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1、1两种常用的映射变换方法两种常用的映射变换方法一、脉冲响应不变法一、脉冲响应不变法二、双线性变换法二、双线性变换法第1页/共85页2利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤脉冲响应不变
2、法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列波器的单位脉冲响应序列波器的单位脉冲响应序列波器的单位脉冲响应序列h(n)h(n)h(n)h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应正好等于模拟滤波器的冲激响应正好等于模拟滤波器的冲激响应正好等于模拟滤波器的冲激响应h h h ha a a a(t)(t)(t)(t)的采样值，即的采样值，即的采样值，即的采样值，即 h(n)=hh(n)=hh(n)=hh(n)=ha a a a(nT),T(nT),T(nT),T(nT),T为采样周期。为采样周期。
3、为采样周期。为采样周期。如以如以如以如以 H H H Ha a a a(s)(s)(s)(s)及及及及 H H H H（z z z z）分别表示）分别表示）分别表示）分别表示 h h h ha a a a(t)(t)(t)(t)的拉氏变换及的拉氏变换及的拉氏变换及的拉氏变换及 h(n)h(n)h(n)h(n)的的的的 Z Z Z Z 变换，即变换，即变换，即变换，即 H H H Ha a a a(s)=LTh(s)=LTh(s)=LTh(s)=LTha a a a(t),H(z)=ZTh(n)(t),H(z)=ZTh(n)(t),H(z)=ZTh(n)(t),H(z)=ZTh(n)Ha(s)L
4、T-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法6.3 用脉冲响应不变法设计第2页/共85页3计算计算计算计算 H(Z):H(Z):H(Z):H(Z):脉脉脉脉冲冲冲冲响响响响应应应应不不不不变变变变法法法法特特特特别别别别适适适适用用用用于于于于用用用用部部部部分分分分分分分分式式式式表表表表达达达达传传传传递递递递函函函函数数数数，模模模模拟拟拟拟滤滤滤滤波波波波器器器器的的的的传传传传递递递递函函函函数数数数若若若若只只只只有有有有单单单单阶阶阶阶极极极极点点点点，且且且且分分分分母母母母的的的的阶阶阶阶数数数数高高高高于于于于分分
5、分分子子子子阶阶阶阶数数数数 N N N NM M M M，则可表达为部分分式形式；，则可表达为部分分式形式；，则可表达为部分分式形式；，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：单位阶跃单位阶跃单位阶跃单位阶跃 对对对对h h h ha a a a(t)(t)(t)(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 第3页/共85页4再对再对再对再对h(n)h(n)h(n)h(n)取取取取Z Z Z Z变换，得到数字滤波器的传递函数：变换，得到数字
6、滤波器的传递函数：变换，得到数字滤波器的传递函数：变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，所以有 必有 第4页/共85页5比较看到：比较看到：S S平平面面上上的的极极点点 S=SS=Si i 变变换换到到Z Z平平面面上上是是极极点点 ,而而Ha(s)Ha(s)与与H(Z)H(Z)中中部部分分分分式式所所对对应应的的系系数数不不变变，但但要要注注意意，这这种种HHa a(s)(s)到到H(Z)H(Z)的的对对应应变变换换关关系系，只只有有将将HHa
7、a(s)(s)表表达达为为部部分分分式形式才成立。分式形式才成立。稳定性：稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 S Si i 都在都在S S左半平左半平 面面，即即 ResResi i 0 0,那那么么变变换换后后H(Z)H(Z)的的极极点点 也也都都在在单单位位圆以内，即圆以内，即 ,因此数字滤波器因此数字滤波器保持稳定。保持稳定。第5页/共85页6根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系 理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 与模拟信号与模拟信号 的拉氏变换的拉氏变换 之间的关系。之间的关系。
8、理想采样理想采样 的拉氏变换的拉氏变换 与采样序列与采样序列 的的 Z Z Z Z 变换变换 之间存在的之间存在的 S S S S 平面与平面与 Z Z Z Z 平面的映射关系。平面的映射关系。第6页/共85页7s平面与z平面的映射关系 第7页/共85页8以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的器变换为数字滤波器时，它所完成的 S S 平平面到面到 Z Z 平面的变换，正是以前所讨论的拉平面的变换，正是以前所讨论的拉氏变换到氏变换到Z Z变换的标准变换关系，即首先对变换的标准变换关系，即首先对H Ha a(s)(s)作周期延拓
