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1、第三讲 层次分析法第1页/共83页一、引 言第2页/共83页2023/3/203层次分析法是数学建模竞赛中的常用方法。在数学建模竞赛论文中，时常能看到层次分析法。需要提醒大家注意的是，有些学生没有搞清楚层次分析法的特点、原理、优缺点及局限性，在建模中随意乱用层次分析法。在本讲中，大家首先要搞清楚层第3页/共83页2023/3/204次分析法主要用于解决何种问题，知晓层次分析法的基本原理和步骤，然后还要能熟练使用层次分析法软件。大家一定要完整地完成23个不同类型的实例，体验层次分析法的过程与结果。下面给出本讲学习大纲，以方便大家学习。第4页/共83页2023/3/2051.层次分析法能解决何种问
2、题？2.层次分析法的大致步骤。3.层次分析法通常将决策问题分为哪几个层次，各层次间关系如何？4.如何构造判断矩阵？5.判断矩阵的一致性问题。6.何谓单准则下的排序？7.如何理解求相对权重的特征根法，第5页/共83页2023/3/206其理论依据是什么？8.如何进行一致性检验，如何理解一致性指标CI、平均随机一致性指标RI、一致性比例CR？9.何谓层次总排序？10.层次总排序的步骤和原理。11.如何进行层次总排序的一致性检验？第6页/共83页2023/3/20712.当一致性检验未通过时，如何对判断矩阵进行调整？13.层次分析法的缺陷及解决办法。14.层次分析法软件的使用。15.层次分析法建模实
3、例。第7页/共83页2023/3/208人们在日常活动中，常常会面对一些决策问题。例如，大学生选择职业时，往往会从专业对口、发展潜力、待遇收入等多方面考虑和决策。许多决策问题是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统，很难用通常的数学模型解决。例如，在一群人中挑个子最高的第8页/共83页2023/3/209很容易办到，选最胖者也不难，但要挑选一个最高、最胖且最帅的人就不容易了。此类决策问题的困难主要在于:(1)有的指标不易量化;(2)有些指标相互关联，甚至相互矛盾，导致决策复杂化。第9页/共83页2023/3/2010层次分析法(AHP)是美国运筹学家Lsaaty在20世纪70年代初提
4、出的一种定性分析与定量分析相结合的多准则决策方法，简单、实用，特别适用于人的定性判断起重要作用，对决策结果难于直接准确计量的问题。第10页/共83页二、层次分析法的原理与步骤第11页/共83页2023/3/2012层次分析法的基本思路与人们对复杂问题的决策过程大体一致。当决策者在对问题进行分析时，首先要对分析对象的因素建立起彼此相关的层次递阶结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素(目标、准则、对象)的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题理顺，然后用一定第12页/共83页2023/3/2013标度将人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析。层次分析法大致可分为下面四个步骤
5、：(1)建立递阶层次结构；(2)构造比较判断矩阵；(3)单准则排序和一致性检验；(4)层次总排序和一致性检验。第13页/共83页三、递阶结构层次的建立第14页/共83页2023/3/2015层次分析法首先要把决策问题层次化。所谓层次化就是根据问题的性质以及要达到的目标，将问题分解为不同的因素，并按各因素间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。下面通过一个实例来说明构造层次以及层次分析法的决策过程。第15页/共83页2023/3/2016例例1假设某企业领导要决定一笔资金如何使用。经过调研，现有下列方案可供选择：(1)作为奖金发给职工；(2)扩建宿舍和食堂等福利设施;(3)举办职工进修
6、班；(4)建图书馆、俱乐部等；(5)引进新设备进行技术改造。第16页/共83页2023/3/2017从调动职工工作积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活条件来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理地使用，就是企业领导面临的决策问题。注注意意在建模实际问题中,如需用层次分析法，则首先要根据问题的特点建立适当的层次。第17页/共83页2023/3/2018请大家揣摩本题中构造层次结构的思路与过程。通过分析，上述方案都是为了更好地调动职工工作积极性，提高企业技术水平和改善职工物质文化条件，而最终目的是为了企业进一步发展，增强企业的竞争力。据此，可以建立下列层次结构：第18页/
