线性系统数学模型ket.pptx

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1、第二章第二章 控制系统的控制系统的动态动态数学模型数学模型 第一节第一节 数学模型的基本概念数学模型的基本概念 数学模型属于仿真模型的一种，仿真模型通常包括实体模型和数学模型两大数学模型属于仿真模型的一种，仿真模型通常包括实体模型和数学模型两大类。类。实体模型实体模型：顾名思义，此类模型有一个实体系统，但模型或是在几何形体上或是：顾名思义，此类模型有一个实体系统，但模型或是在几何形体上或是在各点的运动速度上或是在系统的动态特性上与被研究物体有一致的比例关系。在各点的运动速度上或是在系统的动态特性上与被研究物体有一致的比例关系。整机仿真整机仿真MPRO_MPRO_整机仿真整机仿真.avi.avi

2、 model_2.avimodel_2.avi 2(0.01s2002(0.01s200步后视步后视).avi).avi第1页/共117页第二章第二章 控制系统的控制系统的动态动态数学模型数学模型 第一节第一节 数学模型的基本概念数学模型的基本概念 这类模型没有具体的实体，通常利用代数方程、微分方程、空间状态方程或传递这类模型没有具体的实体，通常利用代数方程、微分方程、空间状态方程或传递函数等数学手段来描述系统的静、动态特性。函数等数学手段来描述系统的静、动态特性。一、一、系统的静态特性、动态特性和过渡过程的概念系统的静态特性、动态特性和过渡过程的概念 静态特性：静态特性：在恒定的或缓变的输入

3、量的作用下，系统所表现出来的性能或属性，一般在恒定的或缓变的输入量的作用下，系统所表现出来的性能或属性，一般均可用代数方程来描述。均可用代数方程来描述。第2页/共117页第二章第二章 控制系统的控制系统的动态动态数学模型数学模型第一节第一节 数学模型的基本概念数学模型的基本概念注：静态不是静止。注：静态不是静止。例如，机械在恒力或在相对较低的交变力作用下表现出的性能都是系统的静态特性。例如，机械在恒力或在相对较低的交变力作用下表现出的性能都是系统的静态特性。动态特性：动态特性：在变化剧烈的输入量的作用下，系统表现出来的性能或属性，一般均可用在变化剧烈的输入量的作用下，系统表现出来的性能或属性，

4、一般均可用微分方程来描述。微分方程来描述。变化的快慢主要是相对于系统的时间常数（或相对于系统的一阶固有频率）变化的快慢主要是相对于系统的时间常数（或相对于系统的一阶固有频率）而言。而言。第3页/共117页第二章第二章 控制系统的控制系统的动态动态数学模型数学模型第一节第一节 数学模型的基本概念数学模型的基本概念过渡过程：过渡过程：系统由一个平衡状态进入到另一个新的平衡状态之间的时间历程。系统由一个平衡状态进入到另一个新的平衡状态之间的时间历程。第4页/共117页第二章第二章 控制系统的控制系统的动态动态数学模型数学模型第一节第一节 数学模型的基本概念数学模型的基本概念1.1.定义：定义：控制系

5、统输入和输出之间动态关系的数控制系统输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型，是分析和设计自动控制学表达式即为数学模型，是分析和设计自动控制系统的基础。系统的基础。2.2.为什么要建立数学模型？为什么要建立数学模型？当需要了解系统的具当需要了解系统的具体性能指标时，只是定性地了解系统的工作原理体性能指标时，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能对系统的性能进行定量的分析和计算进行定量的分析和计算。要做到这。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型，它一点，首先要建立系统的数学模型，它是分析和是分析和设计系

6、统的依据。设计系统的依据。第5页/共117页 第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。因此需建立控制系统的数学模型

7、。比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLCRLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型模型(相似系统相似系统）。）。第6页/共117页3.3.表示形式：表示形式：a.a.微分方程微分方程 b.b.传递函数传递函数 c.c.频率特性频率特性 d.d.状态空间描述状态空间描述三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换第7页/共117页 同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响