9、，然后再经过作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到的映射关系映射到 Z Z 平面上。平面上。第8页/共85页9映射关系映射关系 ：S S平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，的横带部分，都将重叠地映射到都将重叠地映射到Z Z平面的整个平面上平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到Z Z平面单位圆以内，平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到Z Z平面单位圆以外，平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴映射到单位圆上，轴上每一段轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。都对应于绕单位圆一周。第9页/共85页10S 平面Z 平面第10页/共85页11
10、 应应应应指指指指出出出出，Z=eZ=eZ=eZ=esTsTsTsT的的的的映映映映射射射射关关关关系系系系反反反反映映映映的的的的是是是是H H H Ha a a a(s)(s)(s)(s)的的的的周周周周期期期期延延延延拓拓拓拓与与与与 H H H H（Z Z Z Z）的的的的关关关关系系系系，而而而而不不不不是是是是H H H Ha a a a(s)(s)(s)(s)本本本本身身身身与与与与H H H H（Z Z Z Z）的的的的关关关关系系系系，因因因因此此此此，使使使使用用用用脉脉脉脉冲冲冲冲响响响响应应应应不不不不变变变变法法法法时时时时，从从从从H H H Ha a a a(s)
11、(s)(s)(s)到到到到H(z)H(z)H(z)H(z)并并并并没没没没有有有有一一一一个个个个由由由由S S S S平平平平面面面面到到到到Z Z Z Z平平平平面面面面的的的的一一一一一一一一对对对对应应应应的的的的简简简简单单单单代代代代数数数数映映映映射射射射关关关关系系系系，即即即即没没没没有有有有一一一一个个个个S=f(z)S=f(z)S=f(z)S=f(z)代数关系式。代数关系式。代数关系式。代数关系式。混迭：混迭：混迭：混迭：由由由由式式式式，还还还还可可可可看看看看到到到到，数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器器器器的的的的频频频频响响响响并并并并不不不不是是是是简简简简单单
12、单单的的的的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：周期为周期为周期为周期为 第11页/共85页12 正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内，即 第12页/共85页13 这这这这时时时时数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器器器器的的的的频频频频响响响响才才才才能能能能不不不不失失失失真真真真地地地地重重重重现现现现模模模模拟拟拟拟滤波器的频响（存在于折叠频率滤波器的频响（存在于折叠频率滤波器
13、的频响（存在于折叠频率滤波器的频响（存在于折叠频率S S S S/2/2/2/2以内）以内）以内）以内）但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于即混淆，如图，这时，
14、数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。到良好的效果。到良好的效果。到良好
15、的效果。第13页/共85页14脉冲响应不变法中的频响混淆第14页/共85页15例 将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。解：第15页/共85页16模拟滤波器的频率响应为:第16页/共85页17数字滤波器的频率响应为:显然 与采样间隔T有关T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?第17页/共85页18第18页/共85页19实际应用中的问题：（1）实用公式：此时，第19页/共85页20（2）复数乘法器的问题：第20页/共85页21若AF的二阶基本节的形式为则相应的DF的二阶节的形式为第21页/共85页22若AF的二阶基本节的形式为则相应的DF的二阶节的形
16、式为第22页/共85页23脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点优点：优点：优点：优点：1 1 1 1、频率变换是线性关系、频率变换是线性关系、频率变换是线性关系、频率变换是线性关系;w=w=w=w=T T T T，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；性；性；性；2 2 2 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应
17、，时域特性逼近、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；好；好；好；3 3 3 3、如果、如果、如果、如果Ha(s)Ha(s)Ha(s)Ha(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在S S S S左半平面，映射后得到的左半平面，映射后得到的左半平面，映射后得到的左半平面，映射后得到的H(Z)H(Z)H(Z)H(Z)也是稳定的。也是稳定的。也是稳定的。也是稳定的。第23页/共85页24 缺点：缺点：1.1.1.1.有频谱混迭失真现象；有频谱混迭失真
