现代控制理论与控制算法刘敏.pptx

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1、1第1章 动态系统及其重要特性动态系统的数学描述动态系统的稳定性线性定常系统的能控性线性定常系统的能观性线性系统能控性和能观性的对偶关系第1页/共61页基本概念外部描述：传递函数输入-输出描述描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数。内部描述：状态方程、输出方程是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有2个数学方程来组成一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。第

2、2页/共61页基本概念状态变量动力学系统的状态是指能完整地,确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了这组变量称为状态变量状态向量以状态变量为元所组成的向量,称为状态 向量。如x1(t)、x2(t)xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为状态空间以状态变量x1,x2,xn为坐标轴,组成的n维正交空间称为状态空间状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值第3页/共61页动态系统的数学描述动态系统的运动方程描述:无控SDOFSDOF无控结构运动方程写成向量矩阵形式：激 励响

3、 应SDOF结 构第4页/共61页动态系统的数学描述动态系统的运动方程描述:有控SDOFSDOF主动控制结构的运动方程引入状态向量定义,主动控制结构状态方程写成向量矩阵形式：激 励响 应SDOF结 构+控制器ABS第5页/共61页动态系统的数学描述动态系统的运动方程描述n个自由度的土木工程结构在环境干扰F(t)作用下的运动方程可以表示为其中，是结构位移向量，字母上标“.”表示对时间t求导数；M、C和 分别是结构质量、阻尼和刚度矩阵 是环境干扰 是环境干扰位置矩阵；分别是结构初始位移向量和初始速度向量第6页/共61页动态系统的数学描述受控系统的运动方程描述为控制结构的反应，在结构上安装p个控制装

4、置p个控制装置给结构提供的控制力向量为相应的作用位置矩阵为则，受控系统的运动方程为其中，都是独立变量作动器作动器第7页/共61页动态系统的数学描述受控系统的状态方程描述受控系统的运动方程为定义 为系统的状态向量则式(1.2)所描述的受控系统可以用如下的状态方程描述其中，第8页/共61页动态系统的数学描述系统的输出方程受控系统的状态方程为需要实时量测部分或全部的系统状态量Y(t),上式称为系统的输出方程 为输出向量 称为输出矩阵 称为直接传递矩阵第9页/共61页动态系统的数学描述主动控制问题的状态方程描述主动控制的一个重要特征是反馈状态反馈线性反馈、非线性反馈、自适应反馈以及智能反馈线性反馈Gi

5、(i=0,1,2,3)是恰当维数的反馈增益矩阵代入受控系统运动微分方程，得主动控制通过改变干扰和结构动力特性控制结构响应第10页/共61页动态系统的数学描述结构主动控制的基本形式第11页/共61页动态系统的数学描述特征值设线性定常系统状态方程为:式中.A为常阵,B为常阵。系统特征值就是其系数矩阵A的特征值，即特征方程的根特征值性质一个n维系统的n*n方阵A，有且仅有n个特征值。物理上存在的系统，方阵A为实常阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。对系统作非奇异线性变换，其特征值不变。设为A的一个特征值，若存在某个非零向量V，使AV=V则称V为A的属于的特征向量.（注下角标i）第12页/共61

6、页基本概念传递函数输入-输出描述对于多输入多输出线性系统：进行Laplace变换并整理，得输入到输出的传递函数对于一线性系统，状态方程系数矩阵形式可能不唯一（通过非奇异线性变换），但是传递函数矩阵是不变的！系统特征值是唯一的！第13页/共61页动态系统的稳定性Lyapunov函数直接法间接法主动控制效果显著并且可以根据需要调整，但是其面临的两个实际问题：需要外界能量输入控制系统稳定性第14页/共61页一般系统的状态方程可以表示为一般情况下F为时变的非线性函数。若F不显含时间t，则系统是定常的非线性系统，如果F既不显含t又是Z的线性函数，则系统是定常线性系统。在输入U(t)0情况下，若则Ze为系