8、应时则要用频率特性。应时则要用频率特性。建模时要注意以下两点：建模时要注意以下两点：(1)(1)系统愈简化，模型愈容易建立，但误差也系统愈简化，模型愈容易建立，但误差也就可能愈大，所以应根据具体情况在两者之间就可能愈大，所以应根据具体情况在两者之间作恰当的选择。作恰当的选择。(2)(2)用数学手段直接建立的数学模型，通常都用数学手段直接建立的数学模型，通常都需要通过实验来加以验证。还有许多复杂的系需要通过实验来加以验证。还有许多复杂的系统，目前也只能通过实验的方法来建立它们的统，目前也只能通过实验的方法来建立它们的数学模型。实验法建模虽然是一个十分重要的数学模型。实验法建模虽然是一个十分重要的

9、建模方法，但由于篇幅所限，本书中只介绍前建模方法，但由于篇幅所限，本书中只介绍前一种方法。一种方法。第8页/共117页第二章第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型第二节第二节 建立系统数学模型的一般步骤和方法建立系统数学模型的一般步骤和方法 目前工程上采用的方法主要是：目前工程上采用的方法主要是：a.a.分析计算法分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。适用于简单的

10、系统。b.b.工程实验法工程实验法 工程实验法是利用系统的输入工程实验法是利用系统的输入-输出信输出信第9页/共117页 号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较

11、小的因素来简化，但这就出现很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简了一对矛盾，简黑盒输入输出第10页/共117页 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。使系统的数学模型过于复杂。二二.线性系统线性系统 1.1.定义：当系统中各组成环节或元件的状态或特性可以用线性微分方程来描述时，定义：当系统中各组成环节或元件的状态或特性可以用线性微分方程来描述时，称这种系统为线性控制系统。称这种系统为线性控制系统。线性控制系统的特

12、点是可以运用叠加原理，即在系统存在有几个输入时，系线性控制系统的特点是可以运用叠加原理，即在系统存在有几个输入时，系统的输出等于各个输入分别作用于系统时系统输出之和，当系统输入增大或缩小时，统的输出等于各个输入分别作用于系统时系统输出之和，当系统输入增大或缩小时，系统的输出也按比例增大或缩小。系统的输出也按比例增大或缩小。第11页/共117页第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 如果描述系统动态特性的微分方程的系数是常数而不随时间变化，则这种线性如果描述系统动态特性的微分方程的系数是常数而不随时间变化，则这种线性系统称为系统称为线性定常（或时不变）系统。线性定常（或时不变）系统。

13、若微分方程的系数是时间的函数，则这种线性系统称为若微分方程的系数是时间的函数，则这种线性系统称为线性时变系统。线性时变系统。线性元件：线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。非线性元件：非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。第12页/共117页 2.2.重要特点：重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，给研究带来了极大的方便。对线性系统可以应用迭加性和齐次性，给研究带来了极大的方便。迭加性的应用：迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，欲求系统在几个输入信号和干

14、扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明：齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析进行分析 简化了问题。简化了问题。第13页/共117页 一一.微分方程的建立微分方程的建立 控制系统的数学模型通常是指动态数学模型，最基本、最重要的数学模型是微分控制系统的数学模型通常是

15、指动态数学模型，最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。质，又能简化分析计算的工作。第二节第二节 建立系统数学模型的一建立系统数学模型的一般步骤和方法般步骤和方法第14页/共117页一一.微分方程的建立微分方程

16、的建立 解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。第15页/共117页第二章第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型二、建立微分方程的一般步骤二、建立微分方程

17、的一般步骤 采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：(1)(1)确定系统或元部件的输入、输出变量。确定系统或元部件的输入、输出变量。(2)(2)根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。第16页/共117页第二章第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型 (3)(3)找出原始方程式中间变量与其它

18、因素的关系式。找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。(4)(4)消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。(5)(5)进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。第17页/共117页第二章第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型 任何一个控制系统都是由一个或一个以上的环节或元件

19、所构成的。从整个系统任何一个控制系统都是由一个或一个以上的环节或元件所构成的。从整个系统的角度看，构成系统的元件或环节之间必然存在或多或少的相互影响即效应问题。的角度看，构成系统的元件或环节之间必然存在或多或少的相互影响即效应问题。环节：环节：系统中可以列写出独立微分方程（或运动方程）的那一部分。它可以由一个元系统中可以列写出独立微分方程（或运动方程）的那一部分。它可以由一个元件构成，也可以由多个元件构成。其微分方程的系数只由自身的特性决定，而与其它件构成，也可以由多个元件构成。其微分方程的系数只由自身的特性决定，而与其它环节无关。环节无关。负载效应：负载效应：前后连接的元件或环节之间，后一个