18、现象；有频谱混迭失真现象；有频谱混迭失真现象；(S(S(S(S平面到平面到平面到平面到Z Z Z Z平面有平面有平面有平面有多值映射关系多值映射关系多值映射关系多值映射关系)因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的的的的低通或带通低通或带通低通或带通低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效，而高频衰减越大，频响的混淆效，而高频衰减越大，频响的混淆效，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于应越小，至于应越小，至于应越小，至于高通和带阻高通和带阻高通和带阻高通和带阻滤
19、波器滤波器滤波器滤波器,由于它们在高由于它们在高由于它们在高由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中2.2.2.2.由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。(T(T(T(T失真失真失真失真 ，但运算量但运算量但运算量但运算量 ,实现困难实现困难实现困难实现困难)第24页/共85页25 6.4 6.4 双线性变换法双线性变换法 脉脉脉脉冲冲冲冲响响响响应应应应不不不不变变变变法法法法的的
20、的的主主主主要要要要缺缺缺缺点点点点是是是是频频频频谱谱谱谱交交交交叠叠叠叠产产产产生生生生的的的的混混混混淆淆淆淆，这这这这是是是是从从从从S S S S平平平平面面面面到到到到Z Z Z Z平平平平面面面面的的的的标标标标准准准准变变变变换换换换z z z ze e e esTsTsTsT的的的的多多多多值值值值对对对对应应应应关关关关系系系系导导导导致致致致的的的的,为为为为了了了了克克克克服服服服这这这这一一一一缺缺缺缺点点点点，设设设设想想想想变变变变换换换换分分分分为为为为两两两两步步步步：第第第第一一一一步步步步：将将将将整整整整个个个个S S S S平平平平面面面面压压压压缩缩
21、缩缩到到到到S S S S1 1 1 1平平平平面面面面的的的的一一一一条条条条横横横横带带带带里里里里；第第第第二二二二步步步步：通通通通过过过过标标标标准准准准变变变变换换换换关关关关系系系系将将将将此此此此横横横横带带带带变变变变换换换换到到到到整整整整个个个个Z Z Z Z平平平平面上去。面上去。面上去。面上去。由由由由此此此此建建建建立立立立S S S S平平平平面面面面与与与与Z Z Z Z平平平平面面面面一一一一一一一一对对对对应应应应的的的的单单单单值值值值关关关关系系系系，消除多值性，也就消除了混淆现象。消除多值性，也就消除了混淆现象。消除多值性，也就消除了混淆现象。消除多值
22、性，也就消除了混淆现象。第25页/共85页26s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系第26页/共85页27双线性变换法消除频谱混迭的原理双线性变换法消除频谱混迭的原理 非线性压缩：非线性压缩：非线性压缩：非线性压缩：(S(S(S(S平面平面平面平面S S S S1 1 1 1平面平面平面平面映射映射映射映射)双线性变换法用双线性变换法用双线性变换法用双线性变换法用正切变换正切变换正切变换正切变换实现非线性频率压实现非线性频率压实现非线性频率压实现非线性频率压缩，设缩，设缩，设缩，设Ha(s)Ha(s)Ha(s)Ha(s)，s=js=js=js=j，经过非线性频率压缩，经过非线性频率压缩，经
23、过非线性频率压缩，经过非线性频率压缩后用后用后用后用Ha(s1)Ha(s1)Ha(s1)Ha(s1)，s1=js1=js1=js1=j1 1 1 1 表示。则：表示。则：表示。则：表示。则：上式表明：当上式表明：当上式表明：当上式表明：当1111从从从从/T/T/T/T经过经过经过经过0 0 0 0变化到变化到变化到变化到-/T-/T-/T-/T时，时，时，时，则由则由则由则由经过经过经过经过0 0 0 0变化到变化到变化到变化到-，这样实现了，这样实现了，这样实现了，这样实现了s s s s平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到s1s
24、1s1s1平面上虚轴的平面上虚轴的平面上虚轴的平面上虚轴的/T/T/T/T之间的转换。之间的转换。之间的转换。之间的转换。0/T-/T1T：时域采样间隔；第27页/共85页28 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得S平面到S1平面的映射关系：再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令第28页/共85页29考虑z=ej,第29页/共85页30最后得最后得最后得最后得S S S S平面与平面与平面与平面与Z Z Z Z平面的单值映射关系：平面的单值映射关系：平面的单值映射关系：平面的单值映射关系：双双双双线线线线性性性性换换换换法法法法的的的的主主主主要要要要优优优优点点点点是是是是S S
25、 S S平平平平面面面面与与与与Z Z Z Z平平平平面面面面一一一一一一一一单单单单值值值值对对对对应应应应，S S S S平平平平面面面面的的的的虚虚虚虚轴轴轴轴(整整整整个个个个j)j)j)j)对对对对应应应应于于于于Z Z Z Z平平平平面面面面 单单单单位位位位圆圆圆圆的的的的一一一一周周周周，S S S S平平平平面面面面的的的的=0=0=0=0处处处处对对对对应应应应于于于于Z Z Z Z平平平平面面面面的的的的=0=0=0=0处处处处，对对对对应应应应即即即即数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器器器器的的的的频频频频率率率率响响响响应应应应终终终终 止止止止于于于于折折折折迭迭迭