7、共83页2023/3/2019资金使用问题的层次分析结构图资金使用问题的层次分析结构图第19页/共83页2023/3/2020也就是说，对于资金使用这个问题来说，模型结构分为三层。最高为目标层，即合理使用资金；中间为准则层，即合理使用资金的三个准则：调动职工积极性，提高企业技术水平和改善职工生活；最下一层为方案层,即可供选择的方案。第20页/共83页2023/3/2021建立问题的层次结构是层次分析法中最重要的一步。通常，层次结构分为三层，最高层只有一个元素，即决策者要达到的目标；中间层为衡量目标是否达到的若干判断准则；最低层为备选的具体方案。上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支
8、配作用。除第21页/共83页2023/3/2022目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配；除方案层外，每个元素至少支配下一层一个元素；同一层次元素不存在支配关系。建立层次结构的关键是能否构造出合理的满足一定支配关系的准则。第22页/共83页四、比较判断矩阵的构造第23页/共83页2023/3/2024由于在决策者心目中，各准则对目标的影响程度不同，各方案对每个准则的影响程度也不同，所以建立层次结构后的首要任务是确定各准则对目标以及各方案对每个准则的权重。层次分析法确定上述权重的方法是构造准则层和方案层的比较判断矩阵。第24页/共83页2023/3/20251.准则层比较判断矩阵的构造准则层
9、比较判断矩阵的构造下面介绍准则C1,C2,Cn对目标Z的权重的确定方法。在复杂问题中，准则的权重很难直接获得且不易定量化。Saaty提出可用对准则两两比较的方法来确定权重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对Z的影响之比,全部比较第25页/共83页2023/3/2026结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层的比较判断矩阵。显然，aij=1/aij，称A为正互反矩阵。对于如何确定aij的值，Saaty提出用数字19及其倒数作为标度。下表中列出了19标度的含义：第26页/共83页2023/3/2027标度标度含义含义1表示两个元素相比，具有同样的重要性。表示两个元素相比，具有同样
10、的重要性。3表示两个元素相比，前者比后者稍重要。表示两个元素相比，前者比后者稍重要。5表示两个元素相比，前者比后者明显重要。表示两个元素相比，前者比后者明显重要。7表示两个元素相比，前者比后者极其重要。表示两个元素相比，前者比后者极其重要。9表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值。表示上述相邻判断的中间值。若元素若元素i和元素和元素j的重要性之比为的重要性之比为aij，那么元素，那么元素j与元素与元素i的重要性之比为的重要性之比为aji=1/aij。第27页/共83页2023/3/2028判断矩阵的确定具有很强的主观性
11、。比如，在例1中，假定企业领导对于资金使用的态度是：首先是提高企业的技术水平，其次是改善职工生活条件，最后是调动职工积极性，则准则层对目标层的比较判断矩阵可以设定为第28页/共83页2023/3/2029显然，若Ci和Cj对Z的影响之比为aij，Cj和Ck对Z的影响之比为ajk,则Ci和Ck对Z的影响之比为aik，即正互反矩阵A 中 元 素 应 满 足：ai jaj k=ai k，此第29页/共83页2023/3/2030时称A为一致矩阵。单凭经验构造出的比较判断矩阵不一定满足一致性，如例1中的判断矩阵。比较判断矩阵严格满足一致性是极为困难的，层次分析法要求比较判断矩阵按一定程度满足一致性。第
12、30页/共83页2023/3/20312.方案层比较判断矩阵的构造方案层比较判断矩阵的构造类似地可以构造出各方案对每个准则的比较判断矩阵。例如，例1中的各方案对每个准则的比较判断矩阵可以设为第31页/共83页2023/3/2032第32页/共83页2023/3/2033构造出判断矩阵后，即可对判断矩阵进行单排序计算。在各层次排序后还要进行各层次总排序，其中还存在着判断矩阵的一致性检验问题。第33页/共83页五、单准则排序与一致性检验第34页/共83页2023/3/20351.单准则下的排序单准则下的排序根据比较判断矩阵确定某层各元素对上层某元素相对权重排序的过程称为单准则下的排序。通常有各方案
13、对某准则的权重排序和各准则对目标的权重排序。计算权重的方法有多种，比较成熟的是特征根方法。第35页/共83页2023/3/2036特 征 根 方 法 的 理 论 依 据 是Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。Perron定理定理设n阶方阵A0，为A的模最大特征值，则(1)为正特征值，且对应的特征向量为正向量；(2)对于A的任何其它特征值,第36页/共83页2023/3/2037恒有；(3)为A的单特征值，因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。下面再给出两个定理，这两个定理分别是权重排序原理和一致性检验原理的理论基础。定理定理1若A为一致矩阵，则第37页/共