20、元件或环节对前一个元件或环节运动前后连接的元件或环节之间，后一个元件或环节对前一个元件或环节运动状态（动态特性）产生的影响，称之谓负载效应。状态（动态特性）产生的影响，称之谓负载效应。第18页/共117页第二章第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型 如果一个元件或环节的运动状态与后面的如果一个元件或环节的运动状态与后面的元件或环节无关时，则该元件或环节称为元件或环节无关时，则该元件或环节称为单向元件单向元件。反之则称为非单向元件。反之则称为非单向元件。如果在元件或环节间加隔离元件可以消除如果在元件或环节间加隔离元件可以消除后一元件对前一元件的影响，则称前一元件为后一元件对前一元件

21、的影响，则称前一元件为可单可单向化向化。对电气系统来说，通常隔离元件都是高输入。对电气系统来说，通常隔离元件都是高输入阻抗低输出阻抗的元器件。阻抗低输出阻抗的元器件。不仅元件间有负载效应问题，系统本身也不仅元件间有负载效应问题，系统本身也有负载效应问题。只有在系统的负载输入阻抗很高有负载效应问题。只有在系统的负载输入阻抗很高或系统输出开路的情况下（相当于负载输入阻抗为或系统输出开路的情况下（相当于负载输入阻抗为无穷大），才能得到较高精度的数学模型。无穷大），才能得到较高精度的数学模型。分析系统时，没有特殊说明，均视系统为分析系统时，没有特殊说明，均视系统为开路。开路。第19页/共117页第二章

22、第二章 控制系统的动态数学模控制系统的动态数学模型型例例2-12-1控制工程教材定稿控制工程教材定稿例例2-22-2例例2-32-3例例2-42-4例例2-52-5例例2-62-6例例2-72-7第20页/共117页第第4 4节节 非线性数学模型的线性化处理非线性数学模型的线性化处理 1 1、线性化的基本概念、线性化的基本概念 所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的

23、变化，非线性系统模型就能够以此附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型，这便是自动控制统的控制理论都能适用于该模型，这便是自动控制理论里关于理论里关于小偏差线性化方法小偏差线性化方法或称或称增量线性化方法增量线性化方法的概念的概念。第21页/共117页第第4 4节节 非线性数学模型的线性化处理非线性数学模型的线性化处理 2 2、非线性数学模型的线性化的基本方法、非线性数学模型的线性化的基本方法 对于非线性系统，当系统变量偏离工对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时

24、，由级数理论可知，作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。只包含偏差的一次项的线性方程。第22页/共117页求解线性微分方程的步骤：求解线性微分方程的步骤：(1)(1)按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处

25、各变量的数值。(2)(2)找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。点邻域内各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。(3)(3)将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。它的系数值。(4)(4)消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。第23页/共117页第五节第五

26、节 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换 拉氏变换是一种积分变换，是求解线性微分方程的一种重要手段，也是建立拉氏变换是一种积分变换，是求解线性微分方程的一种重要手段，也是建立系统传递函数的数学基础。系统传递函数的数学基础。一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义(1)(1)当当 对任意对任意t t值都具有对应的单值；值都具有对应的单值；(2)(2)其中为其中为 正实数。正实数。则函数的拉氏变换定义为则函数的拉氏变换定义为 第24页/共117页 第第5节节 拉氏变换与反变拉氏变换与反变换换 式中复变量式中复变量 ，且实部，且实部 ，这个式子便是我们今后常用到拉氏变换，这个式子便是我们今后常用到拉氏变换公

27、式。公式。我们把我们把 称作原函数，把称作原函数，把 称为称为 象函数。象函数。一般工程实际问题中的时间函数都能满足上述条件。一般工程实际问题中的时间函数都能满足上述条件。第25页/共117页二、典型时间函数的拉氏变换二、典型时间函数的拉氏变换(1)(1)例例1.1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=Af(t)=A1(t)1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 。(2)(2)例例2.2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=f(t)=(t)(t)的拉氏变换。的拉氏变换。第26页/共117页 （3 3）例）例3.3.求指数

