32、于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？第42页/共49页第四十三页，共49页。2.检出阳性是否检出阳性是否(sh fu)一定患有癌一定患有癌症症?试验结果为阳性试验结果为阳性(yngxng),此人确患癌症此人确患癌症的概率为的概率为 P(CA)=0.1066。即使你检出阳性，尚可不必即使你检出阳性，尚可不必(bb)过早下过早下结论你有癌症，这种可能性只有结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平平均来说，均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌人确患癌症症)，此时医生常要通过再试验来确认。，此时医生常要通过再试验来确认。第43页/共
33、49页第四十四页，共49页。贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为(chn wi)原因的验前概率和验后概率。原因的验前概率和验后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不不知道事件知道事件(shjin)B是否发生是否发生)的情况下的情况下,人人们对诸事件们对诸事件(shjin)发生可能性大小的认发生可能性大小的认识。识。当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生),人们对诸事件人们对诸事件发生可能性大小发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种
34、变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。第44页/共49页第四十五页，共49页。8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。一名支未校准。一名射手用校准过的枪射击射手用校准过的枪射击(shj)(shj)时时,中靶的概率为中靶的概率为0.8;0.8;用未校准的枪射击用未校准的枪射击(shj)(shj)时时,中靶的概率为中靶的概率为0.30.3。现从现从8 8支枪中任取一支用于射击支枪中任取一支用于射击(shj),(shj),结果中靶。结果中靶。求求:所用的枪是校准过的概率。所用的枪是校准过的概率。设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过,B2=使用的枪未校准,则B1,B2
35、是一个划分(hu fn),由贝叶斯公式解解:例例9：第45页/共49页第四十六页，共49页。解解:例例 10:10:一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别(fnbi)为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别(fnbi)为3%,2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产的概率各为多少?设A=螺钉(ludng)是次品,B1=螺钉(ludng)由1号机器生产,B2=螺钉(ludng)由2号机器生产,B3=螺钉(ludng)由3号机器生产。则:第46页/共49页第四十七页，共49页。由贝叶
36、斯公式由贝叶斯公式(gngsh)(gngsh)，得，得同理同理,P(BP(B1 1)=0.35,P(B)=0.35,P(B2 2)=0.40,P(B)=0.40,P(B3 3)=0.25,)=0.25,P(A|BP(A|B1 1)=0.03,P(A|B)=0.03,P(A|B2 2)=0.02,P(A|B)=0.02,P(A|B3 3)=0.01)=0.01。第47页/共49页第四十八页，共49页。小结小结(xioji)本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围范围(fnwi)。但这还远远不够，为达到正确理。但这还远远不够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的目的，我们还需要做一解、熟练运用这些公式的目的，我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。第48页/共49页第四十九页，共49页。