7、统的平衡状态，满足平衡方程注意：对任意系统平衡点未必存在、也未必唯一。动态系统的稳定性第15页/共61页零输入情况下，系统的状态方程可以表示为系统的稳定性根据自由响应是否有界来定义，若系统初始条件在此初始条件下，若则系统是Lyapunov稳定的（原点稳定），并且若初始条件与时间无关则系统是一致稳定的。动态系统的稳定性第16页/共61页若系统原点稳定，且则系统在原点是渐进稳定的，只有渐进稳定的结构才是稳定的结构。Lyapunov稳定的结构为临界稳定结构，属于不稳定结构。此外，它们都是系统的局部性质。系统的平衡状态在多大范围内具有稳定性质？如何扩大该范围？系统大范围稳定的必要条件：在求解域内只有一

8、个平衡状态。思考：动态系统的稳定性第17页/共61页零输入情况下，线性系统的状态方程可以表示为系统存在状态转移矩阵根据矩阵范数性质系统Lyaponov稳定的充分必要条件是存在正实数s，满足若下式成立则系统是渐进稳定的动态系统的稳定性:线性系统的稳定性第18页/共61页线性系统的稳定性与系统初始状态无关，其在整个定义域是渐进稳定的。考虑线性定常系统的状态转移矩阵因此线性定常系统状态转移矩阵的性质决定于系统系数矩阵A的特征值的性质若全部特征值实部小于0，则线性定常系统稳定的充要条件！动态系统的稳定性：线性系统第19页/共61页Lyapunov直接法或第二法（A.M.Lyapunov），定义弹簧质量

9、阻尼SDOF系统能量，例如若 ，则系统渐进稳定 若 ，则系统Lyapunov稳定 若 ，则系统不稳定 很难找到统一的能量函数描述系统的能量关系，定义一个正定的标量函数v(Z)，引出如下稳定性判据：动态系统的稳定性第20页/共61页判据1：若存在Lyapunov函数v(Z(t)，使 ，则系统是Lyapunov稳定的；判据2：若存在Lyapunov函数v(Z(t)，使 ，则系统是渐进稳定的；判据3：若存在Lyapunov函数v(Z(t)，使 且当 则系统在整个定义域是渐进稳定的；Lyapunov函数不唯一，即使不能找到一个Lyapunov函数，也不能说明系统是不稳定的！动态系统的稳定性第21页/共

10、61页线性定常系统的能控性系统的能控性能控性是存在于系统输入U(t)和系统状态之间的性质，因此，仅涉及系统状态方程的矩阵A、B。状态能控：在有限时间区间t0,t1内存在U(t)，使系统由状态Z0转移到状态Z1，则称状态Z0能控。系统完全能控：若系统的任何初始状态都是能控的，则称系统是完全能控的。系统的能控性特点能控性考察的是控制系统状态转移的可能性，因此：能控性与状态的具体量值无关；也不管系统状态转移的轨迹。第22页/共61页线性定常系统的能控性系统能控性的判别方法对线性定常系统1.系统矩阵判别法系统能控的充要条件是矩阵 的秩为2n。2.系统独立振型判别法略第23页/共61页线性定常系统的能观

11、性系统的能观性背景：实际工程应用中，直接量测系统所有状态信息是不可能的。需要根据量测的少量状态信息，估计系统全部的状态信息。能观性：即能否通过对输出量Y(t)的测量，得到系统全部状态Z(t)信息。讨论输出量Y(t)反映状态量Z(t)的能力，与控制作用U(t)没有直接关系可仅考虑齐次状态方程和输出方程数学描述：已知上述系统方程及其在时间区间t0,t1的输出Y(t)，能否唯一地确定系统在初始时刻的状态Z(t0)=Z0。若能，则称该系统在t0是能观的；若对所有t0和Z0系统能观,则称系统完全能观,简称能观。第24页/共61页线性定常系统的能观性系统能观性的判别方法对线性定常系统1.系统矩阵判别法系统

12、能观的充要条件是矩阵 的秩为2n。2.系统独立振型判别法略第25页/共61页线性系统能控性与能观性的对偶关系两线性系统互为对偶的定义两个线性系统 其中，如果 ，称两系统是互为对偶的线性系统(1)是一个p维输入m维输出的系统；其对偶系统(2)是一个m维输入p维输出的系统。互为对偶的两个线性系统的输入端和输出端互换；信号传递方向相反；对应的系统矩阵转置。第26页/共61页线性系统能控性与能观性的对偶关系线性系统能控性与能观性的对偶关系两个互为对偶的线性系统对偶性原理：互为对偶的两个线性系统(1)、(2)，则：系统(1)的能控性等价于系统(2)的能观性；系统(1)的能观性等价于系统(2)的能控性。上