28、函数求指数函数f(t)=f(t)=的拉氏变的拉氏变换换几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换 f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sint1(t)1/scost t sint1/(s+)cost第27页/共117页三、拉氏变换的基本性质三、拉氏变换的基本性质 (1)(1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)(2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)f(0)为原函数为原函数f(t)f(t)在在t=0t=0时的初始值。时的初始值。第28页/共117页 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原

29、函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n n阶导数的拉氏变换阶导数的拉氏变换第29页/共117页(3)(3)积分性质积分性质:若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0t=0时的值。时的值。证：设证：设 则有则有 由上述微分定由上述微分定理，有理，有第30页/共117页即：即：同理，对同理，对f(t)f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0 0则有则有 即原函数即原函数 f(t)f(t)的的n n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换

30、等于其象函数除以函数除以 。第31页/共117页(4)(4)终值定理终值定理:原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s s的初值。的初值。证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s s趋向于趋向于0 0取极限取极限第32页/共117页 注：若注：若 时时f(t)f(t)极限极限 不存在，则不能用终值定理。不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)(5)初值定理：初值定理：证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)(6)延时定理延时定理(实域位移定理实域位移定理)

31、：若原函数在时间上延迟若原函数在时间上延迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以第33页/共117页(7)(7)衰减定理衰减定理(复域位移定理复域位移定理)：象函数的自变量延迟象函数的自变量延迟，原函数应乘以，原函数应乘以 即：即：(7)(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：数。即：证：证：第34页/共117页(8)(8)卷积定理：卷积定理：两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即

32、即证明：证明：第35页/共117页 第36页/共117页 四、拉氏反变换四、拉氏反变换 1 1、定义：从象函数、定义：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(t)f(t)的运算称为拉氏反变换。记为的运算称为拉氏反变换。记为 。由。由F(s)F(s)求原函数可按下式进行：求原函数可按下式进行：式中式中C C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。必须是一种能直接查

33、到的原函数的形式。第37页/共117页 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函数，则不能在表中直接找到原函数，则需要将需要将F(s)F(s)展开成若干部分分式之和，而这些展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1 1：例例2 2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：第38页/共117页例3.第39页/共117页2.拉式反变换部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和第40页/共117页第41页/共117页第42页/共117页（2）情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方

34、程第43页/共117页（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么第44页/共117页第45页/共117页第46页/共117页第47页/共117页如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。第48页/共117页 2-4 2-4 传递函数传递函数 1.1.传递函数定义传递函数定义：对于一个线性定常系统，零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)G(s)表示。设线性定常系统（元件）的微分方程是第49页/共117页 c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中S

35、的最高阶次n即为系统的阶次。第50页/共117页 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的系统。第51页/共117页 2.2.传递函数的性质传递函数的性质 (1)传递函数与微分方程一一对应。(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）(3)选择系统中不同的物理量为输入、输出时，系统的传递函数形式也不同。系统中的每一个环节都可以有自己的传递函数。第52页/共117页2.2.传递函数的性质传递函数的

36、性质(4)只适合于线性定常系统，并且只能对应于单输入单输出系统，其内部许多中间变量的变化情况无法反映。(5)传递函数是复变函数，它在复域中反映系统的特征；对于大多数实际系统，传递函数为有理式，分母中变量S的指数n应不小于分子中S的指数m，它反映出实际系统中总存在惯性特性，输出要慢于输入。第53页/共117页2.2.传递函数的性质传递函数的性质(6)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。(7)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。(8)传递函数的量纲视系统的输入和输出的量纲来决定。不同性质的问题可以有相同的传递函数。第54页/共117页

37、3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 通常，控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从结构和作用原理来看，可以有各种各样的不同元部件，但是从动态性能和数学模型来看，可以分为几个基本的典型环节。不管元部件是机械式、电气式、液压式等，只要其数学模型一样，它们就可以归纳为同一个环节，这样给分析、研究系统性能带来很多方便。常用的典型环节主要有比例环节、惯性环节、一阶微分环节、积分环节、振荡环节、延迟环节等6种形式。第55页/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数（1）比例环节 比例环节也称为放大环节，其特点是环节的输出量与输入量成正比。其传递函数为：其中k为放大系数。第56页

