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1、1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,(a+b)4=.复习引入复习引入a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b42.列出上述各展开式的系数：11121133114641第1页/共25页3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字得到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5=.4.计算：=，=，=，=，=.用这些组合数表示(a+b)4的展开式是：(a+b)4=.相加a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b514641第2页/共25页定定 理理(a+b)n=（n）,这
2、个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,n）叫做，叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第项，记为Tr+1展开式共有个项.展开式二项式系数r+1n+1第3页/共25页定理定理剖剖析析1.系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n降到0，第二项b的次数由0升到n.3.项数规律：二项和的n次幂的展开式共有n+1个项4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个括号.第4页/共25页例例题题1.用二项式定理展开下列各式：定理定理思考（1）如何求展开式中的第三项？（2）如何求展开式中第三项的系数？方法（1）用定理展开，
3、再找指定项（2）用通项公式注意：当n不是很大时，用定理，否则用通项公式第5页/共25页例例题题定理定理2.求近似值（精确到0.001）（1）(0.997)3（2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=（1+0.002)6类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.第6页/共25页1.的展开式中，第五项是（）A.B.C.D.2.的展开式中，不含a的项是第（）A.7项B.8项C.9项D.6项例例题题分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.B BA A思考：1 1中如何求第五项的系数和二项式系 数？2
4、2中的第五项是什么？第7页/共25页3.3.二项式(z-2)z-2)6 6的展开式中第5 5项是-480-480，求复 数z.z.例例题题4.4.求二项式的展开式中的有理项.分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480 -480，得到z z的方程解之.答案：分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：第8页/共25页1.（x-2)9的展开式中，第的展开式中，第6项的二项式系数项的二项式系数是是（）A.4032B.-4032C.126D.-1262.若若的展开式中的第三项系数的展开式中的第三项系数等于等于6，则，则n等于等于（）A.4B.4或或-3C.12
5、D.33.多项式多项式(1-2x)5(2+x)含含x3项的系数是（项的系数是（）A.120B.-120C.100D.-100例例题题求指定项的系数求指定项的系数CCB第9页/共25页5.二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.4.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数分析：先用等比数列前分析：先用等比数列前n项和公式求和，再用项和公式求和，再用通项求系数通项求系数分析：由第三项系数比第二项系数大分析：由第三项系数比第二项系数大44先先求求n，再由通项求第四项系数再由通项求第四项系数.答案：答案：-20答案：答案：165第
6、10页/共25页二项式系数 的性质第11页/共25页复习引入复习引入 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1第12页/共25页1.(a+b)n的展开式的二项式系数是的展开式的二项式系数是；2.组合数的性质组合数的性质1是是；3.写出写出(a+b)10的展开式中各项的二项式系数：的展开式中各项的二项式系数：1）观察二项式系数的变化规律；）观察二项式系数的变化规律；2）二项式系数最大的是第）二项式系数最大的是第项项.先增大后减小先增大后减小6第13页/共25页4.下面二项展开式中，那些项的二项式系数最大？是多少？分别填在相应的横线上（1）(a+b)19第项的二项式系数最大，是；（2
7、）(a+b)20第项的二项式系数最大，是.问题问题1：从上述问题中你能得到二项式系数的：从上述问题中你能得到二项式系数的规律吗？是什么？规律吗？是什么？10、1111第14页/共25页二项式系数的性质二项式系数的性质性质1 1：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的任意两项的二项式系数相等即其中m=0,1,2,3,n如何证明？如何证明？组合性质组合性质1性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；第15页/共25页例题选讲例题选讲1.(1-x2)9展开式中系数最大的项是，系数最小的项是，二项式系数最大的项是,.126x8-12
8、6x10126x8-126x10注意：注意：1.项与项数的区别项与项数的区别2.二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别3.二项式系数一定为正，系数可以有二项式系数一定为正，系数可以有负值负值.第16页/共25页2.求证求证说明：此题是用赋值法证明的，即在二项式说明：此题是用赋值法证明的，即在二项式定理中令定理中令a=b=1即得上式。即得上式。赋值法是求系数和的基本思路和方法赋值法是求系数和的基本思路和方法必须掌握好必须掌握好.上述等式也是二项式系数的一个性质上述等式也是二项式系数的一个性质-性质性质3，请用文字叙述，请用文字叙述.第17页/共25页二项式系数的性质二项式系数的性质性质性质
9、3:(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和的展开式的所有二项式系数的和等于等于2n.也就是：也就是：性质性质4：在：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和系数和等于偶数项的二项式系数和.证明：令证明：令a=1,b=-1第18页/共25页性质小结性质小结性质性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等的任意两项的二项式系数相等.性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇
10、数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；数最大；性质性质3：性质性质4 4：(a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和.=2 n-1第19页/共25页（一）求展开式中各项系数和（一）求展开式中各项系数和1.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为（）A.2n+1B.2nC.0D.1分析：分析：设(2x2-1)n=a0 x2n+a1x2(n-1)+an，展开式各项系数和为a0+a1+a2+an上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=a0+a1+a2+ana0+a1+
11、a2+an=（2-1）n=1D求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为式中的字母为1第20页/共25页2.(1-2x+3x2)7的展开式中所有项系数和是.3.(1+x)+(1+x)2+(1+x)n的展开式的各项系数和是（）A.2n+1-2B.2n+1-1C.2n+1D.2n+1+1128A5、已知：(2-3X)100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，A=a0+a2+a4+a100，B=a1+a3+a5+a99，求：A+B、A-B、A2-B2.4、计算第21页/共25页小结：小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2
12、+anbn，设A=a0+a2+a4+，B=a1+a3+a5+，（即A为展开式中各奇数项的系数和，B为展开式中各偶数项的系数和）.则：令a=b=1，得A+B=2n(1)令a=1，b=-1，得A-B=0(2)由（1）（2）可分别解得A、B这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本思路.第22页/共25页例1、（1+2x）n展开式中的二项式系数的和为2048，求展开式中系数最大项三、综合应用例2、(a-b)99的展开式中，系数最小的项是 A.第1项 B.第50项 C.第51项 D.第50项与第51项第23页/共25页例3、求证7n6n1能被36整除（nN+）例4、求9192除以100的余数.例5、今天是星期四，则251天后的第一天是星期几？第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页