14、83页2023/3/2038(1)A必为正互反矩阵；(2)A的任意两行(列)成比例；(3)A的最大特征值，n为A的阶，从而A的其余特征值均为零;(4)若A的最大特征值对应的特征向量为 ，则，即第38页/共83页2023/3/2039定理定理2若A为n阶正互反矩阵，则第39页/共83页2023/3/2040(1)；(2)A为一致矩阵。尽管上述结论的证明并不复杂，有些内容还是考研中的常见内容，如定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理解起来还是比较困难。不过这并没有关系，因为我们只要利用这两个定理得出排序和一致性第40页/共83页2023/3/2041检验的方法即可。根据定理1中的结论(4)，可以
15、得出确定排序向量的下列方法：求出比较判断矩阵A最大特征值的特征向量W，经归一化后即为各准则对目标或各方案对某准则的排序权重向量。可借助软件求特征值特征向量。第41页/共83页2023/3/20422.比较判断矩阵的一致性检验比较判断矩阵的一致性检验虽然构造比较判断矩阵时，不要求具有严格的一致性，但一个混乱、不一致的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体一致，从而对每一层在做单准则排序时，均需要做一致性检验。根据定理2，且A为一致矩第42页/共83页2023/3/2043阵，就这意味着比n大得越多，A的不一致程度就越严重。因此，可以用作为衡量不一致程度的数量指标，CI称为一
16、致性指标。CI其实即为除最大特征值以外的其余特征值的负平均值。第43页/共83页2023/3/2044究竟CI小到什么程度才算达到我们接受的“满意的一致性”呢？Lsaaty按照下列方法给出了衡量是否达到“满意的一致性”的一种数量指标：随机构造500个n阶正互反矩阵，求出其最大特征值的平均值，并计算第44页/共83页2023/3/2045则RI可理解为n阶比较判断矩阵的平均一致性指标，称为平均随机一致性指标。RI的具体数值见下表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51第45页/共83
17、页2023/3/2046显然，当CI与RI之比较小时，可以认为A的不一致性程度很小，达到了所谓的“满意的一致性”。称为一致性比例。通常认为,当CR0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则应对其适当调整。第46页/共83页六、层次总排序及一致性检验第47页/共83页2023/3/20481.层次总排序层次总排序根据计算同一层次中所有元素对总目标的排序权重向量的过程称为层次总排序。下面通过一个简单的例子来说明这一过程：先将一块石头A分成两大块B1和B2，然后再分别将B1和B2各分为两组:第48页/共83页2023/3/2049C1,C2；C3,C4,C5。第49页/共83页2023/3/2050显
18、然，第2层对最高层的排序向量为而第3层对第2层单准则下的排序为第50页/共83页2023/3/2051从而第3层对最高层的排序向量为第51页/共83页2023/3/2052一般地，若k个层次中第i个层次的排序矩阵为W(i)=(Wj(i)，其中Wj(i)为第i层各元素对上一层第j个元素的排序向量，则第k层的排序向量为。第52页/共83页2023/3/20532.层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验在对各层元素进行比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来。因此，需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著。这个
19、检验过程称为层次总排序的第53页/共83页2023/3/2054一致性检验。设第k层的一致性指标为，n为第k1层因素的个数，相应的随机一致性指标为，为第k1层对目标层的排序向量,定义第54页/共83页2023/3/2055则第k层的组合一致性比率为最下层对最高层的一致性比率为当时，认为整个层次的比较判断通过了一致性检验。第55页/共83页七、判断矩阵的调整及AHP缺陷第56页/共83页2023/3/2057当比较判断矩阵过于偏离一致性时，就必须对其调整。调整比较判断矩阵的方法大致分为三类。第一类是由专家凭经验进行调整；第二类是构造一个完全一致的判断矩阵，提取原始判断矩阵与此矩阵的信息，以达到调
20、整的目的；第三类是利用矩阵元素的变化与一致性的关系，确定影响一第57页/共83页2023/3/2058致性的关键元素并进行调整。层次分析法把决策过程中的定量和定性因素有机地结合起来，用统一的方法进行处理，简单、直观、易掌握，是一种很好的决策方法。但层次分析法也存在着应用上的局限性：(1)层次分析法主要针对方案大体确定的决策问题，即只能从原方案第58页/共83页2023/3/2059中选优，不能生成新的方案；(2)层次分析法的比较判断过程较为粗糙，不太适用于精度要求较高的决策问题;(3)层次分析法在很大程度上依赖于人们的经验，受主观因素的影响很大。它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排