38、/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数（2 2）惯性环节惯性环节 传递函数为：k k为传递系数；T T为惯性时间常数 （3 3）一阶微分环节一阶微分环节 传递函数为：为微分时间常数 理想的微分环节传递函数为：第57页/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数（4）积分环节）积分环节 传递函数为：式中，称为积分时间常数。（5）振荡环节振荡环节 传递函数为：第58页/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 其中T为时间常数，为阻尼系数，也称为阻尼比，称为无阻尼自然振荡频率。6.延迟环节延迟环节 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，当输入

39、量作用后，在给定一段时间之前，延迟环节的输出量一直未变化，只有到达延迟时间以后，环节的输出量才无偏差的复现原信号。第59页/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数延迟环节的传递函数为：通过上述分析，我们要明确以下几点：（1）系统的典型环节是按照数学模型的共性来建立的，它与系统中使用的元部件不是一一对应的，一个系统可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组合而成。第60页/共117页3.3.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数（2）按照数学模型对元部件和系统进行分类，产生出若干典型环节，将有助于系统动态特性的研究和分析。（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常系统来描述

40、的场合。第61页/共117页4.4.自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数 如图所示的闭环控制系统，采用叠加原理可分别求出在输入信号和扰动信号作用下的系统各类传递函数。其中各类信号和装置分别定义为：输入信号：R（S）输出信号：C（S）主反馈信号：B（S）偏差信号：E（S）干扰信号：N（S）控制器：G1（S）被控对象：G2（S）反馈环节：H（S）第62页/共117页4.4.自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数第63页/共117页1 1）系统开环传递函数）系统开环传递函数 闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数，这是指当系统主反馈通路断开以后，反馈信号与输入信号之间的传

41、递函数。表示为：从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。第64页/共117页2 2）输入信号作用下的系统闭环传递函）输入信号作用下的系统闭环传递函数数 令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。表示为第65页/共117页3 3）干扰信号作用下的系统闭环传递函）干扰信号作用下的系统闭环传递函数数 令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。表示为：第66页/共117页4 4）闭环系统的误差传递函数）闭环系统的误差传递函数 输入信号作用下的误差传递函数：令干扰信号

42、，误差信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。表示为：第67页/共117页例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ，则微分方程为：第68页/共117页可用方框图表示例2.双T网络对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：第69页/共117页解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：第70页/共117页第71页/共117页方法二：用复阻抗比：第72页/共117页 注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：第73页/共117页 与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作

43、为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流，不再等于C1中的电流。只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联。第74页/共117页例3：位置随动系统第75页/共117页各元件微分方程:第76页/共117页零初始条件下的拉氏变换:第77页/共117页各元件传递函数:第78页/共117页由各元部件传递函数，消去中间变量，得系统的传递函数为：第79页/共117页例4：求图2-18所示运算放大器的传递函数。图中Rf是反馈电阻，if是反馈电流，Ri是输入电阻，ur和ir是输入电压

44、和电流，uc是输出电压,i0是进入放大器的电流。urucRfRiRui0irif-+第80页/共117页 运算放大器有同相(+)和反相(-)两个输入端。带负号的输入端为反相输入，此输入所产 生的输出与输入极性相反。带正号的输入 为同相输入，它所产生的输出极性不变。两个输入有差分作用，即输出电压与两个 输入端的电压差成正比。运算放大器常用 的是反相输入端，它利用负反馈原理，把 一部分与输入信号反相的输出信号送回输 入端，同相输入端与ur和uc共地。第81页/共117页 运算放大器具有高增益k=105109,而通常uc小于10伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压u近似等于0，这种反相输