26、迭频频频频率率率率处处处处，所所所所以以以以双双双双线线线线性性性性变变变变换换换换不不不不存存存存在在在在混混混混迭迭迭迭效效效效应应应应。通常取C=2/T，第30页/共85页31 现现在在我我们们看看看看，这这一一变变换换是是否否符符合合我我们们一一开开始始提提出出的的由由模模拟拟滤滤波波器器设设计计数数字字滤滤波波器器时时，从从 S S平平面面到到Z Z平平面面映映射射变变换换的的二二个基本要求：个基本要求：当当 时，代入时，代入（1 1）式，得：）式，得：对单位圆对单位圆 ,即即S S平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z Z平面正好是单位圆。平面正好是单位圆。第31页/共85页32 代入
27、（2）式 第32页/共85页33 即即即即s s s s左左左左半半半半平平平平面面面面映映映映射射射射在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆内内内内，s s s s右右右右半半半半平平平平面面面面映映映映射射射射在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆外外外外，因因因因此此此此稳稳稳稳定定定定的的的的模模模模拟拟拟拟滤滤滤滤波波波波器器器器通通通通过过过过双双双双线线线线性性性性变变变变换换换换后后后后，所所所所得得得得到到到到的的的的数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器也是稳定的。如图器也是稳定的。如图器也是稳定的。如图器也是稳定的。如图1 1 1 1。图图图图 双线性变换的频率非线性关系双线性变换的频率
28、非线性关系双线性变换的频率非线性关系双线性变换的频率非线性关系 第33页/共85页34 1)1)1)1)与与与与脉脉脉脉冲冲冲冲响响响响应应应应不不不不变变变变法法法法相相相相比比比比，双双双双线线线线性性性性变变变变换换换换的的的的主主主主要要要要优优优优点点点点：S S S S平平平平 面面面面与与与与Z Z Z Z平平平平面面面面是是是是单单单单值值值值的的的的一一一一一一一一对对对对应应应应关关关关系系系系（靠靠靠靠频频频频率率率率的的的的严严严严重重重重非非非非线线线线性性性性关关关关系系系系得得得得到到到到的的的的），即即即即整整整整个个个个jjjj轴轴轴轴单单单单值值值值的的的的
29、对对对对应应应应于于于于单单单单位位位位圆圆圆圆一一一一周周周周，关关关关系系系系式式式式为为为为：可见，可见，可见，可见，和和和和为非线性关系。为非线性关系。为非线性关系。为非线性关系。第34页/共85页35说明：s平面上 与z平面的成非线性正切关系，当增加时，增加得很快，当 趋于 时，趋于，由于这种非线性关系，消除了频率混叠现象。代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。第35页/共85页36 2)2)2)2)与与与与成非线性关系，会导致：成非线性关系，会导致：成非线性关系，会导致：成非线性关系，会导致：a.a.a.a.数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器
30、器器器的的的的幅幅幅幅频频频频响响响响应应应应相相相相对对对对于于于于模模模模拟拟拟拟滤滤滤滤波波波波器器器器的的的的幅幅幅幅频频频频响响响响应应应应有有有有畸畸畸畸变变变变，(使使使使数数数数字字字字滤滤滤滤波波波波器器器器与与与与模模模模拟拟拟拟滤滤滤滤波波波波器器器器在在在在响响响响应应应应与与与与频频频频率率率率的的的的对对对对应应应应关系上发生畸变关系上发生畸变关系上发生畸变关系上发生畸变)。例例例例如如如如，一一一一个个个个模模模模拟拟拟拟微微微微分分分分器器器器，它它它它的的的的幅幅幅幅 度度度度与与与与频频频频率率率率是是是是直直直直线线线线关关关关系，但通过双线性变换后，就不
31、可能得到数字微分器系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 第36页/共85页37b.b.b.b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.c.c.c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定要求模拟滤波器的幅
32、频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器频滤波器频滤波器频滤波器第37页/共85页38第38页/共85页39 虽然双线性变换有这样的缺点，但它目虽然双线性变换有这样的缺点，但它目虽然双线性变换有这样的缺点，但它目虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设
33、计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为常数特性，在阻带部分要求逼近
34、一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线的常数特性，这种特性的滤波器通过双线的常数特性，这种特性的滤波器通过双线的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。其幅频特性仍保持分段常数的特性。其幅频特性仍保持分段常数的特性。其幅频特性仍保持分段常数的特性。第39页/共85页40 例如，一个考尔型的模拟滤波器例如，一个考尔型的模拟滤波器例如，一个考尔型的模拟滤波器例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)Ha(s)Ha(s)