21、除决策者个第59页/共83页2023/3/2060人可能存在的严重片面性。克服上述缺陷的常用方法有：利用群组决策；将层次分析法与其它决策方法相结合，如模糊层次分析法。第60页/共83页八、层次分析法软件与练习第61页/共83页2023/3/20621.层次分析法软件层次分析法软件YAAHP张建华教授编制了层次分析法专用软件YAAHP，该软件不仅可以极为方便地构建层次、输入比较判断矩阵、进行一致性检验、计算各类排序向量、输出所有数据，而且在一致性检验未通过时，还可以应用PSO算法自动调整比较判断矩阵。第62页/共83页2023/3/2063下面请看利用YAAHP软件对资金使用问题进行决策的过程和
22、详细结果报告。第63页/共83页2023/3/2064例例2校园火灾危险性分析校园火灾危险性分析高校校园建筑物和人口都十分密集，群死群伤的火灾事件时有发生。由于校园火灾发生具有随机性、发展过程的复杂性及资料的不完备性，在进行校园火灾危险性分析时，很多因素都无法直接量化，因此采用层次分析法可将问题定量化。第64页/共83页2023/3/2065为了确定准则层和方案层，首先按场所功能不同将校园划分为如下区域：宿舍区、教学办公区、实验区、公共活动区(体育场，食堂，礼堂)、图书馆；其次可以从发生火灾的可能性和火灾造成后果的严重程度这两方面来考虑火灾的危险性，从而可按以下5个评价因子：人口密度、财产密第
23、65页/共83页2023/3/2066度、易燃易爆物、火源情况、疏散救援，对不同场所的火灾危险性进行分析。由此建立如下的层次结构：第66页/共83页2023/3/2067第67页/共83页2023/3/2068通过统计分析，准则层对目标层的成对比较判断矩阵为容易求得排序权重向量第68页/共83页2023/3/2069类似地可求出方案层对准则层各元素的成对比较判断矩阵及相应权重向量见后表。从而可得方案层对目标层的组合权向量为第69页/共83页2023/3/2070第70页/共83页2023/3/2071层次总排序的一致性检验通过。由组合权重可知火灾危险性排序由高到低为：实验区、宿舍区、公共活动区
24、、教学办公区、图书馆。第71页/共83页2023/3/2072第72页/共83页2023/3/2073第73页/共83页2023/3/2074第74页/共83页2023/3/2075第75页/共83页2023/3/2076第76页/共83页2023/3/2077练习练习1高考志愿选择高考志愿选择填报高考志愿要考虑学校声誉、教学、科研和生活条件，又要结合本人兴趣、考试成绩和就业等因素。每一因素内还含有若干子因素，如教学因素中要考虑到教师水平、教学条件等。考生可填ABCD四个志愿。试用层次分析法作出决策。第77页/共83页2023/3/2078练习练习2城市跨江交通方案选择城市跨江交通方案选择填报
25、渡江跨海的方法主要有建桥梁、修隧道、轮渡三种，进行抉择时不外乎要从效益和代价两方面考虑，这两方面又各有若干准则加以度量。请你试用层次分析法对沿江某个城市横渡长江方案作出决策。第78页/共83页2023/3/2079练习练习3竞赛队员的选拔竞赛队员的选拔在一年一度的美国MCM和全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题。这是一个最实际的，而且是首先需要解决的数学模型问题。假设有20名队员准备参加竞赛，第79页/共83页2023/3/2080根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比比赛。选择队员主要考虑有关学
26、科成绩、智力水平、计算机应用能力、写作能力、协作能力和其它特长。每个队员的基本条件量化后如下表：第80页/共83页2023/3/2081队员队员学学科科成成绩绩()智智力力水水平平()动动手手能能力力()写写作作能能力力()外语外语水平水平()协作协作能力能力()其它其它特长特长()A8.69.08.28.07.99.56B8.28.88.16.57.79.12C8.08.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.99.09.06G9.29.69.07.29.19.29H7.08.09.86.28.79.
27、76I7.78.28.46.59.69.35J8.38.18.66.98.59.44K9.08.28.07.89.09.55L9.69.18.19.98.79.76M9.59.68.38.19.09.37N8.68.38.28.19.09.05O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.48.09.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28S7.88.19.67.69.09.69T9.08.89.57.97.79.06第81页/共83页2023/3/2082假设队员接受同样培训，竞赛水平的发挥只取决于表中的条件，并且参赛队员都能正常发挥自己的水平。(1)选择18名优秀队员参加竞赛;(2)确定1个最佳的组队使竞赛技术水平最高；(3)给出由18人组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高。第82页/共83页2023/3/2083感谢您的观看！第83页/共83页