45、入端电位为0的现象，是运算放大器的共同特点，叫做“虚地”，又因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的电流i0也近似等于0。这个现象叫做“虚断”，ir=if,由此导出：，即 ，所以运算放大器的传递函数为第82页/共117页 这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比。第83页/共117页2-7 2-7 系统方块图及其简化系统方块图及其简化第84页/共117页2-7 2-7 系统方块图及其简化系统方块图及其简化 1 1、传递函数方块图的基本特点：、传递函数方块图的基本特点：(1)(1)方块图通常均由方块图单元（以下简称单方块图通常均由方块图单元（以下简称单元）、信

46、号流向线、比较点（或相加点）及引出点元）、信号流向线、比较点（或相加点）及引出点等等4 4类结构构成。类结构构成。(2)(2)方块图中每个单元，均应以传递函数形式方块图中每个单元，均应以传递函数形式来表示，并用箭头标出信号的流向来表示，并用箭头标出信号的流向;规定流入单元规定流入单元的信号表示该环节的输入信号，流出单元的信号则的信号表示该环节的输入信号，流出单元的信号则为环节的输出信号。为环节的输出信号。(3)(3)环节的输入及输出信号均应以象函数表示环节的输入及输出信号均应以象函数表示,但为使方块图简洁易读，通常只标写系统的输入但为使方块图简洁易读，通常只标写系统的输入（包括干扰）、输出信号

47、及主要环节的必要的相关（包括干扰）、输出信号及主要环节的必要的相关信号。信号。第85页/共117页2-7 2-7 系统方块图及其简化系统方块图及其简化 (4)(4)对于一个单元，在一般情况下（主要指古典控制理论研究），只有一个输入信对于一个单元，在一般情况下（主要指古典控制理论研究），只有一个输入信号和一个输出信号，且每个单元表示的环节都应具有信号单一方向流过的号和一个输出信号，且每个单元表示的环节都应具有信号单一方向流过的单向特性单向特性。(5)(5)比较点或相加点的作用是对流入比较点的信号进行代数和的运算（或进行比较）比较点或相加点的作用是对流入比较点的信号进行代数和的运算（或进行比较），

48、并将其运算结果输出。，并将其运算结果输出。(6)(6)图中的粗黑点，表示信号的引出点。由引出点引出的信号可以用作其他单元的图中的粗黑点，表示信号的引出点。由引出点引出的信号可以用作其他单元的输入信号，也可以用作外界测量仪器的测量信号。输入信号，也可以用作外界测量仪器的测量信号。第86页/共117页2-7 2-7 系统方块图及其简化系统方块图及其简化 由同一个引出点引出的多路信号，其值的大小及其性质均认为是完全一样的，由同一个引出点引出的多路信号，其值的大小及其性质均认为是完全一样的，即不会引起所谓能量的衰减（但对实际系统一定要考虑输出信号的元器件带负载能力即不会引起所谓能量的衰减（但对实际系统

49、一定要考虑输出信号的元器件带负载能力的大小）。的大小）。2 2、传递函数方块图中单元的最基本联结方式、传递函数方块图中单元的最基本联结方式第87页/共117页2-7 2-7 系统方块图及其简化系统方块图及其简化2-2-7.doc7.doc第88页/共117页3 3、绘制系统传递函数方块图的基本步骤、绘制系统传递函数方块图的基本步骤 (1)(1)建立描述系统动态特性的微分方程组；建立描述系统动态特性的微分方程组；(2)(2)对已知的微分方程组进行拉氏变换，并根据需要对变换式作必要的改写；对已知的微分方程组进行拉氏变换，并根据需要对变换式作必要的改写；(3)(3)由改写的变换式，绘制对应的局部方块

50、图；由改写的变换式，绘制对应的局部方块图；(4)(4)联结各局部方块图中变量名相同的输入与输出端，完成系统传递函数方块图的联结各局部方块图中变量名相同的输入与输出端，完成系统传递函数方块图的绘制。绘制。第89页/共117页3 3、绘制系统传递函数方块图的基本步、绘制系统传递函数方块图的基本步骤骤 对变换式的改写是关键，改写的基本原则：对变换式的改写是关键，改写的基本原则：(1)(1)各局部方块图中，至少应有一个局部方块图的输入变量是系统的输入变量；各局部方块图中，至少应有一个局部方块图的输入变量是系统的输入变量；(2)(2)各局部方块图中，至少应有一个局部方块图的输出变量是系统的输出变量；各局