35、Ha(s)，双线，双线，双线，双线性变换后，得到的性变换后，得到的性变换后，得到的性变换后，得到的H(z)H(z)H(z)H(z)在通带与阻带内都仍保持在通带与阻带内都仍保持在通带与阻带内都仍保持在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸谷点
36、频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过变。这种频率点的畸变可以通过变。这种频率点的畸变可以通过变。这种频率点的畸变可以通过预畸预畸预畸预畸来加以校正。来加以校正。来加以校正。来加以校正。第40页/共85页41五、双线性变换法的预畸变五、双线性变换法的预畸变 对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预畸变加以校正。畸变加以校正。畸变加以校正。畸变加以校正。例：数
37、字低通滤波器的两个截止频率：例：数字低通滤波器的两个截止频率：例：数字低通滤波器的两个截止频率：例：数字低通滤波器的两个截止频率：pppp和和和和ssss，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为：率分别为：率分别为：率分别为：再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率器的截止频率就不等于原来的频率器
38、的截止频率就不等于原来的频率器的截止频率就不等于原来的频率 。解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变的处理：预畸变的处理：预畸变的处理：预畸变的处理：pp/Tss/T第41页/共85页42双线性变换时频率的预畸第42页/共85页43计算计算H(Z)H(Z)双双双双线线线线性性性性变变变变换换换换比比比比脉脉脉脉冲冲冲冲响响响响应应应应法法法法的的的的设设设设计计计计计计计计算算算算更更更更直直直直接接接接和和和和简简简简单单单单。由由由由于于于于s s s s
39、与与与与z z z z之之之之间间间间的的的的简简简简单单单单代代代代数数数数关关关关系系系系，所所所所以以以以从从从从模模模模拟拟拟拟传传传传递递递递函函函函数数数数可可可可直直直直接接接接通通通通过过过过代代代代数数数数置换得到数字滤波器的传递函数。置换得到数字滤波器的传递函数。置换得到数字滤波器的传递函数。置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程置换过程:频响：频响：第43页/共85页44 这些都比脉冲响应不变法的部分分式这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较时域瞬态响应时，采用脉冲响应不
40、变法较好，而其他情况下，对于好，而其他情况下，对于IIRIIR的设计，大的设计，大多采用双线性变换。多采用双线性变换。第44页/共85页45对于采样间隔T的选择：脉冲响应不变法：双线性变换法：T可任意取。第45页/共85页46例1 设设采采样样周周期期 ,设设计计一一个个三三阶阶巴巴特特沃沃兹兹LPLP滤滤波波器器,其其3dB3dB截截止止频频率率fc=1khzfc=1khz。分分别别用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法和双线性变换法求解。和双线性变换法求解。解：解：a.a.脉冲响应不变法脉冲响应不变法 由由于于脉脉冲冲响响不不变变法法的的频频率率关关系系是是线线性性的的，所所以以可可直直接接按按
41、c c =2f=2fc c设设计计Ha(s)Ha(s)。根根据据上上节节的的讨讨论论，以以截截止止频频率率c c 归归一一化化的的三阶巴特沃兹三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：滤波器的传递函数为：以以 代替其归一化频率，得：代替其归一化频率，得：第46页/共85页47 为进行脉冲响应不变法变换，计算为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)Ha(S)Ha(S)Ha(S)分母多项式的根，分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 有有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：将上式部分系数
42、代入数字滤波器的传递函数：第47页/共85页48并将并将 代入，得：代入，得：合并上式后两项，并将合并上式后两项，并将 代入，计算得：代入，计算得：第48页/共85页49 可见，可见，可见，可见，H H H H（Z Z Z Z）与采样周期）与采样周期）与采样周期）与采样周期T T T T有关，有关，有关，有关，T T T T越小，越小，越小，越小，H H H H（Z Z Z Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，）的相对增益越大，这是不希望的。为此，）的相对增益越大，这是不希望的。为此，）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求实际应用脉冲响应不变法时稍
43、作一点修改，即求实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出出出出H H H H（Z Z Z Z）后，再乘以因子）后，再乘以因子）后，再乘以因子）后，再乘以因子T,T,T,T,使使使使H H H H（Z Z Z Z）只与）只与）只与）只与 fc/ffc/ffc/ffc/fs s s s有关，即只与有关，即只与有关，即只与有关，即只与fcfcfcfc和和和和f f f fs s s s的相对值的相对值的相对值的相对值w w w wc c c c有关，而与有关，而与有关，而与有关，而与采样频率采样频率采样频率采样频率f f f fs s s s无直接关系。
