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1、面面面空间直角坐标系共有八个卦限第1页/共95页空间两点间距离公式二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离第2页/共95页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或第3页/共95页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系
2、中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.第4页/共95页1 加法：（平行四边形法则）特殊地：若 分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第5页/共95页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法第6页/共95页三、向量与数的乘法第7页/共95页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系第8页/共95页按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果
3、是一个与原向量同方向的单位向量.第9页/共95页一、空间两向量的夹角的概念：一、空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或空间两轴空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.第10页/共95页空间一点在轴上的投影第11页/共95页空间一向量在轴上的投影第12页/共95页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证第13页/共95页定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；第14页/共95页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）第15页/共95
4、页二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标第16页/共95页 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影第17页/共95页按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的坐标坐标：向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：第18页/共95页向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第19页/共95页非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式第20页/共95页由图分析
5、可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第21页/共95页当 时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第22页/共95页方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为第23页/共95页关于数量积的说明：关于数量积的说明：一、两向量的数量积一、两向量的数量积定义定义数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.第24页/共95页数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、为数为数：第25页/共95
6、页两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式第26页/共95页定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积第27页/共95页向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：第28页/共95页向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出第29页/共95页补充补充例如，第30页/共95页定义定义设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积第31页/共95页关于混合积的说明：关于混合积的说明
7、：(1)向量的混合积是一个数量向量的混合积是一个数量.第32页/共95页一、曲面方程的概念曲面方程的定义：曲面方程的定义：第33页/共95页以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第34页/共95页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴播放播放第35页/共
8、95页第48页/共95页解解 圆锥面方程或第49页/共95页例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转双曲面第50页/共95页旋转椭球面旋转抛物面第51页/共95页播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.第52页/共95页柱面举例抛物柱面平面第65页/共95页从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 /轴双曲柱面 /轴抛物柱面 /轴第66页/共95页空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲
9、线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程第67页/共95页空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程第68页/共95页消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影第69页/共95页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线投影曲线,面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线投影曲线第70页/共95页 如果一非零向量垂直如果一非零向量
10、垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程法向量已知点第71页/共95页由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程第72页/共95页平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.第73页/共95页将代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程第74页/共95页定义定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两
11、平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.三、两平面的夹角第75页/共95页按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/第76页/共95页点到平面距离公式点到平面距离公式第77页/共95页定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第78页/共95页方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程第79页/共95页直线
12、的对称式方程直线的对称式方程令直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程直线方向向量直线方向向量直线上一点直线上一点第80页/共95页定义定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角第81页/共95页两直线的位置关系：两直线的位置关系：/第82页/共95页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角第83页/共95页直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线
13、与平面的位置关系：位置关系：/第84页/共95页二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面二次曲面相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容第85页/共95页（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：第86页/共95页椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭
14、球面旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为与平面 的交线为圆.第87页/共95页球面球面截面上圆的方程方程可写为第88页/共95页（二）抛物面（二）抛物面（与 同号）椭圆抛物面椭圆抛物面第89页/共95页特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）与平面 的交线为圆.当 变动时，这种圆的中心中心都在 轴上.第90页/共95页（与 同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo第91页/共95页（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面第92页/共95页与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆的中心中心都在 轴上.（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.第93页/共95页双叶双曲面双叶双曲面xyo第94页/共95页感谢您的观看！第95页/共95页