13、述关系称为对偶性原理。对偶性原理的应用利用上述对偶性关系，可以把一个线性系统的能控性分析得出的结论用于其对偶系统的能观性分析。反之亦可。第27页/共61页坐标系一致性两套坐标系 结构模型 相对坐标系统 层间坐标系统 第28页/共61页坐标系一致性n两种坐标下系数矩阵 A 第29页/共61页坐标系一致性n两种坐标下位置矩阵 B 第30页/共61页第2章 结构振动的主动控制算法线性定常系统的极点配置线性二次型最优控制线性定常系统的模态控制滑移模态控制(Sliding Mode Control,SMC)控制算法结构振动控制算例第31页/共61页线性定常系统的极点配置系统的极点即系统矩阵A的特征值 分

14、别是系统第j阶自振频率和阻尼比 分别反映系统的阻尼特性和频率特性系统的每个特征值分别对应复平面 上一个点，系统的动力特性很大程度上决定于系统的极点在复平面上的位置。极点配置利用状态反馈或输出反馈，可以把一个系统的极点移至复平面内的任意位置，这个过程称为系统的极点配置。系统极点配置与干扰无关，讨论如下的线性定常系统第32页/共61页线性定常系统的极点配置状态反馈的系统极点配置对线性定常系统设控制输入为 ，代入上式得闭环系统的状态方程为则闭环系统的特征值方程为其中，其中，不是原开环系统的特征值不是原开环系统的特征值闭环系统特征值方程可写为闭环系统特征值方程可写为第33页/共61页线性定常系统的极点

15、配置状态反馈的系统极点配置闭环系统的特征值方程可写为矩阵行列式等于零该矩阵存在零行或零列假设选取的G使得其中，当 存在时，(1)(1)如果如果 是不同的特征值，是不同的特征值，那么，在矩阵那么，在矩阵 中，总可以找到中，总可以找到2n个线性独立个线性独立的列的列,组成可逆方阵组成可逆方阵(2)(2)相应地，从相应地，从Ip中选取中选取2n个列向量组成矩阵个列向量组成矩阵e=ej1,ej2,ej2n则，则，反馈增益矩阵反馈增益矩阵为为第34页/共61页线性定常系统的极点配置状态反馈的系统极点配置例2.1 已知求状态反馈增益矩阵G，使闭环系统极点为解：(1 1)判断系统能控性：由给定系统矩阵判断系

16、统能控性：由给定系统矩阵A、B,因此系统完全能控，可任意配置极点。因此系统完全能控，可任意配置极点。(2 2)计算计算第35页/共61页线性定常系统的极点配置状态反馈的系统极点配置例2.1(4)(4)计算反馈增益矩阵计算反馈增益矩阵方法一：选取方法一：选取(3 3)对于期望的闭环系统极点对于期望的闭环系统极点 ，分别有，分别有第36页/共61页线性定常系统的极点配置状态反馈的系统极点配置例2.1(4)(4)计算反馈增益矩阵计算反馈增益矩阵方法二：选取方法二：选取(5)(5)讨论讨论 经验算知，状态反馈增益矩阵经验算知，状态反馈增益矩阵G1、G2都可以使闭环都可以使闭环系统具有期望的极点，上述设

17、计均无错误。系统具有期望的极点，上述设计均无错误。但但G1、G2不同，相应的不同，相应的控制输入和能量消耗控制输入和能量消耗就不一就不一样。样。应合理考虑状态反馈增益矩阵的应合理考虑状态反馈增益矩阵的最优选择问题最优选择问题。第37页/共61页线性定常系统的极点配置输出反馈的系统极点配置对线性定常系统设控制输入为 ，代入上式得闭环系统的状态方程为则闭环系统的特征值方程为其中，其中，其中，其中，不是原开环系统的特征值不是原开环系统的特征值则系统特征值方程可写为则系统特征值方程可写为第38页/共61页线性定常系统的极点配置输出反馈的系统极点配置闭环系统的特征值方程可写为则，则，输出反馈增益矩阵输出