44、无直接关系。无直接关系。无直接关系。例如，例如，例如，例如，的数字滤波器具有相同的传递函数，这一的数字滤波器具有相同的传递函数，这一的数字滤波器具有相同的传递函数，这一的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。结论适合于所有的数字滤波器设计。结论适合于所有的数字滤波器设计。结论适合于所有的数字滤波器设计。第49页/共85页50b.b.b.b.双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率（一）首先确定数字域临界频率（一）首先确定数字域临界频率（一）首先确定数字域临界频率 （二二二二）根根根根据据据据频频频频率率率率的的的的非非非非线线线
45、线性性性性关关关关系系系系，确确确确定定定定预预预预畸畸畸畸的的的的模模模模拟拟拟拟滤滤滤滤波波波波器器器器临临临临界界界界频频频频率率率率 (三三三三 )以以以以 s/s/s/s/c c c c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将并将并将并将c=2/Tc=2/T代入上式。代入上式。代入上式。代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求（四）将双线性变换关系代入，求（四）将双线性变换关系代入，求（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)H(Z)H(Z)H(Z)。第50页/共85页51第5
46、1页/共85页52 图图1 1为为两两种种设设计计方方法法所所得得到到的的频频响响，对对于于双双线线性性变变换换法法，由由于于频频率率的的非非线线性性变变换换，使使截截止止区区的的衰衰减减越越来来越越快快，最最后后在在折折 叠叠频频率率处处 形形成成一一个个三三阶阶传传输输零零点点,这这个个三三阶阶零零点点正正是是模模拟拟滤滤波波器器在在 处处的的三三阶阶传传输输零零点点通通过过映映射射形形成成的的。因因此此,双双线线性性变变换换法法使使过过渡渡带带变变窄窄,对对频频率率的的选选择择性性改改善善,而而脉脉冲冲响应不变法存在混淆响应不变法存在混淆,且没有传输零点。且没有传输零点。脉冲响应不变法双
47、线性变换法第52页/共85页53第53页/共85页546.5 6.5 数字高通、带通和带阻数字高通、带通和带阻 滤波器的设计滤波器的设计第54页/共85页55设计高通、带通、带阻等数字滤波器的两种方设计高通、带通、带阻等数字滤波器的两种方法：法：先先设设计计一一个个相相应应的的高高通通、带带通通或或带带阻阻模模拟拟滤滤波波器器，然然后后通通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟原型 模拟高通、带通、带阻模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。设计方法同上面讨论的低
48、通滤波器的设计。即确定即确定 转换为相应的转换为相应的 高通、带通、带阻高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 Ha(s)H(Z)Ha(s)H(Z)第55页/共85页56 直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换频率变换频率变换频率变换模拟低通原型模拟低通原型模拟低通原型模拟低通原型 数字低通、高通、数字低通、高通、数字低通、高通、数字低通、高通、带通、带阻带通、带阻带通、带阻带通、带阻第56页/共85页57模拟模拟AFAF的频率变换的频率变换 模
49、拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计指标模拟高通、带通、带阻滤波器的设计指标模拟低通滤波器的技术指标模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器的传输函数设计模拟低通滤波器的传输函数相应的模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数相应的模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数第57页/共85页58一、低通到高通的频率变换假设低通传输函数用假设低通传输函数用GG（s s）表示，）表示，s sj j，归一化，归一化频率用频率用 表示；表示；pj ，p称为归一化拉氏复变量。称为归一化拉氏复变
50、量。所需类型（例如高通）滤波器的传输函数用所需类型（例如高通）滤波器的传输函数用H H（s s）表示，表示，s sj j ，归一化频率用，归一化频率用 表示；令表示；令qj并将并将q q称为归一化拉氏变量，称为归一化拉氏变量，H H（q q）称为归一化传输函数。）称为归一化传输函数。第58页/共85页59低通到高通的频率变换公式：低通到高通的频率变换公式：低通G（j ）和高通H（j ）转换公式：第59页/共85页60二、模拟高通滤波器的设计步骤：（1 1）确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率）确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 ，阻带上限频率阻带上限频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 ，