18、反馈增益矩阵为为设设 是闭环系统的是闭环系统的2n个互异的特征值，则从个互异的特征值，则从中选取一些线性独立的列中选取一些线性独立的列 组成的组成的矩阵的秩不会超过矩阵的秩不会超过C0的秩。也就是说，的秩。也就是说，(A,B)完全能控，完全能控，且且 ，那么，那么闭环系统闭环系统2n个特征值中，仅有个特征值中，仅有m个可以任意配置个可以任意配置。设从设从 中找出中找出m列构成一个列构成一个(mm)的非奇异的非奇异矩阵矩阵 ；相应地，从；相应地，从Ip中选取中选取m个列向量组成矩阵个列向量组成矩阵 第39页/共61页线性二次型最优控制基本思想对于线性系统，选取系统状态和控制输入的二次型函数的积分

19、作为性能指标函数寻找最优控制输入U(t)，使所选取的性能泛函取最小值二次型性能泛函对线性系统其二次型性能泛函为第40页/共61页线性二次型最优控制最优控制问题的数学描述泛函条件极值问题 对二次型性能泛函求U(t),优化目标：使得 J 取最小值 min(J)约束条件：系统的状态方程第41页/共61页线性二次型最优控制受控系统的稳定性定义Lyapunov函数因为P正定，所以v(Z)为正值，而又有和 得 第42页/共61页线性二次型最优控制受控系统的稳定性对Lyapunov函数由于P和Q是正定的或半正定的，所以 为负所以，最优控制下的闭环系统是渐近稳定的即闭环系统 的系统矩阵 的特征值均具有负实部

20、不管原系统稳定性如何第43页/共61页线性二次型最优控制控制输入对系统特性的影响代入受控系统运动方程，得最优状态反馈控制改变了结构的刚度和阻尼权矩阵Q、R的影响规律权矩阵Q、R对控制效果和控制力都有显著影响一般，Q越大受控结构响应越小，控制效果越好R越大，控制输入越小，控制效果越差综合考虑控制目标和控制输入，选取合适的权矩阵第44页/共61页线性二次型最优控制控制算法LQR全状态反馈C0=I2n2n,B0=02np,D0=02nr.LQG部分状态输出反馈，用Kalman观测器进行状态估计C0、B0和D0根据实际情况不同取不同值第45页/共61页线性二次型最优控制控制算法LQR全状态反馈LQG部

21、分状态输出反馈，用Kalman观测器进行状态估计第46页/共61页线性二次型最优控制说明干扰不确定使最优控制不精确土木工程结构在干扰下的控制问题状态方程为此方程求解复杂，且其中的F(t)往往是未知的因此，假定F(t)=0，得到最优控制的近似解实际应用中需要用到状态估计计算最优控制输入U(t)时，需用到系统的全部状态信息实时量测系统的全状态信息不经济，也不可行实际应用中，量测系统少量信息，通过观测器估计系统全状态，再计算最优控制输入U(t)。第47页/共61页线性定常系统的模态控制模态控制振型(模态)控制通过控制少数振型分量来实现对系统反应的控制基础土木结构的动力反应仅以少数振型分量起主要作用，

22、仅考虑这些振型分量影响的动力分析结果有足够的精度实际的土木结构在正常工作状态下是渐近稳定的 即要求非控模态的渐近稳定性形式状态方程的模态控制运动方程的模态控制更方便，物理意义更明确第48页/共61页线性定常系统的模态控制运动方程的模态控制n自由度受控系统运动方程为设系统的无阻尼模态矩阵为 ，作模态变换式中，将模态变换式代入运动方程，然后左乘 ，并假定阻尼矩阵C关于模态矩阵 正交，则得广义模态坐标运动方程式中，广义矩阵广义矩阵解耦方程解耦方程第49页/共61页线性定常系统的模态控制仅考虑nc个广义模态的模态控制仅考虑nc 个广义模态坐标，则广义模态坐标运动方程为式中，的前nc列构成的n nc维矩

23、阵 是nc p维矩阵计算广义最优控制力第50页/共61页线性定常系统的模态控制仅考虑nc个广义模态的模态控制广义最优控制力由于广义模态坐标向量qc(t)是不可量测的量，因此，广义最优控制力 无法直接实现，需要转换为用 表示的最优控制力U(t)：其中，的上nc行组成的nc n维矩阵第51页/共61页滑移模态控制滑移模态控制(Sliding Mode Control,SMC)也称变结构控制；适合在控制过程中系统参数不断变化的主动变刚度和变阻尼控制；可用于线性或非线性结构的控制。基本思路设计一种控制器，使结构的运动趋向滑移面，在该滑移面上结构是稳定的滑移模态控制包括滑移面的确定和控制器的设计两部分解

24、耦方程解耦方程第52页/共61页结构振动控制算例本节目的(1)明确各种控制算法设计控制力的步骤；(2)说明结构控制系统的反应分析方法；(3)明确各种控制算法参数的影响；(4)比较各种控制算法的控制效果。系统模型3层剪切型框架结构层质量为层间刚度为结构阻尼矩阵按Rayleigh阻尼确定前两阶振型阻尼比为结构的外干扰为El Centro(NS,1940)地震波，峰值200Gal作动器作动器第53页/共61页结构振动控制算例1.系统矩阵第54页/共61页结构振动控制算例2.受控结构系统运动方程设在结构各层均设主动控制器，则控制力及位置矩阵为3.主动控制设计（各种算法）受控结构系统的运动方程为受控结构

25、系统的运动方程为相应的状态方程为相应的状态方程为其中，其中，第55页/共61页结构振动控制算例3.主动控制设计（以LQR控制算法为例）由目标函数，选取权矩阵由目标函数，选取权矩阵Q、R分别为分别为通过此通过此Q设计的主动控制力将使结构控制系统的能量最小。设计的主动控制力将使结构控制系统的能量最小。(1)(1)控制参数控制参数Q、R(2)(2)控制力状态反馈增益矩阵控制力状态反馈增益矩阵G G最优控制力最优控制力第56页/共61页结构振动控制算例3.主动控制设计（LQR控制算法）则结构控制系统的反应可由则结构控制系统的反应可由lsimlsim函数求解，即函数求解，即 计算得到结构层间最大位移反应

26、、最大加速度反应和计算得到结构层间最大位移反应、最大加速度反应和最大控制力。最大控制力。(3)(3)结构控制系统反应分析结构控制系统反应分析将将U(t)=-GZ(t)代入受控系统状态方程得代入受控系统状态方程得其中，其中，C0和和D0是观测输出矩阵，是观测输出矩阵，LQRLQR算法采用的是全算法采用的是全 状态反馈，因此状态反馈，因此C0=I6,D0=061;t是地震作用时间向量，包括采样间隔和总持时；是地震作用时间向量，包括采样间隔和总持时；y0是输出量，就是输出量，就LQRLQR算法而言，它和状态量算法而言，它和状态量Z相同相同第57页/共61页结构振动控制算例3.主动控制设计（LQR控制

27、算法）(4)(4)比较受控和无控情况下结构各层的反应时程比较受控和无控情况下结构各层的反应时程(1)(1)主动控制可以有效地减小结构的位移反应和加速度反应；主动控制可以有效地减小结构的位移反应和加速度反应；(2)(2)控制效果和控制力的大小随权参数变化而变化。控制效果和控制力的大小随权参数变化而变化。第58页/共61页结构振动控制算例3.主动控制设计（LQR控制算法）(5)(5)主动控制力及其与权参数的关系主动控制力及其与权参数的关系随随(也即也即R)增加：增加：(1)(1)控制力开始减小很快，然后减小速率变小；控制力开始减小很快，然后减小速率变小；(2)(2)相应的结构响应开始增大很快，然后

28、趋于平缓。相应的结构响应开始增大很快，然后趋于平缓。最优控制是针对某组特定的最优控制是针对某组特定的Q和和R而言的，而言的，试算试算Q、R以取得控制力最优解。以取得控制力最优解。第59页/共61页结构振动控制算例3.主动控制设计（LQR控制算法）(6)(6)主动控制系统的阻尼和频率特性主动控制系统的阻尼和频率特性由上表可见，随由上表可见，随增加，受控结构频率变化较小；增加，受控结构频率变化较小；但对结构附加的阻尼比减小，控制效果减弱。但对结构附加的阻尼比减小，控制效果减弱。主动控制主动控制力主要以阻尼力的形式力主要以阻尼力的形式作用在结构上。作用在结构上。LQRLQR状态反馈控制力具有如下形式状态反馈控制力具有如下形式 因此，此状态反馈控制力将以弹性力和阻尼力的因此，此状态反馈控制力将以弹性力和阻尼力的形式作用在结构上。形式作用在结构上。改变结构的频率和阻尼改变结构的频率和阻尼。第60页/共61页61感谢您的观看！第61页/共61页